Primer Nivel Grupal, Santiago, etc. Opciones

[Felipe_ambuli]

Problema 1. Un niño tiene un sólo gran trozo de chocolate. En cada momento, él puede tomar un trozo de chocolate y dividirlo en 4 partes. (o sea, al principio él tiene 1 sólo gran trozo, y luego, al dividirlo, él tendrá 4 trozos).

1. (2 puntos) ¿Es posible (sin comer, ni hacer ningún tipo de trampa) obtener exactamente 10 trozos de chocolate?

2. (2 puntos) ¿Es posible obtener exactamente 50 trozos?

Aclaración: los trozos no necesariamente deben ser iguales.

Problema 2. (5 puntos) Hay 10 monedas en fila en una mesa, todas con su sello mirando hacia arriba. En cada momento podemos tomar tres monedas consecutivas y dar vuelta las dos monedas de los extremos (la del medio queda igual). ¿Es posible, sólo realizando la operación descrita anteriormente, dejar las 10 monedas mirando cara?

Problema 3. (5 puntos) Hay 5 relojes análogos (de 12 horas) descompuestos todos marcando las 12 en puntos. En cada momento podemos tomar dos relojes cualquiera, adelantar uno de ellos en 3 horas y atrasar el otro en 3 horas. Es posible dejar todos los relojes marcando las 6 en punto?

Problema 4. (3 puntos) Queremos escribir los digitos del 1 al 4 en fila de modo que cada número del 1 al 10 sea escrito como suma de números consecutivos en la fila. Por ejemplo, si escribimos 4321, claramente 1,2,3,4 se pueden obtener (como sumas de un sumando), también podemos obtener por ejemplo 6=3+2+1, 7=3+4. Sin embargo, no podemos obtener 8 como suma. ¿Es posible lograrlo escribiendo los dígitos en otro orden?

Problema 5. Hay 27 fichas puestas en fila, cada una con una letra del alfabeto:
ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ. 5 de esas fichas (A,E,I,O,U) son vocales y el resto son consonantes. En cada momento, podemos intercambiar dos fichas adyacentes.

1. (1,5 puntos) Mostrar que no es posible, realizando este procedimiento, ordenar las letras de forma tal que no hayan 5 o más consonantes consecutivas.

2. (1,5 puntos) ¿Es posible obtener una configuración donde no hayan 4 o más consonantes consecutivas?

[Felipe_ambuli]

P2

Cmambiemos un poco el problema. Las monedas mirando con sello hacia arriba las cambiaremos por 1's y las con cara hacia arriba con un 2, y colocaremos estos numeros en un tablero de dispuesto hacia la derecha.
Lo que nos dice el problema es que si tomamos 3 monedas consecutivas (digamos un 1,1 y 1) lo que se hace es cambiar los dos 1's extremos y pasarlos a dos (osea, sumarle 1) y dejar el 1 central tal cual. Si tuviesemos por ejemplo, un 2,1 y 2 y efectuamos la operacion nos arrojara un 1,1,1 (osea, lo que se hace es restarle 1). Naturalmente no es posible, de ninguna manera, dejar otro numero en las casillas distinto de 1 o de 2 (un 3 por ejemplo...).
Ahora definiremos algunas cosas. Cada casilla sera nombrada, rotulandose de la forma de izquierda a derecha en orden creciente de los subindices. Sumar dos casillas es sumar los numeros puestos en su interior, osea, si tiene un 2 y tiene un 1 entonces
Inicialmente cada casilla tiene un 1 (pues todas miran sello)
Se define .
Notemos que si efectuamos la operacion, digamos sobre y tendremos que
(los unos se cancelan)
Esto ya que inicialmente son todos unos.
Analogo si tenemos que algunas casillas son 2's, pues a uno le restamos un uno, el otro queda igual y el tercero le restamos uno, pero ese uno es positivo en la suma, ejemplo si tenemos en ese caso
(el segundo uno se canela con el primero.
Asi que A siempre es una constante. Como inicialmente tenemos A=-6, tendremos que cualquiera de los movimientos que efectuemos siempre se mantendra A=-6.
Si fuesen todos mirando cara (osea, todos 2), se tendria en ese caso A=(2+2)-(2+2)-(2+2)-(2+2)-(2+2)=-12, pero como vimos siempre A=-6, asi que no es posible dejar todos mirando cara arriba.

[sebagarage]

P2

Cmambiemos un poco el problema. Las monedas mirando con sello hacia arriba las cambiaremos por 1's y las con cara hacia arriba con un 2, y colocaremos estos numeros en un tablero de dispuesto hacia la derecha.
Lo que nos dice el problema es que si tomamos 3 monedas consecutivas (digamos un 1,1 y 1) lo que se hace es cambiar los dos 1's extremos y pasarlos a dos (osea, sumarle 1) y dejar el 1 central tal cual. Si tuviesemos por ejemplo, un 2,1 y 2 y efectuamos la operacion nos arrojara un 1,1,1 (osea, lo que se hace es restarle 1). Naturalmente no es posible, de ninguna manera, dejar otro numero en las casillas distinto de 1 o de 2 (un 3 por ejemplo...).
Ahora definiremos algunas cosas. Cada casilla sera nombrada, rotulandose de la forma de izquierda a derecha en orden creciente de los subindices. Sumar dos casillas es sumar los numeros puestos en su interior, osea, si tiene un 2 y tiene un 1 entonces
Inicialmente cada casilla tiene un 1 (pues todas miran sello)
Se define .
Notemos que si efectuamos la operacion, digamos sobre y tendremos que
(los unos se cancelan)
Esto ya que inicialmente son todos unos.
Analogo si tenemos que algunas casillas son 2's, pues a uno le restamos un uno, el otro queda igual y el tercero le restamos uno, pero ese uno es positivo en la suma, ejemplo si tenemos en ese caso
(el segundo uno se canela con el primero.
Asi que A siempre es una constante. Como inicialmente tenemos A=-6, tendremos que cualquiera de los movimientos que efectuemos siempre se mantendra A=-6.
Si fuesen todos mirando cara (osea, todos 2), se tendria en ese caso A=(2+2)-(2+2)-(2+2)-(2+2)-(2+2)=-12, pero como vimos siempre A=-6, asi que no es posible dejar todos mirando cara arriba.

Beautiful.

[Felipe_ambuli]

Beautiful.

te lo debo jejejje
lastima que.... (no es con ese problema)

Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Aug 11 2008, 10:01 PM