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Cuarto Nivel Individual, Santiago, etc.

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 07:48 PM Publicado: #1
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Cuarta Fecha \ - \ 9 de Agosto del 2008 \ - \ Cuarto Nivel$ $TEX: \noindent \textbf{1.} Sean $a$ y $b$ tales que $\displaystyle 2^{2a} = 10^{20} = 5^{2b}$ entonces $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = ?.$<br />$ $TEX: \noindent \textbf{2.} En un triángulo las tres transversales de gravedad tienen el mismo largo. Demuestre que necesariamente dicho triángulo es equilátero.$ --------------------

lyonfunky Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 07:59 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 17-February 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 15.620 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo el primero lo hice asi: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 1. \hfill \\<br /> 2^{2a} = 10^{20} = 5^{2b} \hfill \\<br /> {\text{Comenzamos despejando }}a: \hfill \\<br /> 2^{2a} = 10^{20} /\log \hfill \\<br /> \log 2^{2a} = \log 10^{20} \hfill \\<br /> 2a\log 2 = 20\log 10 \hfill \\<br /> 2a\log 2 = 20 \hfill \\<br /> a\log 2 = 10 \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {a = \frac{{10}}<br />{{\log 2}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> {\text{De la misma forma}}{\text{, despejamos }}b: \hfill \\<br /> 5^{2b} = 10^{20} /\log \hfill \\<br /> \log 5^{2b} = \log 10^{20} \hfill \\<br /> 2b\log 5 = 20\log 10 \hfill \\<br /> 2b\log 5 = 20 \hfill \\<br /> b\log 5 = 10 \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {b = \frac{{10}}<br />{{\log 5}}} \,}}\! \right\| \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Reemplazando los valores de }}a{\text{ y }}b: \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{a} + \frac{1}<br />{b} \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{{\frac{{10}}<br />{{\log 2}}}} + \frac{1}<br />{{\frac{{10}}<br />{{\log 5}}}} \hfill \\<br /> \frac{{\log 2}}<br />{{10}} + \frac{{\log 5}}<br />{{10}} \hfill \\<br /> \frac{{\log 2 + \log 5}}<br />{{10}} \hfill \\<br /> {\text{Pero }}\log 5 = \log \frac{{10}}<br />{2} \hfill \\<br /> \frac{{\log 2 + \log \frac{{10}}<br />{2}}}<br />{{10}} \hfill \\<br /> \frac{{\log 2 + \log 10 - \log 2}}<br />{{10}} \hfill \\<br /> \frac{{\log 10}}<br />{{10}} \hfill \\<br /> \boxed{\frac{1}<br />{{10}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ y el 2 salia por todas partes. xD salu2. -------------------- Estudiante Ingeniería Pontificia Universidad Católica de Chile Admisión 2009 Ex-alumno Colegio Salesiano Oratorio Don Bosco Ex-alumno Preuniversitario Pedro de Valdivia "If this world is turning too fast for your head just remember how bad times can roll instead"

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 11:16 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tu solución es correcta, pero no es la única solución. Existe otra solución en la cual no necesitas dominar logaritmos Todavía estamos a la espera de una solución para el problema de geometría Un saludo (esta fue la primera y única prueba del CMAT 2008 donde pude decir "presente") -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Chaparrón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2008, 12:54 AM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 170 Registrado: 25-July 07 Miembro Nº: 7.812	Problema 2 Dibujo.JPG ( 9.62k ) Número de descargas: 0 Sea $TEX: $AF = BE = CD$$ y mediatrices los tres segmentos,con $TEX: $G$$ el punto de intersección de ellas. Entonces Se cumple que: $TEX: $DG = EG = FG = u$$ y $TEX: $AG = BG = CG = 2u$$ Se cumple que $TEX: $\Delta BFG \cong \Delta CFG$$ Por Criterio LLL También que $TEX: $\Delta BGD \cong \Delta CGE$$ Por Criterio LAL Esto implica que $TEX: $BD = CE$$ y por ende $TEX: $AB = AC$$ Analogamente Se tiene que $TEX: $\Delta CGE \cong \Delta AGE$$ Por Criterio LLL Y $TEX: $\Delta AGD \cong \Delta CFG$$ Por Criterio LAL Entonces $TEX: $AD=CF$$ y por ende $TEX: $AB=BC$$ Finalmente $TEX: $AB=BC=AC$$ , entonces $TEX: $\Delta ABC$$ es equilátero. Mensaje modificado por Chaparrón el Aug 10 2008, 01:33 PM

