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VII Olimpiada de Mayo, 2001, Segundo Nivel

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 9 2006, 10:58 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	7ª OLIMPIADA DE MAYO Segundo Nivel Problema 1: En mi calculadora una de las teclas del 1 al 9 funciona mal: al apretarla aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde. Cuando traté de escribir el número 987654321, apareció en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9. ¿Cuál es la tecla descompuesta? ¿Cuál es el número que apareció en la pantalla? Problema 2: En el trapecio $TEX: $ABCD$$ , el lado $TEX: $DA$$ es perpendicular a las bases $TEX: $AB$$ y $TEX: $CD$$ . La base $TEX: $AB$$ mide 45, la base $TEX: $CD$$ mide 20 y el lado $TEX: $BC$$ mide 65. Sea $TEX: $P$$ en el lado $TEX: $BC$$ tal que $TEX: $BP$$ mide 45 y sea $TEX: $M$$ el punto medio de $TEX: $DA$$ . Calcula la medida del segmento $TEX: $PM$$ Problema 3: En un tablero de 3 filas y 555 columnas, se colorean de rojo 3 casillas, una en cada una de las 3 filas. Si se escriben en las casillas, ordenadamente por filas, de izquierda a derecha, los números del 1 al 1665 (en la primera fila del 1 al 555, en la segunda del 556 al 1110 y en la tercera del 1111 al 1665) hay 3 números que quedan escritos en casillas rojas. Si se escriben en las casillas, ordenadamente por columnas, de arriba hacia abajo, los números del 1 al 1665 (en la primera columna del 1 al 3, en la segunda del 4 al 6, en la tercera del 7 al 9,..., y en la última del 1663 al 1665) hay 3 números que quedan escritos en casillas rojas. Llamamos números rojos a los que en alguna de las dos distribuciones quedan escritos en casillas rojas. Indica cuáles son las 3 casillas que hay que colorear de rojo para que sólo haya 3 números rojos. Muestra todas las posibilidades. Problema 4: Alrededor de un círculo se ubican diez monedas de 1 cm de radio como se indica en la figura. Cada moneda es tangente al círculo y a sus dos monedas vecinas. Demuestre que la suma de las áreas de las diez monedas es el doble del área del círculo. Problema 5: En el pizarrón están escritos los números naturales desde 1 hasta 2001 inclusive. Hay que borrar algunos números de modo que entre los que quedan sin borrar sea imposible elegir dos números distintos tales que el resultado de su multiplicación sea igual a alguno de los números que quedan sin borrar. ¿Cuál es la mínima cantidad de números que se deben borrar? Para dicha cantidad, presenta un ejemplo que muestre qué números se borran. Justifica por qué, si se borran menos números, no se tiene la propiedad deseada. Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Corecrasher	May 23 2006, 09:02 PM Publicado: #2
Invitado	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{p1}}$$ El numero original $TEX: $987654321$$ escrito con la tecla mala queda un numero $TEX: $\equiv 0(mod.11)$$ y $TEX: $\equiv 3(mod.9)$$ . Para analizar el numero diremos: $TEX: $\mathcal{S}$$ Suma de los digitos del numero original. $TEX: $\mathcal{S'}$$ Suma de los digitos del numero que aparece. $TEX: $\mathcal{P}$$ Suma de los digitos en lugares pares. $TEX: $\mathcal{I}$$ Suma de los digitos en lugares impares. Analizando la congruencia en $TEX: $(mod.11)$$ : Tenemos $TEX: $\mathcal{P}-\mathcal{I}=20-25=-5$$ , pero el numero que aparecio cumple $TEX: $\mathcal{P}-\mathcal{I}=11k$$ . Analizando la congruencia en $TEX: $(mod.9)$$ : Notemos que $TEX: $\mathcal{S}=45$$ , por lo tanto si luego deja resto $TEX: $3$$ , $TEX: $\mathcal{S}$$ tendra que aumentar en $TEX: $3$$ o disminuir en $TEX: $6$$ , pues si disminuye en $TEX: $12$$ o mas se alteraran mas de $TEX: $1$$ digito , analogo si aumenta $TEX: $15$$ o mas. Entonces ahora tenemos que $TEX: $\mathcal{P}$$ o $TEX: $\mathcal{I}$$ aumenta en $TEX: $3$$ o disminuye en $TEX: $6$$ , analizando los posibles casos para que $TEX: $\mathcal{P}-\mathcal{I}=11k$$ tenemos $TEX: $\mathcal{P}$$ disminuye en $TEX: $6$$ , luego $TEX: $8,6,4$$ o $TEX: $2$$ disminuyen en $TEX: $6$$ ; $TEX: $4$$ y $TEX: $2$$ no pueden pues si lo hicieran alteran mas de $TEX: $1$$ digito del numero original , entonces tenemos que los posibles numeros que aparecieron son: $TEX: $927654321$$ $TEX: $987054321$$ Pero este ultimo es imposible pues los digitos del numero siempre son distintos de $TEX: $0$$ , entonces la tecla mala es la del $TEX: $8$$ y nos muestra un $TEX: $2$$ .

