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Prueba Grupal (Primer y Segundo Nivel)

felipe_contreras... felipe_contreras(IN) Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 08:57 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 90 Registrado: 14-May 05 Desde: 33º30'S 70º40'O Miembro Nº: 18 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Para el desarrollo de este ejercicio utilice la siguiente igualdad: $TEX: $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ Consideremos la siguiente sucesión $TEX: $A_1$$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img145.imageshack.us/img145/8740/a16uz.png');}" /> $TEX: $A_2$$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img145.imageshack.us/img145/1914/a23fj.png');}" /> $TEX: $A_3$$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img145.imageshack.us/img145/6831/a36mx.png');}" /> Nótese que el término $TEX: $A_j$$ es un cuadrado de lado j Definición 1. Llamamos "Vértices" del término $TEX: $A_j$$ a los números que se encuentran en las cuatro esquinas de dicha figura, por ejemplo los vértices de $TEX: $A_3$$ son 6, 8, 12 y 14. Definición 2. Llamemos "Diagonal Principal" del término $TEX: $A_j$$ a los números que van entre el vñertice superior izquierdo y el vértice inferior derecho, por ejemplo la diagonal principal de $TEX: $A_3$$ es 6, 10 y 14. Además, llamamos "Diagonal Secundaria" del término $TEX: $A_j$$ a los números que van desde el vértice superior derecho y el vértice inferior izquierdo. Definición 3. Llamamos "Orden" de un término $TEX: $A_j$$ al número j, que indica la cantidad de filas y columnas que tiene el cuadrado $TEX: $A_j$$ . Definición 4. Si j es impar, llamamos "Término Central del cuadrado $TEX: $A_j$$ al número en común entre la diagonal principal y la diagonal secundaria, por ejemplo el término central de $TEX: $A_3$$ es 10. Problemas 1. Encontrar en qué $TEX: $A_j$$ está el número 2006. 2. Encontrar el término central de $TEX: $A_{27}$$ . 3. ¿Cuáles son los vértices de $TEX: $A_{27}$$ ? 4. ¿Cuánto suman los elementos de la diagonal principal de $TEX: $A_{27}$$ ? 5. Encontrar una fórmula para calcular la suma de los elementos de la diagonal principal de un cuadrado de orden n, donde n es un número par. 6. Encontrar una fórmula para calcular la suma de los elementos de la diagonal principal de un cuadrado de orden n, donde n es un número impar. 7. Encontrar la fórmula para calcular la suma de los vértices del término $TEX: $A_{n}$$ , donde n es un número entero positivo mayor o igual que 2. 8. Demostrar que los elementos de la diagonal principal suman lo mismo que los elementos de la diagonal secundaria del término $TEX: $A_{n}$$ , donde n es un número entero positivo mayor o igual que 2. 9. Encontrar la suma de todos los número del término $TEX: $A_{18}$$ . -------------------- "El único primo congruente a uno en módulo cuatro es cinco" A. Gajardo ""I'm going to try to see if I can remember as much to make it sound like I'm smart on the subject."—G. W. Bush, answering a question concerning a possible flu pandemic, Cleveland, July 10, 2007 "I aim to be a competitive nation."—G. W. Bush, San Jose, Calif., April 21, 2006 "Those who enter the country illegally violate the law."— G. W. Bush, Tucson, Ariz., Nov. 28, 2005 "Our enemies are innovative and resourceful, and so are we. They never stop thinking about new ways to harm our country and our people, and neither do we." — G. W. BushWashington, D.C., Aug. 5, 2004

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2006, 07:52 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	nótese que las primeras 5 preguntas son iguales a las 5 primeras preguntas del nivel 3ero/4to... -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2006, 04:14 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P9}}$$ $TEX: \noindent Primero, notemos que la f\'ormula $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ nos entrega el \'ultimo v\'ertice de $\mathcal{A}_n$, luego el \'ultimo v\'ertice de $\mathcal{A}_{17}$ es $\dfrac{17\cdot(18)\cdot(35)}{6}=1785$, por lo tanto el primer n\'umero de $\mathcal{A}_{18}$ es $1786$.$ $TEX: \noindent Del mismo modo, el \'ultimo v\'ertice de $\mathcal{A}_{18}$ es $\dfrac{18\cdot(19)\cdot(37)}{6}=2109$. Tambi\'en, $\mathcal{A}_{18}$ tiene $18^2=324$ n\'umeros, el primero de ellos $1786$, el \'ultimo $2109$, luego su suma es $1786+1787+\ldots+2108+2109$, para calcular esta suma, imitaremos lo que alguna vez hizo Gauss, agrupando estos n\'umeros as\'i:$ $TEX: $1786+2109=3895$$ $TEX: $1787+2108=3895$$ ... $TEX: $1991+1994=3895$$ $TEX: $1992+1993=3895$$ $TEX: \noindent Contando $162$ grupos de suma $3895$, puesto que, como ya se mencion\'o antes, $\mathcal{A}_{18}$ tiene $324$ n\'umeros, luego los n\'umeros de $\mathcal{A}_{18}$ suman $3895\cdot{162}=630990$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

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