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Cuarto Nivel Individual

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 09:42 PM Publicado: #11
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Aqui les dejo algunas pistas para que puedan resolver este problema de alguna manera algo mas intuitiva..ademas el problema es super lindo..asi que hay que buscarle una mejor solucion... Hint 1: $TEX: Considerar una operacion del estilo $-\dfrac{2^{k}}{3^{2^k}-1}+\dfrac{2^k}{3^{2^k}+1}$$ Hint 2: $TEX: Notar que $-\dfrac{2}{3+1}=-\dfrac{2^2}{3^2-1}$$ Hint 3: $TEX: Volver a leer el Hint 1 y el Hint 2$ Ojo que en el cmat de Santiago al menos modificaron el enunciado dejando el promer termino con signo -, haciendo el ingenio mucho mas intuitivo...aunque ambos problemas en si son de la misma dificultad de calculo. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 09:49 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ May 20 2006, 10:42 PM) asi que hay que buscarle una mejor solucion... Y yo que casi me sentía bien de haberlo podido sacar... porque en un momento creí que no podía más y casi la entrego... Yo quería ir por todo el puntaje... Pido disculpas por , pero casi nunca doy jugo, era mi turno de desahogarme -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 10:19 PM Publicado: #13
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(†Alucard† @ May 20 2006, 10:49 PM) Y yo que casi me sentía bien de haberlo podido sacar... porque en un momento creí que no podía más y casi la entrego... Yo quería ir por todo el puntaje... Pido disculpas por , pero casi nunca doy jugo, era mi turno de desahogarme Por supuesto que puedes sentirte orgulloso de tu solucion...solo trato de que se le entrege otra solucion pues si una persona que no resolvio el problema viera tu solucion..simplemente diria...este problema era absolutamente imposible... Y quise decir con "buscar una mejor solucion" apuntando al hecho de que sea mas breve y entendible por una cantidad mayor de personas... Yo te felicito por haber podido resolver el problema por una forma que dudo alguien mas pudiera haber pensado...es cosa que veas los puntajes y notes que muy pocos llegaran a la solucion de este problemita... Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

0.9999999...=1 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 10:28 PM Publicado: #14
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 281 Registrado: 7-April 06 Desde: Santiago - Quirihue Miembro Nº: 786 Nacionalidad: Sexo:	CITA Yo puse lo siguiente: Sea P el conjunto de los 9 planetas, en el instante dado. Definición 1: Un subconjunto C de P se dice completamente observado si cada planeta de C está siendo observado por algún otro planeta de C. Definición 2: Un par de planetas $TEX: $P_i,P_j$$ se dice par autónomo si $TEX: $P_i$$ observa a $TEX: $P_j$$ y viceversa. Lema 1: Todo conjunto C completamente observado posee por lo menos un par ordenado de planetas. Demostración: Sea D el conjunto de todas las distancias entre los planetas de C, tomadas 2 a 2. Como todas las distancias son distintas (enunciado) y hay un número finito de ellas, existe un menor elemento de D. Entonces el par de planetas separados por esa distancia forman un par ordenado, porque cada uno de ellos observa obligadamente al otro (es el más cercano) QED Lema 2: Si C es un conjunto completamente observado y $TEX: $P_i,P_j\in{C}$$ forman un par ordenado, entonces el conjunto $TEX: $E=C-\{ P_i,P_j\}$$ también es completamente observado. Demostración: Supongamos que E no es completamente observado, luego existe un planeta X en E que no es observado por ningún otro en E; como X está en C, y C sí era completamente observado, concluimos que $TEX: $P_i$$ o $TEX: $P_j$$ tienen que observar a X, en cuyo caso no formarían un par ordenado. QED Demostración del Problema 1: Supongamos que P (de 9 elementos) es completamente observado, luego contiene un par de planetas que forman un par ordenado (Lema 1). Al retirar este par de P, se obtiene un conjunto R (de 7 elementos) que también es completamente observado (Lema 2). Aplicando alternadamente los Lemas 1 y 2, se obtiene un conjunto S (de 5 elementos), un T (de 3 elementos) y un U (de 1 elemento), todos completamente observados. Pero U no puede ser completamente observado, porque un planeta no puede observarse a sí mismo. Contradicción que prueba que P no es completamente observado, luego existe por lo menos un planeta de P que no es observado por ningún otro. QED Corolario: (extra) En cualquier cantidad impar de planetas que cumpla las propiedades del enunciado existe por lo menos un planeta no observado por ningún otro. Eso sería Saludos P.S.: En respuesta a tu pregunta en el foro de la otra pregunta, 0.9999999...=1, sí, participé, saqué 20 puntos ahhhh, k wena k sacaras 20 ptos, entonces tu eres el unico de la VIII región que saco 20 pts??, yo caxo k ahora igual tienes 20 pts de nuevo, jajajajaja Saludos. -------------------- "Si le das a un hombre un pescado, comerá un día. Si le enseñas a pescar, comerá toda la vida." "Si persiges a dos conejos al mismo tiempo, los perderás a ambos." "Las cosas valen lo que su comprador esté dispuesto a pagar por ellas."