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 1 2007, 11:21 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Killua @ May 10 2006, 12:58 AM) Problema 4: Alrededor de un círculo se ubican diez monedas de 1 cm de radio como se indica en la figura. Cada moneda es tangente al círculo y a sus dos monedas vecinas. Demuestre que la suma de las áreas de las diez monedas es el doble del área del círculo. sorry por el desfase, pero la otra vez hice este problema en el colegio, y sabia que estaba en fmat, hasta que lo piyé xD!. Lema 1 Si tenemos 2 circunferencias tangentes exteriormente, sus centros y el punto de tangencia son colineales. Demostracion: La distancia mas corta entre 2 puntos es claramente la recta que los une (euclidianamente hablando) entonces la distancia mas corta entre los centros será la linea que los une. Esa linea, que llamaremos e, es obviamente mayor o igual a R+r. Supongamos que dicha linea no pase por el punto de tangencia, entonces unamos los puntos con el punto de tangencia, formando un triangulo. Claramente, por la desigualdad triangular, tenemos que $TEX: $R+r>e\ge R+r$$ , Lo que es absurdo. Entonces, la unica forma de que la desigualdad no ocurra, es que las lineas deben ser coincidentes para no formar el triangulo, y eso implica al mismo tiempo que el punto de tangencia debe pertenecer a la recta. Lema 2 Si tenemos un triángulo isoceles de angulos 36 72 72, entonces la razon entre el lado mayor y el basal es $TEX: $\phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$$ . Trazamos la bisectriz de un ángulo basal, obteniendo las medidas y ángulos señalados en la figura. Entonces, por el teorema de la bisectriz, tenemos $TEX: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a-b}\Longrightarrow a(a-b)=b^2\Longrightarrow a^2-ab-b^2=0$$ , con la ecuaci\'on de segundo grado obtenida para $TEX: $a$$ tenemos $TEX: $a=\dfrac{b+\sqrt{4b^2+b^2}}{2}\Longrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$$ . Entonces, unimos el centro del circulo grande con el centro de 2 círculos pequeños y adyacentes y también unimos los centros de dichos círculos pequeños Claramente, formamos un triángulo isósceles de base $TEX: $2r$$ y lados no basales $TEX: $R+r$$ (por lema 1). Como son 10 triángulos, y son congruentes, tenemos que el angulo no basal de dicho triángulo vale $TEX: $\dfrac{360}{10}=36$$ . Eso nos dice que ese triángulo es isósceles de ángulos 36 72 72!!!. Por el lema 2, tenemos $TEX: $\dfrac{R+r}{2r}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Longrightarrow R=r\sqrt{5}$$ . El área de todos los círculos vale $TEX: $10\cdot r^2\pi$$ y el área del círculo grande vale $TEX: $R^2\pi\Longrightarrow (r\sqrt{5})^2\pi=5r^2\pi$$ . O sea, el área total de los círculos pequeños es el doble del área del círculo grande. -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 2 2007, 10:33 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Killua @ May 10 2006, 12:58 AM) Problema 2: En el trapecio $TEX: $ABCD$$ , el lado $TEX: $DA$$ es perpendicular a las bases $TEX: $AB$$ y $TEX: $CD$$ . La base $TEX: $AB$$ mide 45, la base $TEX: $CD$$ mide 20 y el lado $TEX: $BC$$ mide 65. Sea $TEX: $P$$ en el lado $TEX: $BC$$ tal que $TEX: $BP$$ mide 45 y sea $TEX: $M$$ el punto medio de $TEX: $DA$$ . Calcula la medida del segmento $TEX: $PM$$ Lema 1 Si tenemos un triángulo rectángulo, y trazamos el segmento que une el vértice del ángulo recto con el punto medio de la hipotenusa, se forman 3 segmentos iguales entre sí y al radio circunscrito del triángulo. Demostración $TEX: $\triangle ABC$$ rectángulo en C. Claramente, podemos trazar la circunferencia cinscunscrita a dicho triángulo. Entonces unamos C con D que es el punto medio de la hipotenusa. Son iguales porque son los 3 radios. Claramente $TEX: $\overline{CD}=\overline{CP}$$ y $TEX: $\overline{PB}=\overline{AB}$$ . Entonces se forman triángulos isósceles. Sea $TEX: $a=\angle CDP$$ y $TEX: $b=\angle BAP$$ . Ya que los ángulos interiores de un triángulo da 180, entonces $TEX: $\angle DCP=180-2a$$ y $TEX: $\angle ABP=180-2b$$ . Como la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360, entonces tenemos $TEX: $360=90+90+(180-2a)+(180-2b)\Longrightarrow a+b=90$$ . Como a y b son complementarios, el $TEX: $\angle DPA$$ vale 90. El $TEX: $\triangle DPA$$ es rectángulo en P, y como M es punto medio de su hipotenusa, por el lema 1 tenemos que $TEX: $\overline{DM}=\overline{MA}=\overline{PM}=r$$ . Sea E la proyeccón ortogonal de C sobre el lado AB. Tenemos $TEX: $\overline{CE}=2r$$ . Gracias al viejito Pitágoras tenemos $TEX: $25^2+(2r)^2=65^2\Longrightarrow r=30$$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 2 2007, 04:25 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ambas soluciones entregadas por pelao_malo están correctísimas, felicitaciones Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

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