IV Olimpiada de Mayo, 1998, Segundo Nivel Opciones

[Killua]

4ª OLIMPIADA DE MAYO
Segundo Nivel

Problema 1: Inés eligió cuatro dígitos distintos del conjunto . Formó con ellos todos los posibles números de cuatro cifras distintas y sumó todos esos números de cuatro cifras. El resultado es 193314. Halla los cuatro dígitos que eligió Inés.

Problema 2: es un triángulo equilátero. es un punto del lado tal que , es un punto del lado tal que es paralela a y es un punto del lado tal que es paralela a . Si denota el área del triángulo , hallar la fracción

Problema 3: Dado un tablero cuadriculado de con cada casilla pintada de un color distinto, se desea cortarlo en dos pedazos de igual área mediante un solo corte que siga las líneas de la cuadrícula. ¿De cuántas maneras se puede hacer?

Problema 4: En el piso del patio hay dibujado un octógono regular. Emiliano escribe en los vértices los números del 1 al 8 en cualquier orden. Pone una piedra en el punto 1. Camina hacia el punto 2, habiendo recorrido del camino se detiene y deja la segunda piedra. Desde allí camina hacia el punto 3, habiendo recorrido del camino se detiene y deja la tercera piedra. Desde allí camina hacia el punto 4, habiendo recorrido del camino se detiene y deja la cuarta piedra. Así sigue hasta que, después de dejar la séptima piedra, camina hacia el punto 8 y habiendo recorrido del camino deja la octava piedra. La cantidad de piedras que quedan en el centro del octógono depende del orden en que escribió los números en los vértices. ¿Cuál es la mayor cantidad de piedras que pueden quedar en dicho centro?

Problema 5: En el planeta hay sólo dos tipos de billetes, sin embargo el sistema no es tan malo porque hay solamente quince precios enteros que no se pueden pagar exactamente (se paga de más y se recibe cambio). Si 18 es uno de esos precios que no se pueden pagar exactamente, halla el valor de cada tipo de billete.

Resumen de soluciones

Problema 1: Aquí, resuelto por Corecrasher.
Problema 2: Pendiente de solución.
Problema 3: Pendiente de solución.
Problema 4: Pendiente de solución.
Problema 5: Pendiente de solución.

[Corecrasher]

Sean los digitos del conjunto que selecciono el cabro ; ahora bien , notemos que cuando es unidad de mil , los posibles numeros a formar son y su suma es:

En general (ahora es facil notar) que la suma de los posibles numeros de cifras formables con es:


Pero por enunciado:
, luego sin perder generalidad .

[S. E. Puelma Moy...]

Al hacer la lista de los 24 números posibles, el dígito aparece seis veces en la unidad de mil. Misma observación para los otros dígitos y las otras posiciones, nos permiten deducir que la suma de todos los números formados, es igual a:

De ahí concluimos que y terminamos como dijo Corecrasher. Esto es solamente para indicar que Corecrasher se complicó un poco más de lo necesario, pero la solución es correcta