Cesarator	May 20 2006, 10:33 PM Publicado: #15
Invitado	je je, lindo problema. Sólo 2 comentarios. La solución de †Alucard† no es "tan fea" como parece en un principio, y no es necesario el uso de la "pitatoria". Se puede simplificar un poco y resulta un buen ejercico de "Progresión geométrica". Lo segundo es decir que yo mismo, la primera solución que hice fue al estilo progresión geométrica, y después, pasado ya el momento de tensión de buscar la solución a toda costa vi la otra más simple. Eso es típico, como lo entenderán algunos cuando vayan adquiriendo más experiencia. ... lo importante es apreciar el mérito de ambos estilos de solución. Me atrevo a decir que la de †Alucard† es más general, pues el lograr transformar una suma en algo telescópico es lo primero que debe intentarse siempre en este tipo de problemas, pero pasado cierto nivel de dificultad ni soñar con ello ... aunque mejor no decir nada, que todo se puede. Moraleja: Estudiar AMBAS soluciones. PS. En Concepción, luego de analizar el asunto, se decidió no poner el signo menos al primer término

Cesarator	May 20 2006, 10:35 PM Publicado: #16
Invitado	CITA(†Alucard† @ May 20 2006, 10:49 PM) ... porque en un momento creí que no podía más y casi la entrego... Eso nunca!!! ¿Y el consejo de respirar hondo y dejar la mente en blanco por 1 minuto???

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 10:45 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Cesarator @ May 20 2006, 11:35 PM) ¿Y el consejo de respirar hondo y dejar la mente en blanco por 1 minuto??? Ese consejo es mágico, gracias a eso rescaté 29 puntos de 35 en una olimpiada del Cono Sur (con 35 puntos obtenía medalla de bronce). Muchas veces pasa eso porque uno se queda estresado y en esas condiciones las ideas no llegan, por más que uno intente -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 10:50 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, siguiendo los Hints de Kenshin, tengo la nueva solución: Primero trabajamos su hint: $TEX: \[<br />\frac{{2^{k + 1} }}<br />{{3^{2^k } - 1}} - \frac{{2^{k + 1} }}<br />{{3^{2^k } + 1}} = \frac{{2^{k + 2} }}<br />{{3^{2^{k + 1} } - 1}}<br />\]$ Luego desarrollamos la suma: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{2}<br />{{3 + 1}} + \frac{{2^2 }}<br />{{3^2 + 1}} + \ldots + \frac{{2^{n + 1} }}<br />{{3^{2^n } + 1}} \hfill \\<br /> = 1 - \left( {\frac{{2^2 }}<br />{{3^2 - 1}} - \frac{{2^2 }}<br />{{3^2 + 1}}} \right) + \frac{{2^3 }}<br />{{3^{2^2 } + 1}} + \ldots + \frac{{2^{n + 1} }}<br />{{3^{2^n } + 1}} \hfill \\<br /> = 1 - \left( {\frac{{2^3 }}<br />{{3^{2^2 } - 1}} - \frac{{2^3 }}<br />{{3^{2^2 } + 1}}} \right) + \frac{{2^4 }}<br />{{3^{2^3 } + 1}} + \ldots + \frac{{2^{n + 1} }}<br />{{3^{2^n } + 1}} \hfill \\<br /> \ldots = 1 - \left( {\frac{{2^{n + 1} }}<br />{{3^{2^n } - 1}} - \frac{{2^{n + 1} }}<br />{{3^{2^n } + 1}}} \right) = 1 - \frac{{2^{n + 2} }}<br />{{3^{2^{n + 1} } - 1}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Y finalmente probamos esta fórmula por inducción: Para n=0, $TEX: $\dfrac{2}{4}=1-\dfrac{4}{8}$$ , verdadero Si suponemos que es cierta para algún n, tenemos: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{2}<br />{{3 + 1}} + \frac{{2^2 }}<br />{{3^2 + 1}} + \ldots + \frac{{2^{n + 1} }}<br />{{3^{2^n } + 1}} + \frac{{2^{n + 2} }}<br />{{3^{2^{n + 1} } + 1}} \hfill \\<br /> = 1 - \frac{{2^{n + 2} }}<br />{{3^{2^{n + 1} } - 1}} + \frac{{2^{n + 2} }}<br />{{3^{2^{n + 1} } + 1}} = 1 - \frac{{2^{n + 3} }}<br />{{3^{2^{n + 2} } - 1}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ lo que la prueba para n+1 Así completamos el problema Lo hubiese visto antes... CITA(Cesarator @ May 20 2006, 11:35 PM) Eso nunca!!! ¿Y el consejo de respirar hondo y dejar la mente en blanco por 1 minuto??? Algo así hice, generalmente tarareo canciones (para mí mismo) -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Cesarator	May 20 2006, 10:54 PM Publicado: #19
Invitado	CITA(†Alucard† @ May 20 2006, 11:50 PM) ... Y finalmente probamos esta fórmula por inducción: ... Es necesaria la demostración por inducción?

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 10:58 PM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ May 20 2006, 11:54 PM) Es necesaria la demostración por inducción? Yo siempre lo creí así... Aunque, pensándolo bien, como la deducción había sido para un n genérico no era necesaria... Ah, no sé, está pregunta realmente me superó -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

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