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I Olimpiada de Mayo, 1995, Segundo Nivel

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2006, 03:40 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	1ª OLIMPIADA DE MAYO Segundo Nivel Problema 1: Verónica, Ana y Gabriela situadas en una ronda se divierten con el siguiente juego: una de ellas elige un número y lo dice en voz alta; la que está a su izquierda lo divide entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta; la que está a su izquierda divide este último número entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta y así sucesivamente. Ganará aquélla que deba decir en voz alta el número $TEX: $1$$ , momento en que el juego finaliza. Ana eligió un número mayor que $TEX: $50$$ y menor que $TEX: $100$$ y ganó. Verónica eligió el siguiente del que eligió Ana y Verónica también ganó. Dar todos los números que pudo elegir Ana Problema 2: El dueño de la ferretería "El tornillo flojo" compró una partilla de tornillos en cajas cerradas y los vende sueltos; nunca tiene más de una caja abierta. Al finalizar el lunes quedan 2208 tornillos tipo $TEX: $\mathcal{A}$$ , al finalizar el martes tiene todavía 1616 tornillos tipo $TEX: $\mathcal{A}$$ y al finalizar el miércoles tiene 973 tornillos tipo $TEX: $\mathcal{A}$$ Para controlar a los empleados, todas las noches anota la cantidad de tornillos que hay en la única caja abierta. La cantidad que anotó el martes es el triple de la que anotó el lunes y la cantidad que anotó el miércoles es el doble de la del lunes. ¿Cuántos tornillos trae cada caja cerrada si se sabe que son menos de 500. Problema 3: Se considera un primer número de 3 cifras distintas, ninguna de ellas cero. Intercambiando dos de sus cifras de lugar, se obtiene un segundo número menor que el primero. Si la diferencia entre el primero y el segundo es un número de dos cifras y la suma del primero y el segundo es un número capicúa de menor que 500, ¿cuáles son los posibles capicúas que se obtienen? Problema 4: Se considera una pirámide cuya base es un triángulo equilátero $TEX: $BCD$$ y sus caras son triángulos isósceles rectángulos en el vértice común $TEX: $A$$ . Una hormiga sale desde el vértice $TEX: $B$$ , llega a un punto $TEX: $P$$ de la arista $TEX: $CD$$ , desde allí se dirige a un punto $TEX: $Q$$ de la arista $TEX: $AC$$ para retornar al punto $TEX: $B$$ . Si el camino que realizó es mínimo, ¿cuánto mide el $TEX: $\angle{PQA}$$ ? Problema 5: Tenemos 105 monedas, entre las cuales sabemos que hay tres falsas. Las monedas auténticas pesan todas lo mismo y su peso es mayor que el de las falsas, que también pesan todas lo mismo. Indicar de qué manera se pueden seleccionar 26 monedas auténticas realizando sólo dos pesadas en una balanza de dos platos. Resumen de soluciones Problema 1: Aquí, resuelto por Killua. Problema 2: Aquí, resuelto por Killua. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Gazoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2006, 04:38 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.112 Registrado: 21-December 05 Desde: El Bosque - Stgo Miembro Nº: 473 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{S_{\rho_5}}$$ Lo que haremos será formar cuatro grupos cualquiera de 26 monedas, queda una moneda fuera. Llamaremos $TEX: $\boxed{26}$$ a los grupos que solo tienen monedas auténticas, $TEX: $\boxed{26-}$$ a los que tienen una moneda falsa, y $TEX: $\boxed{26--}$$ a los que tienen dos monedas falsas... asi susecivamente. Esto nos abre varias posibilidades: 1º Grupo formado por: $TEX: $\boxed{26-}$$ $TEX: $\boxed{26-}$$ $TEX: $\boxed{26-}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ 2º Grupo formado por: $TEX: $\boxed{26--}$$ $TEX: $\boxed{26-}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ 3º Grupo formado por: $TEX: $\boxed{26---}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ 4º Grupo formado por [Justo la moneda que sacamos era falsa] : $TEX: $\boxed{26-}$$ $TEX: $\boxed{26-}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ 5º Grupo formado por [Justo la moneda que sacamos era falsa] : $TEX: $\boxed{26--}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ $TEX: $\boxed{26}$$ Ahora, basta notar que SIEMPRE es posible, en cualquiera de los grupos hacer el siguiente procedimiento [ Esto es posibles porque en todos los grupos hay al menos 2 paquetes auténticos, exceptuando el 1º, que se menciona al final ] : - Pesar un par cualquiera y seleccionar el "paquete" más pesado. - Tomar un paquete cualquiera del otro par, y pesarlo con el anteriormente seleccionado. - El que pesa más (o mantiene la balanza, pensando que ambos paquetes son de monedas auténticas) es auténtico. * Podría darse en el grupo 1, que pesemos 2 paquetes 26- y se mantenga, luego pesarlo... al azar con un paquete 26- y siga manteniéndose la balanza. En este caso el paquete auténtico es el que no hemos pesado. Eso, si está malo o hay algo más que justificar, ojalá lo sepa pronto Saludos -------------------- "El sentido común es el conjunto de todos los prejuicios adquiridos antes de los 18 años" A. Einstein. Estudiante Ingeniería Civil Eléctrica - DIE USACH

