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Cuarto Nivel Individual

0.9999999...=1 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 05:24 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 281 Registrado: 7-April 06 Desde: Santiago - Quirihue Miembro Nº: 786 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \textbf{P2)}$ Encuentre una fórmula en terminos de n para el valor de la suma $TEX: \[<br />\frac{2}{{3 + 1}} + \frac{{2^2 }}{{3^2 + 1}} + \frac{{2^3 }}{{3^4 + 1}} + \frac{{2^4 }}{{3^8 + 1}}... + \frac{{2^{n + 1} }}{{3^{2^n } + 1}}<br />\]$ Yo solo llegue a la conclusión k la sumatoria tendia a uno, esta bueno eso??, ojala, pa kme den algo de puntaje, jajajaja -------------------- "Si le das a un hombre un pescado, comerá un día. Si le enseñas a pescar, comerá toda la vida." "Si persiges a dos conejos al mismo tiempo, los perderás a ambos." "Las cosas valen lo que su comprador esté dispuesto a pagar por ellas."

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 05:37 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1 En el año 2100, nuestra agencia espacial ha establecido un observatorio astronómico e cada uno de los 9 planetas del sistema solar. En todo instante el astrónomo a cargo de cada observatorio está observando el planeta más cercano a él. Se sabe que hay un momento en que la distancia entre cada par de planetas es distinta. Probar que en ese momento habrá un planeta que no está siendo observado. -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 05:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Esto fue lo que yo hice: Lema 1: $TEX: \[<br />3^{2^{n + 1} } - 2\prod\limits_{i = 0}^n {(3^{2^i } + 1)} = 1<br />\]$ Para n=0 es verdadero (9-8=1), y si es cierto para algún n, multiplicándolo por $TEX: \[<br />3^{2^{n + 1} } + 1<br />\]$ : $TEX: \[<br />3^{2^{n + 2} } + 3^{2^{n + 1} } - 2\prod\limits_{i = 0}^{n + 1} {(3^{2^i } + 1)} = 3^{2^{n + 1} } + 1 \Rightarrow 3^{2^{n + 2} } - 2\prod\limits_{i = 0}^{n + 1} {(3^{2^i } + 1)} = 1<br />\]$ QED Lema 2: $TEX: \[<br />\frac{2}<br />{{3 + 1}} + \frac{{2^2 }}<br />{{3^2 + 1}} + \ldots + \frac{{2^{n + 1} }}<br />{{3^{2^n } + 1}} = 1 - \prod\limits_{i = 0}^n {\frac{2}<br />{{3^{2^i } + 1}}} <br />\]$ Para n=0 es verdadero ( $TEX: $\frac{2}{4}=\frac{2}{4}$$ ), y si es cierto para algún n, tenemos $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{2}<br />{{3 + 1}} + \frac{{2^2 }}<br />{{3^2 + 1}} + \ldots + \frac{{2^{n + 2} }}<br />{{3^{2^{n + 1} } + 1}} \hfill \\<br /> = 1 - \prod\limits_{i = 0}^n {\frac{2}<br />{{3^{2^i } + 1}}} + \frac{{2^{n + 2} }}<br />{{3^{2^{n + 1} } + 1}} \hfill \\<br /> = 1 - 2^{n + 1} \left( {\frac{{3^{2^{n + 1} } + 1 - 2\prod\limits_{i = 0}^n {(3^{2^i } + 1)} }}<br />{{\prod\limits_{i = 0}^{n + 1} {(3^{2^i } + 1)} }}} \right) = 1 - 2^{n + 1} \left( {\frac{2}<br />{{\prod\limits_{i = 0}^{n + 1} {(3^{2^i } + 1)} }}} \right) = 1 - \prod\limits_{i = 0}^{n + 1} {\frac{2}<br />{{3^{2^i } + 1}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ (Nótese que usamos el lema 1 en la penúltima igualdad) QED Lema 3: $TEX: \[<br />\prod\limits_{i = 0}^n {(3^{2^i } + 1) = \frac{{3^{2^{n + 1} } - 1}}<br />{2}} <br />\]$ Para n=0 es verdadero (4=4), y si es cierto para algún n, entonces, multiplicándolo por $TEX: \[<br />3^{2^{n + 1} } + 1<br />\]$ , queda $TEX: \[<br />\prod\limits_{i = 0}^{n + 1} {(3^{2^i } + 1)} = \frac{{3^{2^{n + 2} } - 3^{2^{n + 1} } + 3^{2^{n + 1} } - 1}}<br />{2} = \frac{{3^{2^{n + 2} } - 1}}<br />{2}<br />\]$ QED Entonces: $TEX: \[<br />\frac{2}<br />{{3 + 1}} + \frac{{2^2 }}<br />{{3^2 + 1}} + \ldots + \frac{{2^{n + 1} }}<br />{{3^{2^n } + 1}} = 1 - \prod\limits_{i = 0}^n {\frac{2}<br />{{3^{2^i } + 1}}} = 1 - \frac{{2^{n + 1} }}<br />{{\frac{{3^{2^{n + 1} } - 1}}<br />{2}}} = 1 - \frac{{2^{n + 2} }}<br />{{3^{2^{n + 1} } - 1}}<br />\]$ (Usamos el lema 2 en la primera igualdad y el 3 en la siguiente) Lo que resuelve el problema Saludos -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

