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V Olimpiada de Mayo, 1999, Segundo Nivel

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2006, 04:57 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	5ª OLIMPIADA DE MAYO Segundo Nivel Problema 1: Un número natural de tres cifras se llama tricúbico si es igual a la suma de los cubos de sus dígitos. Hallar todas las parejas de números consecutivos tales que ambos sean tricúbicos. Problema 2: La figura representa la cuarta parte de un círculo de radio 1. En el arco $TEX: $AB$$ , se consideran dos puntos $TEX: $P$$ y $TEX: $Q$$ de forma tal que la recta $TEX: $PQ$$ es paralela a la recta $TEX: $AB$$ . Sean $TEX: $X$$ e $TEX: $Y$$ los puntos de intersección de la recta $TEX: $PQ$$ con las rectas $TEX: $OA$$ y $TEX: $OB$$ respectivamente. Calcular $TEX: $PX^2+PY^2$$ Problema 3: La primera fila de esta tabla se completa con los números del 1 al 10, en ese orden. La segunda fila se completa con los números del 1 al 10, en cualquier orden. En cada casilla de la tercera fila se escribe la suma de los dos números escritos arriba. ¿Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo que las cifras de las unidades de los números de la tercera fila sean todas distintas? Problema 4: Sea $TEX: $ABC$$ un triángulo equilátero. $TEX: $M$$ es el punto medio del segmento $TEX: $AB$$ y $TEX: $N$$ es el punto medio del segmento $TEX: $BC$$ . Sea $TEX: $P$$ el punto exterior a $TEX: $ABC$$ tal que el triángulo $TEX: $ACP$$ es isósceles rectángulo en $TEX: $P$$ . $TEX: $PM$$ y $TEX: $AN$$ se cortan en $TEX: $I$$ . Probar que $TEX: $CI$$ es la bisectriz del $TEX: $\angle{MCA}$$ Problema 5: Se tienen 12 puntos que son vértices de un polígono regular de 12 lados. Rafael debe trazar segmentos que tengan sus dos extremos en dos de los puntos dibujados. Tiene permitido que cada punto sea extremo de más de un segmento y que los segmentos se crucen, pero tiene prohibido trazar tres segmentos que sean los tres lados de un triángulo en el que cada vértice es uno de los 12 puntos iniciales. Hallar el máximo número de segmentos que puede trazar Rafael y justificar por qué no puede trazar un número mayor de segmentos. Resumen de soluciones Problema 1: Aquí, resuelto por Killua. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Aquí, resuelto por Killua. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2006, 08:50 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P1}}$$ $TEX: \noindent Primero anotaremos los cubos de los d\'igitos (exceptuando el cero, que no es necesario)$ $TEX: $1^3=1$$ $TEX: $2^3=8$$ $TEX: $3^3=27$$ $TEX: $4^3=64$$ $TEX: $5^3=125$$ $TEX: $6^3=216$$ $TEX: $7^3=343$$ $TEX: $8^3=512$$ $TEX: $9^3=729$$ $TEX: \noindent Luego, nos piden lo siguiente:$ $TEX: $100a+10b+c=a^3+b^3+c^3$$ $TEX: $100a+10b+c+1=a^3+b^3+(c+1)^3$$ $TEX: \noindent Pero, notemos que los n\'umeros son consecutivos, luego $100a+10b+c+1=a^3+b^3+c^3+1=a^3+b^3+(c+1)^3\Rightarrow{c^3+1}=(c+1)^3$$ $TEX: $c^3+1=(c+1)^3$$ $TEX: $c^3+1=c^3+3c^2+3c+1$$ $TEX: $0=3c^2+3c$$ $TEX: $0=3c(c+1)$$ $TEX: \noindent Entonces, nos quedan las dos posibilidades:$ $TEX: $0=3c\Rightarrow{c}=0$$ $TEX: \noindent$0=c+1\Rightarrow{c}=-1$, pero se descarta esta posibilidad ya que $c$ es d\'igito, luego $c=0$$ $TEX: \noindent Luego $100a+10b+0=a^3+b^3+0^3=a^3+b^3$, luego, nos quedan las siguientes posibilidades (se anotar\'an las \'unicas parejas tales que $a^3+b^3$ es m\'ultiplo de $10$ ($100a+10b$)$ $TEX: \noindent$9^3+1^3=730$, que no es tric\'ubico$ $TEX: \noindent$8^3+2^3=520$, que no es tric\'ubico$ $TEX: \noindent$7^3+3^3=370$, que es tric\'ubico$ $TEX: \noindent$6^3+4^3=280$, que no es tric\'ubico$ $TEX: \noindent$5^3+5^3=250$, que no es tric\'ubico$ $TEX: \noindent Entonces, la \'unica pareja de n\'umeros tric\'ubicos consecutivos es $370$ y $371$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 28 2006, 07:13 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Creo haber visto este problema por aquí en el foro... en fin, acá va la respuesta. $TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P3}}$$ $TEX: \noindent Notemos que la suma de los n\'umeros de la primera fila, $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$, por consiguiente la suma de los n\'umeros de la segunda fila es tambi\'en $55$, ahora, la suma de los n\'umeros de la tercera fila es $55+55=110$. Nos piden decidir si las unidades de los n\'umeros de la tercera fila son todas distintas, o sea que aparezcan los d\'igitos (del cero al nueve), ahora bien $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$, de lo que se deduce que la suma de los n\'umeros tendr\'ia que terminar en $5$, pero dijimos que la suma era $110$, tenemos una contradicci\'on, luego no hay forma de completar la tercera fila de esta forma$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2013, 07:00 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Solucion P4: Solucion_P4_Olimpiada_de_Mayo_vs_paint.PNG ( 30.45k ) Número de descargas: 1 Demostraremos que los angulos $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ son iguales (15c/u) para demostrar lo pedido. Sea $TEX: $O$$ el punto de interseccion de $TEX: $\overline{AN}$$ con $TEX: $\overline{CM}$$ , ahora notemos que $TEX: $\overline{CM}$$ es altura y bisestriz trazada desde $TEX: $C$$ , entonces tenemos que el $TEX: $\measuredangle MCN = 30$$ , lo mismo con $TEX: $\overline{AN}$$ de esto tenemos: $TEX: $\measuredangle CON= \measuredangle AOM=60$$ (opuestos por el vertice) $TEX: $\measuredangle CMI=45$$ (ya que $TEX: $I$$ es incentro) $TEX: $\Rightarrow \measuredangle MIN=\measuredangle AIP=75$$ (opuestos por el vertice) Dada la igualdad de angulos tenemos que el $TEX: $\triangle PAI$$ es isosceles de base $TEX: $AI$$ de esto: $TEX: $AP=IP=PC \Rightarrow \triangle MPC$$ es isosceles de base $TEX: $MC$$ , como el $TEX: $\measuredangle MPC=60$$ tenemos angulos basales de $TEX: $60$$ : $TEX: $\Rightarrow 45+\beta=60 \Rightarrow \beta=15$$ Con esto concluimos lo pedido. Saludos!! Mensaje modificado por Niklaash el Jul 8 2013, 07:17 PM

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 28 2013, 09:22 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Si notas que APCM es ciclico pues <M=<P=90 veras que rapidamente sale que I es el incentro del triangulo ACM. ....a lo que quiero llegar es que al saber que I es el incentro del ACM el problema ya esta acabado, demostrandose asi que CI es la bisectriz del <MCA (creo que debes corregir donde dice que <ICM=30) Mensaje modificado por cev el May 30 2013, 07:12 AM -------------------- >>>LG

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