III Olimpiada de Mayo, 1997, Segundo Nivel Opciones

[Killua]

3ª OLIMPIADA DE MAYO
Segundo Nivel

Problema 1: ¿Cuántos números de siete dígitos son múltiplos de 388 y terminan en 388?

Problema 2: En un cuadrado de lado , se ubican los puntos y sobre los lados y respectivamente, de tal manera que y . Si se llama al punto de intersección de y , determinar el área del triángulo en función de

Problema 3: Se tienen 10000 fichas iguales con forma de triángulo equilátero. Con estos triangulitos se forman hexágonos regulares, sin superposiciones ni huecos. Si se forma el hexágono regular que desperdicia la menor cantidad posible de triangulitos, ¿cuántos triangulitos sobran?

Problema 4: En las figuras, se señalan los vértices con un círculo. Se llaman caminos a los segmentos que unen vértices. Se distribuyen números enteros no negativos en los vértices y, en los caminos, las diferencias entre los números de sus extremos. Diremos que una distribución de números es garbosa si aparecen en los caminos todos los números de 1 a , donde es el número de caminos. El siguiente es un ejemplo de distribución garbosa:

Dar -si es posible- una distribución garbosa para las siguientes figuras. En caso de no poder hacerlo, mostrar por qué.

Problema 5: ¿Cuáles son las posibles áreas de un hexágono con todos los ángulos iguales y cuyos lados miden 1, 2, 3, 4, 5 y 6, en algún orden?

Resumen de soluciones

Problema 1: Aquí, resuelto por Corecrasher.
Problema 2: Pendiente de solución.
Problema 3: Pendiente de solución.
Problema 4: Pendiente de solución.
Problema 5: Pendiente de solución.

[Corecrasher]

Notemos que lo que buscamos es cuantos numeros son divisibles por y cumplen , donde tiene digitos y es divisible por , pues , notemos que el menor es y el mayor , en otras palabras encontramos , en otras palabras numeros cumplen lo pedido.

[S. E. Puelma Moy...]

Respuesta correcta, reparando todos los detalles. Felicitaciones

[Ariel S]

Problema 3

Si ponemos en los vértices de la primer figura los numeros 6,4,1,0 en ese orden, obtenemos una distribución garbosa. Naturalmente, hay más formas de llenar el rectángulo. El punto es que se puede.
En cambio, en la segunda figura, no se puede crear una distribución garbosa. Como n=10, los números que se deben encontrar son los del 1 al 10, o de formas más simple 5 pares (p) y 5 impares (i). Hay 6 casos de como tomar los números que van en los vértices, según sean pares o impares.
1er Caso: 5p. Como resultado obtenemos, naturalmente, 10 números pares. Entonces, no pueden ser los números del 1 al 10.
2do Caso: 4p, 1i. Como consecuencia de este caso encontramos 4 números impares y 6 pares.
3er Caso: 3p, 2i. Asi obtenemos 6 impares y 4 pares.
4to Caso: 2p, 3i. Resultado: 4 pares y 6 impares.
5to Caso: 4i, 1p. Al hacer esto, vemos que los numeros que obtenemos son 6 pares y 4 impares.
Ultimo Caso: 5i. Naturalmente, encontramos 10 números pares como resultado.

Al probar que con todos los casos es imposible encontrar como resultado 5p y 5i, concluimos que en la segunda figura no se puede crear una distribución garbosa.

Saludos,
Ariel S.

[Emi_C]

son triviales

[Emi_C]

Solucion al problema 2:











Mensaje modificado por Emi_C el Jun 15 2010, 07:50 PM