4 - Permutaciones con repetición Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

A veces uno debe construir una permutación de elementos, como se ve en el segundo tema de combinatoria, pero algunos de los elementos son indistinguibles entre sí (tenemos elementos repetidos). Si intercambiamos de lugar los elementos indistinguibles, vamos a obtener la misma permutación. Por ejemplo, podemos pensar cuántas palabras (con o sin sentido) podemos escribir al desordenar todas las letras de la palabra ANTONIA.

Si uno dijera que las dos letras A son distintas entre sí, y que además las dos letras N son distintas entre sí, entonces la respuesta la sabemos de la sección de permutaciones, es igual a 7!. Podemos distinguir las letras si las pintamos con colores distintos: queda ANTONIA.

Pero cuando hacemos la lista de las 7! palabras, vemos que algunas coinciden. O sea las podemos distinguir por el color de las letras repetidas, pero obviando ese detalle, son iguales. Por ejemplo, las siguientes palabras son iguales:

TNOIANA
TNOIANA
TNOIANA
TNOIANA

Entonces el total es menor que 7!. Si para cada palabra hacemos las 4=2!2! coloraciones como en el ejemplo, obtenemos 7! palabras. En total, cuando desordenamos las letras de la palabra ANTONIA, pueden obtenerse palabras distintas

En un contexto más general, pero con las mismas ideas, tenemos lo siguiente

Supongamos que tenemos símbolos , simbolos , ..., y símbolos . Llamaremos . El número de permutaciones que podemos construir con estos símbolos es igual a