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![]() Staff Fmat ![]() Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
6ª OLIMPIADA DE MAYO Segundo Nivel Problema 1: El conjunto ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 2: En un paralelógramo de área 1 se trazan las rectas que unen cada vértice con el punto medio de cada lado no adyacente a él. Las ocho rectas trazadas determinan un octógono en el interior del paralelógramo. Calcular el área de dicho octógono. Problema 3: Sean ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 4: Se tiene un cubo de ![]() ![]() Problema 5: Un rectángulo se puede dividir en ![]() ![]() ![]() ![]() Resumen de soluciones -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Lo que hiciste, fue descartar todos los valores de
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![]() Principiante Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 29-April 07 Desde: Asunción, Paraguay Miembro Nº: 5.523 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 3
Intente hacerla de la forma mas corta posible...Pero no pude!!! Aca va mi respuesta, quiero saber su opinion. Como el punto B no pertenece a la tangente de las Circunferencias S1 y S2, entonces, la Recta AB corta en 2 puntos a la Circunferencia S2. Uno, como plantea el problema es A (por ser punto de tangencias, pertenece a la Circunferencia), y el otro es un punto al que llame N. Entonces, tenemos que N pertenece a BA y a S2. Llame a los centros de las Circunferencias S, S1 y S2, O, O1 y O2, respectivamente. En la Circunferencia S1 trazamos BO1=O1A (por ser ambos radios). Asi obtenemos un triangulo isosceles O1AB, con los angulos ABO1=x=BAO1; y el angulo BO1A=y. Analogamente, encontramos en S2 el triangulo isosceles O2AN, con los angulos O2NA=O2AN=BAO1=x (opuestos por el vertice). Entonces el angulo AO2N=y. Los triangulos O1BA y O2AN son congruentes por tener angulos iguales y 2 lados iguales (los radios=1). Por lo tanto BA=AN, A es punto medio de BN Por otra parte vemos lo siguiente: K pertenece a S y a AB.Trazamos OK y OB y formamos el triangulo isoscles OKB. Como O1B es perpendicular a la Tangente BE (E siendo un punto en la tangente a S1 y S) , y BO tambien es perpendicular a BE, BO1O es una sola recta. Como K pertenece a AB, y O1 a BO, entonces el angulo OBK=O1BA=x. Como el triangulo OBK es isosceles con OB=OK, entonces, el angulo OKB=x tambien; posteriormente vemos que el angulo KOB=y. (Ahora va a ser imperativo para entender el problema que hagan el grafico que voy a describir) Trazan la recta BK, con A y N en la recta. Necesitamos trazar tambien:OB con O1 en la recta, ON y OK. BA=AN, O1B=O1O. Entonces, O1A es base media de OBN. Por lo tanto es paralela a ON. Entonces el angulo ONB=O1AB=x. El angulo ONB=OKB+KON. ONB=x, OKB=x. Entonces, KON=0, por lo tanto K y N coinciden, ![]() Saludos, Ariel S P.D.: Al escribir esto me di cuenta de un error y cambie mi solucion, por eso tal vez haya algunos datos inutiles en el camino...Me olvide de marcar los subindices, espero que aun asi se entienda. -------------------- "Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la Voluntad."
Albert Einstein |
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
La solución es correcta, aunque cuesta un poco seguirla. Es ideal acompañar las soluciones en geometría con una imagen, que explique mejor lo que está sucediendo, y también respetar los subíndices. El comentario más importante, sn embargo, es simplificar más la solución, creo que se puede hacer eso
Saludos -------------------- |
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Publicado:
#6
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![]() Principiante Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 29-April 07 Desde: Asunción, Paraguay Miembro Nº: 5.523 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Gracias por la opinion honesta. Ese era el primer mensaje que envie a este foro y me va a tomar tiempo adaptarme a toda la simbologia. Pero si la respuesta esta bien (o mas o menos bien) ya me pone feliz.
Saludos Ariel S -------------------- "Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la Voluntad."
Albert Einstein |
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