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Integrales para soltar la mano, recolectando problemitas

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2010, 01:35 AM Publicado: #61
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $$\text{Calcule (Sin Integrar): }\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}$$$ $TEX: $$\text{Por el Teorema del Valor Medio Integral}\text{, existe }c\in \left[ n,2n \right]\text{ tal que:}$$$ $TEX: $$\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}=\frac{n}{\sqrt{1+c^{4}}}$$$ $TEX: $$\text{Entonces:}$$$ $TEX: $$n<c<2n$$$ $TEX: $$n^{4}<c^{4}<16n^{4}\text{ (Pues n es mayor que 1 y se agranda)}$$$ $TEX: $$1+n^{4}<1+c^{4}<1+16n^{4}$$$ $TEX: $$\sqrt{1+n^{4}}<\sqrt{1+c^{4}}<\sqrt{1+16n^{4}}$$$ $TEX: $$\frac{1}{\sqrt{1+16n^{4}}}<\frac{1}{\sqrt{1+c^{4}}}<\frac{1}{\sqrt{1+n^{4}}}$$$ $TEX: $$\frac{n}{\sqrt{1+16n^{4}}}<\frac{n}{\sqrt{1+c^{4}}}=\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}<\frac{n}{\sqrt{1+n^{4}}}$$$ $TEX: $$\frac{1}{\sqrt{1+16n^{4}}}<\frac{1}{n}\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}<\frac{1}{\sqrt{1+n^{4}}}$$$ $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{1+16n^{4}}}\le \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}\le \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{1+n^{4}}}$$$ $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{n^{4}}+16}}\le \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}\le \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{n^{4}}+1}}$$$ $TEX: $$0\le \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}\le 0$$$ $TEX: $$\therefore \text{Por el teorema del sandwich (o emparedado)}\text{, se tiene que }\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}=0$$$ Mensaje modificado por OckUC el Feb 21 2010, 01:37 AM -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2010, 02:30 PM Publicado: #62
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(madd @ Feb 21 2010, 02:17 AM) $TEX: <br />$$\text{Determine }I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln \sin xdx}$$<br />$ $TEX: $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln \left( \cos \frac{x}{2} \right)\,dx}=\int_{\frac\pi2 }^{\pi}{\ln \left( \operatorname{sen}\frac{x}{2} \right)\,dx},$$$ así que $TEX: $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln (\operatorname{sen}x)\,dx}=\frac{\pi }{2}\ln 2+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln \left( \operatorname{sen}\frac{x}{2} \right)\,dx}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln \left( \cos \frac{x}{2} \right)\,dx},$$$ y enventualmente la integral vale $TEX: $-\dfrac\pi2\ln2.$$ QUOTE(OckUC @ Feb 21 2010, 03:35 AM) $TEX: $$\text{Calcule (Sin Integrar): }\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\int\limits_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}$$$ Tenemos que $TEX: $$0\le \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}}\le \frac{1}{x^{2}},$$$ para cada $TEX: $x\ne0,$$ luego $TEX: $$0\le \int_{n}^{2n}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}}\le \frac{1}{2n},$$$ y el límite es cero aplicando Sandwich.

madd Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2010, 09:37 PM Publicado: #63
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 20 Registrado: 21-April 08 Miembro Nº: 20.686 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Aunque es posible que ya se encuentre, lo comparto de todas maneras.$ $TEX: <br />$$\text{Halle }I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln x}{1-x}}$$<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2010, 09:50 PM Publicado: #64
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Anda dando vueltas por ahí, en varias versiones, pero no recuerdo los links con exactitud, pero igual daré una solución para este problemita. Primero usemos el siguiente hecho: $TEX: $$\int_{0}^{1}{x^{j}\ln (x)\,dx}=-\int_{0}^{1}\!{\int_{x}^{1}{\frac{x^{j}}{t}\,dt}\,dx}=-\int_{0}^{1}\!{\int_{0}^{t}{\frac{x^{j}}{t}\,dx}\,dt}=-\frac{1}{(1+j)^{2}}.$$$ Entonces $TEX: $$\int_{0}^{1}{\frac{\ln (x)}{1-x}\,dx}=\int_{0}^{1}{\left( \ln (x)\sum\limits_{j\ge 0}{x^{j}} \right)\,dx}=\sum\limits_{j\ge 0}{\int_{0}^{1}{x^{j}\ln (x)\,dx}}=-\frac{\pi ^{2}}{6}.$$$

