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Un simpático producto

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 10 2006, 08:15 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Probar que:\\<br />$$sen\left(\dfrac{\pi}{n}\right)sen\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)sen\left(\dfrac{3\pi}{n}\right)\cdots sen\left(\dfrac{(n-1)\pi}{n}\right)=\dfrac{n}{2^{n-1}}$$$ Suerte PD: Hint...pensar en numeros complejos Mensaje modificado por Kenshin el May 19 2006, 12:45 AM -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 26 2006, 09:14 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	en fin, ya que nadie responde... ... aquí va mi solución: Se llamará $TEX: $A$$ al producto de los senos (el lado izquierdo) Hay una hermosa igualdad: $TEX: $i^{3n+1}\cdot \exp\left(\dfrac{i\pi (n-1)}{2}\right)=1$$ (esto no es directo, pero analizando los casos de n en módulo 4, la conclusión es inmediata) Ahora, sea $TEX: $f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x^2+x+1$$ Luego: $TEX: $f(x)=\dfrac{x^n-1}{x-1}=\dfrac{(x-\omega )(x-\omega ^2)\cdots (x-\omega ^{n-1})(x-1)}{x-1}=\displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left(x-\omega ^K\right)$$ Por lo tanto: $TEX: $\boxed{f(x)=\displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left(x-\omega ^K\right)}$$ Se entiende por $TEX: $\omega ^K$$ (con K natural menor que n) a las raíces n-ésimas de 1, por lo que: $TEX: $\omega ^K=\exp\left(\dfrac{2\pi Ki}{n}\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi K}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi K}{n}\right)$$ Pero sabemos por propiedades del ángulo doble: $TEX: $\cos\left(\dfrac{2\pi K}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi K}{n}\right)=1-2\sin^2\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)+2i\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\cos\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)$$ Cambiando signo, sumando 1 a cada lado, y factorizando el lado derecho: $TEX: $\boxed{1-\omega ^K=2\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\cdot \left(\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\right)}$$ Tenemos, por una parte: $TEX: $n=\displaystyle\underbrace{1+1+\ldots +1+1}_{n\ veces}=1^{n-1}+1^{n-2}+\ldots +1^2+1+1=f(1)$$ Por otra parte: $TEX: $f(1)=\displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left(1-\omega ^K\right)=\prod_{K=1}^{n-1}\left[2\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\cdot \left(\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\right)\right]=$$ $TEX: $=\displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}2\cdot \displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\cdot \displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left[\sin\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi K}{n}\right)\right]=$$ $TEX: $=2^{n-1}\cdot A\cdot \displaystyle\prod_{K=1}^{n-1}\left[(-i)\cdot \exp\left(\dfrac{\pi Ki}{n}\right)\right]=2^{n-1}\cdot A\cdot (-i)^{n-1}\cdot \exp\left(\dfrac{\pi i}{n}\cdot \dfrac{(n-1)n}{2}\right)=$$ $TEX: $=2^{n-1}\cdot A\cdot \displaystyle\underbrace{i^{3n+1}\cdot \exp\left(\dfrac{i\pi (n-1)}{2}\right)}_{1}=2^{n-1}\cdot A$$ Como conclusión: $TEX: $n=2^{n-1}\cdot A\Longleftrightarrow \boxed{A=\dfrac{n}{2^{n-1}}}$$ Q.E.D. Saludos!! -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

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