0.9999999...=1 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 06:12 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 281 Registrado: 7-April 06 Desde: Santiago - Quirihue Miembro Nº: 786 Nacionalidad: Sexo:	Supuestamente este signo $TEX: \[<br />\prod {} <br />\]$ se llama pitatoria o no?? k diferencia posee con una sumatoria?? como pongo sumatorias en el maple?? oye tu hiciste la fecha pasada??, si fuiste cuantos puntos tuviste?? -------------------- "Si le das a un hombre un pescado, comerá un día. Si le enseñas a pescar, comerá toda la vida." "Si persiges a dos conejos al mismo tiempo, los perderás a ambos." "Las cosas valen lo que su comprador esté dispuesto a pagar por ellas."

.r0 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 06:26 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 452 Registrado: 28-January 06 Desde: Quirihue, VIII Region Miembro Nº: 519 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	es parecido al de sumatoria, pero debes multiplicar los terminos, no sumarlos , creo que tambien se conoce con el nombre de "productoria" ej.: $TEX: \[<br />\prod\limits_{i = 1}^2 {i + 1 = (1 + 1)(2 + 1) = 6} <br />\]$ si es que no me equivoque, jajaja! La sumatoria en maple, es: CÓDIGO sum(%f,%i=%k..%n); donde: %f = funcion, %i= variable, %k, el numero con el que empieza, no me acuerdo como se llama, xD, %n, el numero en el que termina.... ej. $TEX: \[<br />\sum\limits_{i = 1}^3 {x^2 + 1} <br />\]$ CÓDIGO sum(x^2+1,x=1..3); ah, y la pitatoria es: CÓDIGO product(%f,%i=%k..%n); saludos -------------------- Nicolás Flores Cartes Estudiante de Ingeniería y Ciencias. Plan Común Universidad de Chile

0.9999999...=1 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 06:55 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 281 Registrado: 7-April 06 Desde: Santiago - Quirihue Miembro Nº: 786 Nacionalidad: Sexo:	Yo a ese le puse k siempre existia un planeta X k se distanciaba R del planeta Y(el mas cercano para X), siendo R la distancia mas larga dentro de la distancias de los planetas mas cercanos entre ellos, por lo tanto todos observaban todos menos a X k no era observado por nadie ya k no era el mas cercano para nadie. con eso lo tendre bueno??, OJALA!!!, jajajajajja -------------------- "Si le das a un hombre un pescado, comerá un día. Si le enseñas a pescar, comerá toda la vida." "Si persiges a dos conejos al mismo tiempo, los perderás a ambos." "Las cosas valen lo que su comprador esté dispuesto a pagar por ellas."