madd Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2010, 10:16 PM Publicado: #65
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 20 Registrado: 21-April 08 Miembro Nº: 20.686 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />$$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln x}{1-x}dx}$$<br />$ $TEX: <br />$$\text{Sea }u=1-x;\text{ }-du=dx$$<br />$ $TEX: <br />$$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln x}{1-x}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln (1-u)}{u}du}=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{u}\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{u^{n+1}}{n+1}}}du=-\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{1}{(n+1)^{2}}}=-\frac{\pi ^{2}}{6}$$<br />$ $TEX: Saludos$ Mensaje modificado por madd el Mar 8 2010, 12:44 AM

madd Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 7 2010, 11:51 PM Publicado: #66
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 20 Registrado: 21-April 08 Miembro Nº: 20.686 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Si $a$$>$0, ¿para qué valor de $\alpha$ es convergente la integral$ $TEX: $$\int\limits_{0}^{+\infty }{\left( \frac{1}{\sqrt{1+ax^{2}}}-\frac{\alpha }{x+1} \right)}dx\text{ ?}$$$ Solución. $TEX: <br />$$\int\limits_{0}^{t}{\left( \frac{1}{\sqrt{1+ax^{2}}}-\frac{\alpha }{x+1} \right)}dx=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln \left( \sqrt{1+at^{2}}+\sqrt{a}t \right)-\alpha \ln \left( t+1 \right)=\ln \left[ \frac{\left( \sqrt{1+at^{2}}+\sqrt{a}t \right)^{\frac{1}{\sqrt{a}}}}{\left( t+1 \right)^{\alpha }} \right]$$<br />$ $TEX: <br />$$\Rightarrow \int\limits_{0}^{+\infty }{\left( \frac{1}{\sqrt{1+ax^{2}}}-\frac{\alpha }{x+1} \right)}dx=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left[ \frac{\left( \sqrt{1+at^{2}}+\sqrt{a}t \right)^{\frac{1}{\sqrt{a}}}}{\left( t+1 \right)^{\alpha }} \right]$$<br />$ La integral converge si $TEX: <br />$$\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{1+at^{2}}+\sqrt{a}t \right)^{\frac{1}{\sqrt{a}}}}{\left( t+1 \right)^{\alpha }}$$<br />$ existe; • Si $TEX: <br />$$\alpha >\frac{1}{\sqrt{a}}$$<br />$ , el límite es cero; • Si $TEX: <br />$$\alpha <\frac{1}{\sqrt{a}}$$<br />$ , el límite no existe; • Si $TEX: <br />$$\alpha =\frac{1}{\sqrt{a}}$$<br />$ , se tiene que $TEX: <br />$$\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt{1+at^{2}}+\sqrt{a}t}{t+1} \right)^{\frac{1}{\sqrt{a}}}=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt{\frac{1}{t^{2}}+a}+\sqrt{a}}{1+\frac{1}{t}} \right)^{\frac{1}{\sqrt{a}}}=\left( 2\sqrt{a} \right)^{\frac{1}{\sqrt{a}}}$$<br />$ En consecuencia, la integral converge únicamente cuando $TEX: <br />$$\alpha =\frac{1}{\sqrt{a}}$$<br />$ y su valor es $TEX: <br />$$\frac{1}{\sqrt{a}}\ln 2\sqrt{a}$$<br />$ Mensaje modificado por madd el Mar 9 2010, 05:28 PM

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 8 2010, 09:30 PM Publicado: #67
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	La idea es postear el problema y ocultar su solución.

