VI Olimpiada de Mayo, 2000, Segundo Nivel Opciones

[Killua]

6ª OLIMPIADA DE MAYO
Segundo Nivel

Problema 1: El conjunto puede ser partido en dos subconjuntos y sin elementos comunes y tales que la suma de los elementos de es igual a la suma de los elementos de . Una tal partición es imposible para el conjunto y también para el conjunto Determinar todos los valores de para los que el conjunto de los primeros números naturales puede ser partido en dos subconjuntos sin elementos comunes tales que la suma de los elementos de cada subconjunto sea la misma.

Problema 2: En un paralelógramo de área 1 se trazan las rectas que unen cada vértice con el punto medio de cada lado no adyacente a él. Las ocho rectas trazadas determinan un octógono en el interior del paralelógramo. Calcular el área de dicho octógono.

Problema 3: Sean una circunferencia de radio 2; una circunferencia de radio 1 tangente interiormente a en y una circunferencia de radio 1 tangente a en el punto pero que no es tangente a . Si es el punto de intersección de la recta con la circunferencia , demostrar que pertenece a la circunferencia .

Problema 4: Se tiene un cubo de formado por la unión de 27 cubitos de . Se retiran algunos cubitos de tal modo que los que permanecen siguen formando un sólido constituido por cubitos que están unidos por lo menos por una cara al resto del sólido. Cuando se retira un cubito los que permanecen lo hacen en el mismo lugar en que estaban. ¿Cuál es el máximo número de cubitos que se pueden retirar de modo que el área del sólido que resulta sea igual al área del cubo original?

Problema 5: Un rectángulo se puede dividir en cuadrados iguales y también se puede dividir en cuadrados iguales. Si el área del rectángulo es , con entero, hallar los lados del rectángulo. Dar todas las posibilidades.

Resumen de soluciones

Problema 1: Pendiente de solución.
Problema 2: Pendiente de solución.
Problema 3: Pendiente de solución.
Problema 4: Pendiente de solución.
Problema 5: Pendiente de solución.

[fs_tol]

[S. E. Puelma Moy...]

Lo que hiciste, fue descartar todos los valores de , congruentes con 2 o bien con 3, en módulo 4. Lo que viene ahora, es considerar cualquier número congruente con 0 o bien con 1, en módulo 4, y mostrar cómo se puede partir en dos subconjuntos con la misma suma.

[Ariel S]

Problema 3

Intente hacerla de la forma mas corta posible...Pero no pude!!! Aca va mi respuesta, quiero saber su opinion.

Como el punto B no pertenece a la tangente de las Circunferencias S1 y S2, entonces, la Recta AB corta en 2 puntos a la Circunferencia S2. Uno, como plantea el problema es A (por ser punto de tangencias, pertenece a la Circunferencia), y el otro es un punto al que llame N. Entonces, tenemos que N pertenece a BA y a S2. Llame a los centros de las Circunferencias S, S1 y S2, O, O1 y O2, respectivamente. En la Circunferencia S1 trazamos BO1=O1A (por ser ambos radios). Asi obtenemos un triangulo isosceles O1AB, con los angulos ABO1=x=BAO1; y el angulo BO1A=y. Analogamente, encontramos en S2 el triangulo isosceles O2AN, con los angulos O2NA=O2AN=BAO1=x (opuestos por el vertice). Entonces el angulo AO2N=y. Los triangulos O1BA y O2AN son congruentes por tener angulos iguales y 2 lados iguales (los radios=1). Por lo tanto BA=AN, A es punto medio de BN


Por otra parte vemos lo siguiente: K pertenece a S y a AB.Trazamos OK y OB y formamos el triangulo isoscles OKB. Como O1B es perpendicular a la Tangente BE (E siendo un punto en la tangente a S1 y S) , y BO tambien es perpendicular a BE, BO1O es una sola recta. Como K pertenece a AB, y O1 a BO, entonces el angulo OBK=O1BA=x. Como el triangulo OBK es isosceles con OB=OK, entonces, el angulo OKB=x tambien; posteriormente vemos que el angulo KOB=y.

(Ahora va a ser imperativo para entender el problema que hagan el grafico que voy a describir)
Trazan la recta BK, con A y N en la recta. Necesitamos trazar tambien:OB con O1 en la recta, ON y OK. BA=AN, O1B=O1O. Entonces, O1A es base media de OBN. Por lo tanto es paralela a ON. Entonces el angulo ONB=O1AB=x. El angulo ONB=OKB+KON. ONB=x, OKB=x. Entonces, KON=0, por lo tanto K y N coinciden,
Entonces K tiene las mismas caracteristicas que N y por ende, pertenece a S2.

Saludos,
Ariel S

P.D.: Al escribir esto me di cuenta de un error y cambie mi solucion, por eso tal vez haya algunos datos inutiles en el camino...Me olvide de marcar los subindices, espero que aun asi se entienda.

[S. E. Puelma Moy...]

La solución es correcta, aunque cuesta un poco seguirla. Es ideal acompañar las soluciones en geometría con una imagen, que explique mejor lo que está sucediendo, y también respetar los subíndices. El comentario más importante, sn embargo, es simplificar más la solución, creo que se puede hacer eso

Saludos

[Ariel S]

Gracias por la opinion honesta. Ese era el primer mensaje que envie a este foro y me va a tomar tiempo adaptarme a toda la simbologia. Pero si la respuesta esta bien (o mas o menos bien) ya me pone feliz.

Saludos

Ariel S