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 08:10 PM Publicado: #7
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No es jugo, va en serio... ¿Por qué postean las preguntas separadas ? La gracia es que la prueba esté completa (en buena ) Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 08:52 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Nota: No es que este post no tenga sentido, es sólo que fue movido a este topic, y por eso no sale la pregunta que responde, que es la siguiente: Problema 1. En el año 2100, nuestra agencia espacial ha establecido un observatorio astronómico en cada uno de los 9 planetas del sistema solar. En todo instante el astrónomo a cargo de cada observatorio está observando el planeta más cercano a él. Se sabe que hay un momento en que la distancia entre cada par de planetas es distinta. Probar que en ese momento habrá un planeta que no estará siendo observado. Yo puse lo siguiente: Sea P el conjunto de los 9 planetas, en el instante dado. Definición 1: Un subconjunto C de P se dice completamente observado si cada planeta de C está siendo observado por algún otro planeta de C. Definición 2: Un par de planetas $TEX: $P_i,P_j$$ se dice par autónomo si $TEX: $P_i$$ observa a $TEX: $P_j$$ y viceversa. Lema 1: Todo conjunto C completamente observado posee por lo menos un par ordenado de planetas. Demostración: Sea D el conjunto de todas las distancias entre los planetas de C, tomadas 2 a 2. Como todas las distancias son distintas (enunciado) y hay un número finito de ellas, existe un menor elemento de D. Entonces el par de planetas separados por esa distancia forman un par ordenado, porque cada uno de ellos observa obligadamente al otro (es el más cercano) QED Lema 2: Si C es un conjunto completamente observado y $TEX: $P_i,P_j\in{C}$$ forman un par ordenado, entonces el conjunto $TEX: $E=C-\{ P_i,P_j\}$$ también es completamente observado. Demostración: Supongamos que E no es completamente observado, luego existe un planeta X en E que no es observado por ningún otro en E; como X está en C, y C sí era completamente observado, concluimos que $TEX: $P_i$$ o $TEX: $P_j$$ tienen que observar a X, en cuyo caso no formarían un par ordenado. QED Demostración del Problema 1: Supongamos que P (de 9 elementos) es completamente observado, luego contiene un par de planetas que forman un par ordenado (Lema 1). Al retirar este par de P, se obtiene un conjunto R (de 7 elementos) que también es completamente observado (Lema 2). Aplicando alternadamente los Lemas 1 y 2, se obtiene un conjunto S (de 5 elementos), un T (de 3 elementos) y un U (de 1 elemento), todos completamente observados. Pero U no puede ser completamente observado, porque un planeta no puede observarse a sí mismo. Contradicción que prueba que P no es completamente observado, luego existe por lo menos un planeta de P que no es observado por ningún otro. QED Corolario: (extra) En cualquier cantidad impar de planetas que cumpla las propiedades del enunciado existe por lo menos un planeta no observado por ningún otro. Eso sería Saludos P.S.: En respuesta a tu pregunta en el foro de la otra pregunta, 0.9999999...=1, sí, participé, saqué 20 puntos -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Hexe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 09:03 PM Publicado: #9
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 6-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 164 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	pi..pi..ta..to..ri..a... q es eso??? que otra forma habia de hacer el problema??? tiene q haber otra forma!!!! primera vez en mi vida que veo eso de pitatoria se ve bonita la solucion usando pitatoria... ni por siaca podria hacer el problema...con pitatoria lo unico q pude hacer fue expresarla como una sumatoria y nada mas... hay alguna guia de pitatoria en el fmat??? esop bye

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 09:33 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Killua @ May 20 2006, 09:10 PM) No es jugo, va en serio... ¿Por qué postean las preguntas separadas ? La gracia es que la prueba esté completa (en buena ) Saludos No sé, cuando llegué ya estaba este topic, y si se llamaba 'el problema dos' no iba a poner el uno... verdad? CITA(Hexe @ May 20 2006, 10:03 PM) pi..pi..ta..to..ri..a... q es eso??? que otra forma habia de hacer el problema??? tiene q haber otra forma!!!! Una pitatoria... es como una sumatoria, sólo que en vez de sumar todos los término los multiplicas entre sí Tal vez se hubiese podido hacer trabajando con una pitatoria... sin decirlo, dejando las multiplicaciones con puntos suspensivos... no sé si habría otra forma Saludos -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

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