peter Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2008, 02:21 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 84 Registrado: 12-April 07 Miembro Nº: 5.137 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Yo lo hice como dice sebastian sin logaritmo, segun yo, mas simple: $TEX: <br /><br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Por enunciado:}} \hfill \\<br /> \to {\text{ 2}}^{{\text{2a}}} {\text{ = 5}}^{{\text{2b}}} {\text{ /elevamos a ()}}^{^{\frac{1}<br />{{2a}}} } \hfill \\<br /> \to \boxed{{\text{(1) 2}}^{\text{1}} {\text{ = 5}}^{\frac{{\text{b}}}<br />{{\text{a}}}} } \hfill \\<br /> {\text{Por enunciado tambien:}} \hfill \\<br /> {\text{10}}^{20} {\text{ = 2}}^{{\text{20}}} {\text{5}}^{{\text{20}}} {\text{ = 5}}^{{\text{2b}}} {\text{ /remplazando (1)}} \hfill \\<br /> {\text{10}}^{20} {\text{ = 5}}^{\frac{{{\text{20b}}}}<br />{{\text{a}}}} {\text{5}}^{{\text{20}}} {\text{ = 5}}^{{\text{2b}}} \hfill \\<br /> {\text{10}}^{20} {\text{ = 5}}^{20\frac{{{\text{b + a}}}}<br />{{\text{a}}}} {\text{ = 5}}^{{\text{2b}}} {\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Luego como estan en la misma base}}{\text{, sus exponentes son iguales:}} \hfill \\<br /> 20\frac{{{\text{b + a}}}}<br />{{\text{a}}}{\text{ = 2b}} \hfill \\<br /> \frac{{{\text{b + a}}}}<br />{{{\text{ab}}}}{\text{ = }}\frac{{\text{2}}}<br />{{{\text{20}}}} \hfill \\<br /> \frac{{{\text{b + a}}}}<br />{{{\text{ab}}}}{\text{ = }}\frac{{\text{b}}}<br />{{{\text{ab}}}} + \frac{{\text{a}}}<br />{{{\text{ab}}}} = \frac{{\text{1}}}<br />{{\text{a}}} + \frac{{\text{1}}}<br />{{\text{b}}} = \frac{{\text{2}}}<br />{{{\text{20}}}} = \frac{{\text{1}}}<br />{{{\text{10}}}} \hfill \\<br /> {\text{Por transitividad:}} \hfill \\<br /> \frac{{\text{1}}}<br />{{\text{a}}} + \frac{{\text{1}}}<br />{{\text{b}}} = \frac{{\text{1}}}<br />{{{\text{10}}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br /><br />$ Mensaje modificado por peter el Aug 10 2008, 02:27 PM -------------------- Jurgen Uhlmann.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2008, 09:11 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ambas soluciones están correctas (y la solución al problema aritmético no usa logaritmos). Sólo me tomaré el tiempo para comentar algo sobre la solución de Chaparrón (para el problema geométrico): Estableciste cuatro congruencias de triángulos: $TEX: $\Delta BFG \cong \Delta CFG$$ y $TEX: $\Delta BGD \cong \Delta CGE$$ para concluir que $TEX: $BD = CE$$ (y por ende $TEX: $AB = AC$$ ) $TEX: $\Delta CGE \cong \Delta AGE$$ y $TEX: $\Delta AGD \cong \Delta CFG$$ para concluir que $TEX: $AD=CF$$ (y por ende $TEX: $AB=BC$$ ) Puedo decirte que, para estas conclusiones, apenas basta con la segunda y cuarta congruencia. Incluso basta usar la segunda congruencia para concluir que BD=CE, entonces AB=AC. Luego puedes decir: "Análogamente, BA=BC". El uso de la palabra "análogamente" está permitido, porque el argumento que usas para concluir que BA=BC es "idéntico" -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 4 2009, 01:29 PM Publicado: #7
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Otra solución sin logaritmo Podemos decir que $TEX: $2^a=10^{10}$$ , de esto tenemos $TEX: $2=(10^{10})^{\frac{1}{a}}$$ i) Y tambien $TEX: $5^b=10^{10}$$ , de esto tenemos $TEX: $5=(10^{10})^{\frac{1}{b}}$$ ii) Multiplicamos i) y ii), y tenemos: $TEX: $10=(10^{10})^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$ $TEX: $10^1=10^{10\cdot(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$$ Si son iguales las bases, se igualan los exponente y tenemos $TEX: $1=10\cdot(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$$ $TEX: $\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$$ Obteniendo lo pedido -------------------- ...

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