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Prueba individual M3, Octava Región

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Holandes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 08:11 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 43 Registrado: 11-September 07 Desde: Conce Miembro Nº: 10.066 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1: El abuelo Anacleto, matemático jubilado y aventurero, es tan anciano que su número de carnet tiene solo seis cifras (tampoco tiene guión). El número de carnet del abuelo es divisible por $TEX: 73$ y, curiosamente, también es divisible por $TEX: 2008$ (lo que demuestra que el abuelo siempre se mantiene vigente). Además, las últimas dos cifras forman un número de dos dígitos que es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el número de carnet del abuelo? Problema 2: Considerar un $TEX: $\triangle ABC$$ equilátero de altura 12. Hallar la posición de un punto $TEX: $M$$ en el interior del triángulo tal que las áreas de los triángulos $TEX: $\triangle ABM$$ , $TEX: $\triangle BCM$$ y $TEX: $\triangle CAM$$ estén en la razón 1 : 2 : 3. Problema 3: Alicia (A) y Basilio (B) juegan un juego en un tablero cuadriculado. Alicia escribe una A en uno de los casilleros. Luego, Basilio pone una B en un casillero adyacente al marcado recién por Alicia (adyacente significa que está al lado del casillero anterior horizontal o verticalmente, no el diagonal). Luego, Alicia pone una A en un casillero desocupado adyacente al marcado recién por Basilio, y así sucesivamente. Pierde el jugador que no puede realizar una movida. En un tablero de $TEX: 7 $\times$ 7$ , ¿Tiene alguno de los jugadores una estrategia para ganar siempre? ¿Cuál? ¿Y en un tablero de $TEX: 8 $\times$ 8$ ? -------------------- Wilhelmus van Nassauwe ben ik, van Duitsen bloed; den vaderland getrrouwe blijf ik tot in den dood. Een Prinse van Oranje ben ik, vrij, onverveerd; den Koning van Hispanje heb ik altijd geëerd. Adonay

jorgeaguayo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2008, 06:32 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 311 Registrado: 24-April 07 Miembro Nº: 5.425 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La respuesta del primero es sencilla: 73 y 2008 son primos entre sí, por lo tanto, deben multiplicarse para que se cumpla esa condición, siendo el producto 146584. Ese número debe ser amplificado para obtener el resultado final. Sólo se puede multiplicar por 4 ó 6. Como multiplicarlo por 6 resulta 879504, cuyos últimos dos dígitos no cumplen esa condición al generar sólo un número de una cifra, entonces el resultado es el producto de 73·2008·4=586336.

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2008, 03:40 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 2:$ $TEX: Sean $X$, $Y$, $Z$ las proyecciones ortogonales de $M$ sobre $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente.Sea $AD$ altura del triangulo ABC, con $D$ sobre $BC$ Llamemos $A®$ al area del poligono $R$. Tenemos que:$ $TEX: $A(ABC)=A(AMB)+A(BMC)+A(CMA)$$ $TEX: $\displaystyle \frac{BCAD}{2}$=$\displaystyle \frac{ABMZ}{2}$+$\displaystyle \frac{BCMX}{2}$+$\displaystyle \frac{CAMY}{2}$$ $TEX: Como ABC es equilatero, $AB=BC=CA$, luego obtenemos que $AD=MX+MY+MZ=12$. Como $A(ABM):A(BCM):A(CAM)=1:2:3$, tenemos que $MZ:MX:MY=1:2:3$. Es facil obtener que $MZ=2$, $MX=4$, $MY=6$.$ $TEX: Sean $L_{1}$, $L_{2}$, $L_{3}$ tres rectas paralelas a $AB$, $BC$, $CA$ respectivamente, tales que la distacia entre $L_{1}$ y $AB$, $L_{2}$ y $BC$, $L_{3}$ y $CA$ sean 2,4 y 6, respectivamente. El punto de interseccion de estas 3 rectas es el punto $M$$ Creo que asi era, si no avisarme porfa. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2008, 09:02 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución es correcta, aunque deben ser aclarados algunos detalles, como: En qué semiplano (con respecto a los lados del triángulo) se encuentran las rectas L₁, L₂ y L₃ ? Por qué estas tres rectas son concurrentes? Si alguien tiene dudas similares, puede preguntar para que sean aclaradas. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2008, 03:43 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aclarando los detalles que pidio xsebastian: $TEX: Las tres rectas deben estar al interior del triangulo ABC (para que M este al interior de este triangulo)$ $TEX: Ahora probare que las 3 rectas son concurrentes. Consideremos la interseccion de las rectas $L_{1}$ y $L_{2}$. Como no son paralelas entre si, se intersectan en un punto, digamos, P. Veamos que P esta a distancia 2 de $AB$ y a distancia 4 de $BC$. Pero veamos que este punto P esta a distancia 6 de $CA$ (Debido a que las sumas de las distancias deben ser 12). Por lo tanto P vive sobre $L_{3}$, y como la interseccion es unica, tenemos que $P=M$$ Cualquier duda consultenme via MP. Salu2 -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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