parsec Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2012, 04:43 PM Publicado: #68
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 29-April 07 Desde: San Felipe Miembro Nº: 5.524 Nacionalidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Sep 1 2008, 11:23 PM) Esta me salio en una guia, me parecio entretenida $TEX: \[<br />\int {\frac{x}<br />{{x^2 + x + 1}}dx} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int {\frac{x}<br />{{x^2 + x + 1}}dx} = \frac{1}<br />{2}\int {\frac{{2x + 1 - 1}}<br />{{x^2 + x + 1}}dx} = \frac{1}<br />{2}\int {\frac{{2x + 1}}<br />{{x^2 + x + 1}}dx - \frac{1}<br />{2}\int {\frac{1}<br />{{x^2 + x + 1 + \frac{1}<br />{4} - \frac{1}<br />{4}}}dx} } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{2}\int {\frac{{\left( {x^2 + x + 1} \right)^\prime }}<br />{{x^2 + x + 1}}dx} - \frac{1}<br />{2}\int {\frac{1}<br />{{\frac{3}<br />{4} + \left( {x + \frac{1}<br />{2}} \right)^2 }}dx} = \frac{1}<br />{2}\ln \left\| {x^2 + x + 1} \right\| + k - \frac{1}<br />{2} \cdot \frac{4}<br />{3}\int {\frac{1}<br />{{1 + \left( {\frac{{2x + 1}}<br />{{2\sqrt {\frac{3}<br />{4}} }}} \right)}}dx} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Sea: }}u = \frac{{2x + 1}}<br />{{2\sqrt {\frac{3}<br />{4}} }} \Rightarrow du = \sqrt {\frac{4}<br />{3}} dx \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{2}\ln \left\| {x^2 + x + 1} \right\| + k - \frac{2}<br />{3}\sqrt {\frac{3}<br />{4}} \int {\frac{1}<br />{{1 + u^2 }}du} = \frac{1}<br />{2}\ln \left\| {x^2 + x + 1} \right\| + k - \frac{2}<br />{3}\sqrt {\frac{3}<br />{4}} \left( {\arctan u} \right) + K \hfill \\<br /> {\text{Restituyendo:}} \hfill \\<br /> \boxed{\int {\frac{x}<br />{{x^2 + x + 1}}dx} = \frac{1}<br />{2}\ln \left\| {x^2 + x + 1} \right\| - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{3}\arctan \left( {\frac{{2x + 1}}<br />{{\sqrt 3 }}} \right) + C} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ hola a todos me gustaria saber como factorizaste el 3 cuartos por favor saludos

parsec Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2012, 06:40 PM Publicado: #69
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 29-April 07 Desde: San Felipe Miembro Nº: 5.524 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Gazoo @ Sep 8 2008, 01:44 PM) Jajaj grande profe Pezo, se voló con la integral de arriba, Jaure xD. Aquí una con unos pasos medio truculentos, pero que sale rápido, por si a alguien le sirve: Calcular $TEX: \[<br />\int {\frac{{\sqrt {1 - x} }}<br />{{1 - \sqrt x }}dx} <br />\]<br /><br />$ Sol: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int {\frac{{\sqrt {1 - x} }}<br />{{1 - \sqrt x }}dx} = \int {\frac{{\sqrt {1 - x} \left( {1 + \sqrt x } \right)}}<br />{{1 - x}}} dx = \int {\frac{{1 + \sqrt x }}<br />{{\sqrt {1 - x} }}} dx = \int {\left( {\frac{1}<br />{{\sqrt {1 - x} }} - \frac{{ - 2x}}<br />{{2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} }}} \right)} dx \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \int {\left( {\frac{1}<br />{{\sqrt {1 - x} }} - \frac{{1 - 2x}}<br />{{2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} }} + \frac{{\frac{1}<br />{{2\sqrt x }}}}<br />{{\sqrt {1 - x} }}} \right)} dx = \boxed{ - 2\sqrt {1 - x} - \sqrt {x\left( {1 - x} \right)} + \arcsin \sqrt x } \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ chiii terrible truculentos los pasos po

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