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picosenotheta Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2006, 09:11 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 765 Registrado: 25-November 05 Desde: Algun lugar de la V region Miembro Nº: 415 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br /><br />si <br />\bigskip <br /> <br />$a^{4}(a^{4}-1)(z^{2}+14z+1)^{3}=(a^{8}+14a^{4}+1)z(z-1)^{4}$ <br /><br />\bigskip <br /> <br />Determine z<br /><br />$

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 10 2017, 05:37 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(picosenotheta @ May 4 2006, 09:11 PM) $TEX: <br />si <br />\bigskip <br />$a^{4}(a^{4}-1)(z^{2}+14z+1)^{3}=(a^{8}+14a^{4}+1)z(z-1)^{4}$ <br />\bigskip <br /> <br />Determine z$ no creo que esto tenga una solucion decente $TEX: $$a^{4}\left( a^{4}-1 \right)\left( z^{2}+14z+1 \right)^{3}=z\left( z-1 \right)^{4}\left( a^{8}+14a^{4}+1 \right)$$$ asumiremos $TEX: $$a\ne 0,\pm 1,\pm i\wedge z>0$$$ el problema es equivalente a resolver $TEX: $$\left( a^{4}-1 \right)\left( z+\frac{1}{z}+14 \right)^{3}=\left( \sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}} \right)^{4}\left( a^{4}+14+\frac{1}{a^{4}} \right)$$$ sea $TEX: $$z+\frac{1}{z}-2=Z$$$ entonces $TEX: $$\left( a^{4}-1 \right)\left( Z+16 \right)^{3}=Z^{2}\left( a^{4}+14+\frac{1}{a^{4}} \right)$$$ en otras palabras tenemos que resolver la cubica $TEX: $$Z^{3}+pZ^{2}+3\cdot 16^{2}\cdot Z+16^{3}=0$$$ donde $TEX: $$p=48-\frac{a^{4}+14+\frac{1}{a^{4}}}{a^{4}-1}$$$ por vieta sabemos que las raices suman $TEX: $$\alpha +\beta +\gamma =-p$$$ entonces haciendo el cambio de variable $TEX: $$Z\to Z-\frac{p}{3}$$$ se tiene la ecuacion $TEX: $$\left( Z-\frac{p}{3} \right)^{3}+p\left( Z-\frac{p}{3} \right)^{2}+3\cdot 16^{2}\cdot \left( Z-\frac{p}{3} \right)+16^{3}=0$$$ $TEX: $$Z^{3}-3Z^{2}\cdot \frac{p}{3}+3Z\cdot \frac{p^{2}}{9}-\frac{p^{3}}{27}+Z^{2}p-\frac{2}{3}Zp^{2}+\frac{p^{3}}{9}+3\cdot 16^{2}\cdot Z-3\cdot 16^{2}\cdot \frac{p}{3}+16^{3}=0$$$ $TEX: $$Z^{3}+\left( 3\cdot 16^{2}-\frac{1}{3}p^{2} \right)Z+\left( \frac{2p^{3}}{27}-16^{2}p+16^{3} \right)=0$$$ sea $TEX: $$Z=X+Y\Rightarrow Z^{3}=X^{3}+Y^{3}+3XYZ$$$ $TEX: $$X^{3}+Y^{3}+3XYZ+\left( 3\cdot 16^{2}-\frac{1}{3}p^{2} \right)Z+\left( \frac{2p^{3}}{27}-16^{2}p+16^{3} \right)=0$$$ donde se cumple que $TEX: $$X^{3}+Y^{3}=-\left( \frac{2p^{3}}{27}-16^{2}p+16^{3} \right)\wedge