Tercer Nivel Individual

Tercer Nivel Individual, Santiago, etc.

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 09:16 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	1. ¿Cuántas soluciones enteras positivas tiene la ecuación $TEX: $2x+3y=763$$ ? 2. a) En la figura, las rectas $TEX: $L_1, L_2$$ y $TEX: $L_3$$ son paralelas. Pruebe que $TEX: $\dfrac{1}{AA_1}+\dfrac{1}{BB_1}=\dfrac{1}{CC_1}$$ b) Sea $TEX: $ABCD$$ un trapecio con $TEX: $AB$$ paralelo a $TEX: $CD$$ . Sea $TEX: $P$$ el punto de intersección de las diagonales $TEX: $AC$$ y $TEX: $BD$$ . Llamamos $TEX: $MN$$ al segmento paralelo a $TEX: $AB$$ que pasa por $TEX: $P$$ y cuyos extremos $TEX: $M, N$$ están sobre los lados $TEX: $AD$$ y $TEX: $BC$$ respectivamente. Pruebe que $TEX: $MP=PN$$ . -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Chaparrón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 09:52 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 170 Registrado: 25-July 07 Miembro Nº: 7.812	Uno de los que estoy seguro que hice bien... P2 - Parte B Dibujo.JPG ( 6.18k ) Número de descargas: 2 Por Thales Tenemos Las siguiente igualdades: $TEX: $\dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{{BN}}{{BC}}$$ $TEX: $\dfrac{{AM}}{{MP}} = \dfrac{{AD}}{{CD}}$$ $TEX: $\dfrac{{BC}}{{CD}} = \dfrac{{BN}}{{NP}}$$ Multiplicando la 2da igualdad por la 3era tenemos: $TEX: $\dfrac{{AM}}{{MP}} \cdot \dfrac{{BC}}{{CD}} = \dfrac{{AD}}{{CD}} \cdot \dfrac{{BN}}{{NP}}$$ $TEX: $\dfrac{{BC}}{{MP \cdot BN}} = \dfrac{{AD}}{{AM \cdot NP}}$$ Y Finalmente usando la 1era igualdad tenemos que: $TEX: $MP = NP$$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 09:58 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Para terminar el 2: Amplificando por $TEX: $CC_1$$ lo pedido es $TEX: $\dfrac{CC_1}{AA_1}+\dfrac{CC_1}{BB_1}=1$$ por semejanza $TEX: $\dfrac{CC_1}{AA_1}=\dfrac{BC_1}{AB}$$ (1) y tambien $TEX: $\dfrac{CC_1}{BB_1}=\dfrac{AC_1}{AB}$$ (2) sumando (1) y (2) se tiene $TEX: $\dfrac{CC_1}{AA_1}+\dfrac{CC_1}{BB_1}=\dfrac{AC_1+BC_1}{AB}=\dfrac{AB}{AB}=1$$ , concluyendo. Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Aug 9 2008, 10:01 PM

carolina fca Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 10:22 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 13 Registrado: 16-July 08 Miembro Nº: 30.099 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Aclaración: decimos que un par de enteros positivos (a,b) es una solución a la ecuación si al reemplazar el par nos da $2a+3b=763$ . Por ejemplo, el par (380,1) es una solución. Usted debe decir cuantos de estos pares hay en total. <br /><br /><br />1er conjunto: $(377,3)$<br /><br />2do conjunto: $(374,5)$<br /><br />3er conjunto: $(371,7)$<br /><br />n cimo conjunto $(380-n3 , 2n+1)$<br /><br /><br />n max.= $ \frac{380}{3} = 126$<br /><br /> resto $2$<br /><br />max conjunto $(380-1263 , 2*126+1) = (2, 257)$<br /><br />conclucion: $126+1 (el ejemplo)=$ numero de soluciones a la ecuacion = $127$$ ojalaaa lo entiiendan xD priimer mensaaje en mii vida... i aun no se usar mui bn el latex ii bueeeh en fin loq se..es q eran 127! xD de esooe stoi seguura --------------------

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 10:26 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Notar que $x=381-y+\frac{1-y}{2}$, por lo tanto $\frac{1-y}{2}=z$ con $z\in\mathbb{N}$. Tenemos $y=1-2z$ y tambien $x=381-y+z=381-(1-2z)+z=380+3z$. As\'i cada valor de $z$ nos dar\'a un par \'unico $(x,y)$. Como $z\le 0$ y $3z>-380\Rightarrow z>-\frac{380}{3}\Rightarrow z>-127$ por lo tanto puede tomar todos los valores $0,-1,-2\ldots -126$ que son $127$ valores.$ Mensaje modificado por pelao_malo el Aug 9 2008, 11:56 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

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