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2006, 04:38 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P2}}$$ $TEX: \noindent Sea $j$ la cantidad de tornillos por caja, tenemos que:$ $TEX: \noindent $Lunes$ $2208\equiv{x}(Mod.j)$$ $TEX: \noindent $Martes$ $1616\equiv{3x}(Mod.j)$$ $TEX: \noindent $Mi\acute{e}rcoles$ $973\equiv{2x}(Mod.j)$$ $TEX: \noindent Donde las congruencias, $x,3x$ y $2x$ son las cantidades que el due\~no de la ferreter\'ia anot\'o dichos d\'ias.$ $TEX: \noindent Ahora, si multiplicamos los t\'erminos de las congruencias del Lunes por $3$, y tambi\'en por $2$:$ $TEX: $6624\equiv{3x}\equiv{1616}(Mod.j)\Rightarrow{6624}\equiv{1616}(Mod.j)$$ $TEX: $4416\equiv{2x}\equiv{973}(Mod.j)\Rightarrow{4416}\equiv{973}(Mod.j)$$ $TEX: \noindent Lo que, por definici\'on de congruencia m\'odulo es:$ $TEX: \noindent $6624-1616=5008$ es m\'ultiplo de $j$; $4416-973=3443$ es m\'ultiplo de $j$. Cuyas factorizaciones primas son:$ $TEX: $5008=2^4\cdot{313}$$ $TEX: $3443=11\cdot{313}$$ $TEX: \noindent El factor com\'un es $313$, que es el n\'umero de tornillos por caja.$ $TEX: \noindent Luego, el lunes hab\'ia $2208\div{313}=7$ cajas, y le sobraban $17$ tornillos.$ $TEX: \noindent Luego, el martes hab\'ia $1616\div{313}=5$ cajas y le sobraban $71$ tornillos.$ $TEX: \noindent Luego, el mi\'ercoles hab\'ia $973\div{313}=3$ cajas y sobraban $34$ tornillos.$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2006, 10:04 PM Publicado: #4
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P1}}$$ $TEX: \noindent Primero, notemos que, para que la chica que parte gane, tiene que decir un n\'umero compuesto que tenga una cantidad de factores primos divisibles por $3$. Por ejemplo, si Ana dice el n\'umero $42=7\cdot{3}\cdot{2}$, tres primos; de este modo Ana gana, ya que Gabriela dice $6$ , Ver\'onica dice $2$, y Ana dice $1$.$ $TEX: \noindent Los n\'umeros mayores que $50$ y menores que $100$ que cumplen lo anteriormente dicho son:$ $TEX: $52=2\cdot{2}\cdot{13}$$ $TEX: $63=3\cdot{3}\cdot{7}$$ $TEX: $64=2\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}$$ $TEX: $66=2\cdot{3}\cdot{11}$$ $TEX: $68=2\cdot{2}\cdot{17}$$ $TEX: $70=2\cdot{5}\cdot{7}$$ $TEX: $75=3\cdot{5}\cdot{5}$$ $TEX: $76=2\cdot{2}\cdot{19}$$ $TEX: $78=2\cdot{3}\cdot{13}$$ $TEX: $92=2\cdot{2}\cdot{23}$$ $TEX: $96=2\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}$$ $TEX: $98=2\cdot{7}\cdot{7}$$ $TEX: $99=3\cdot{3}\cdot{11}$$ $TEX: \noindent Pero recordemos que nos dicen que Ver\'onica eligi\'o el n\'umero siguiente al de Ana y gan\'o; luego, por una simple inspecci\'on, las \'unicas parejas que cumplen esto son: $(63,64)$ $(75,76)$ $(98,99)$, de lo que se deduce que Ana pudo elegir el $63$, el $75$ o el $98$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2011, 05:19 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Una pregunta...? En el P3, el capicua de cuantas cifras es??? Saludos!!!! -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

Matheking Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2011, 05:47 PM Publicado: #6
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 52 Registrado: 29-December 10 Miembro Nº: 82.364 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(einstenio16 @ Jan 28 2011, 06:19 PM) Una pregunta...? En el P3, el capicua de cuantas cifras es??? Saludos!!!! 3 -------------------- No a la glorificación del elitismo. No a la mentalidad superficial.

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2011, 05:52 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	wena, ya me di cuenta... gracias!!!! -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

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