X^{3}Y^{3}=\left( \frac{p^{2}}{9}-16^{2} \right)^{3}$$$ usamos el polinomio auxiliar $TEX: $$\left( t-x_{1} \right)\left( t-x_{2} \right)=t^{2}-t\left( x_{1}+x_{2} \right)+x_{1}x_{2}=t^{2}+t\left( \frac{2p^{3}}{27}-16^{2}p+16^{3} \right)+\left( \frac{p^{2}}{9}-16^{2} \right)^{3}$$$ de donde se obtiene $TEX: $$t=2^{7}p-\frac{p^{3}}{27}-2^{11}\pm \sqrt{\left( \frac{p^{3}}{27}-2^{7}p+2^{11} \right)^{2}-\left( \frac{p^{2}}{9}-16^{2} \right)^{3}}$$$ arreglando la cantidad subradical $TEX: $$\left( \frac{p^{3}}{27}-2^{7}p+2^{11} \right)^{2}-\left( \frac{p^{2}}{9}-16^{2} \right)^{3}$$$ $TEX: $$=\frac{p^{6}}{3^{6}}+2^{14}p^{2}+2^{22}+\left( -\frac{2^{8}}{3^{3}}p^{4}+\frac{2^{12}}{3^{3}}p^{3}-2^{19}p \right)-\left( \left( \frac{p^{2}}{3^{2}} \right)^{3}-3\left( \frac{p^{2}}{3^{2}} \right)^{2}\cdot 2^{8}+3\cdot \frac{p^{2}}{3^{2}}\cdot 2^{16}-2^{24} \right)$$$ $TEX: $$=\frac{p^{6}}{3^{6}}+2^{14}p^{2}+2^{22}+\left( -\frac{2^{8}}{3^{3}}p^{4}+\frac{2^{12}}{3^{3}}p^{3}-2^{19}p \right)-\left( \frac{p^{6}}{3^{6}}-\frac{2^{8}}{3^{3}}p^{4}+\frac{2^{16}}{3}p^{2}-2^{24} \right)$$$ $TEX: $$=\frac{2^{12}}{3^{3}}p^{3}+2^{14}p^{2}-\frac{2^{16}}{3}p^{2}-2^{19}p+2^{22}+2^{24}=\frac{2^{12}}{3^{3}}p^{3}+2^{14}\left( 1-\frac{4}{3} \right)p^{2}-2^{19}p+2^{22}\left( 1+2^{2} \right)$$$ $TEX: $$=\frac{2^{12}}{3^{3}}p^{3}-\frac{2^{14}}{3}p^{2}-2^{19}p+2^{22}\cdot 5=\frac{2^{12}}{3^{3}}\left( p^{3}-2^{2}\cdot 3^{2}p^{2}-2^{7}\cdot 3^{3}p+2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5 \right)$$$ $TEX: $$=\frac{2^{12}}{3^{3}}\left( p-3\cdot 2^{4} \right)^{2}\left( p+2^{2}\cdot 3\cdot 5 \right)$$$ entonces $TEX: $$t=2^{7}p-\frac{p^{3}}{27}-2^{11}\pm \frac{2^{6}}{3\sqrt{3}}\left\| p-48 \right\|\sqrt{p+60}$$$ volviendo a Z $TEX: $$Z=\frac{p}{3}+\sqrt[3]{2^{7}p-\frac{p^{3}}{27}-2^{11}+\frac{2^{6}}{3\sqrt{3}}\left\| p-48 \right\|\sqrt{p+60}}+\sqrt[3]{2^{7}p-\frac{p^{3}}{27}-2^{11}-\frac{2^{6}}{3\sqrt{3}}\left\| p-48 \right\|\sqrt{p+60}}$$$ un z es resolver la cuadratica horrible que se formo $TEX: $$z+\frac{1}{z}-2=\frac{p}{3}+\sqrt[3]{2^{7}p-\frac{p^{3}}{27}-2^{11}+\frac{2^{6}}{3\sqrt{3}}\left\| p-48 \right\|\sqrt{p+60}}+\sqrt[3]{2^{7}p-\frac{p^{3}}{27}-2^{11}-\frac{2^{6}}{3\sqrt{3}}\left\| p-48 \right\|\sqrt{p+60}}$$$ yo creo que lo tipeaste mal algun signo o algun exponente porque no se llega a nada coherente

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