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> Propuesto Derivada Gallagher 2
liam_gallagher
mensaje Jul 15 2008, 01:56 AM
Publicado: #1


Dios Matemático
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TEX: Demuestre utilizando (lea bien) aproximación a la función por una recta que:<br />\\<br />\\<br />$\left( fg \right)'(b)$ $=$ $f'(b) g(b) + f(b) g'(b)$



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Estudiante de tercer año de licenciatura en ciencias con mención en matemáticas - Universidad de Chile



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mensaje Feb 6 2023, 07:51 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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CITA(liam_gallagher @ Jul 15 2008, 12:56 AM) *
TEX: Demuestre utilizando (lea bien) aproximación a la función por una recta que:<br />\\<br />\\<br />$\left( fg \right)'(b)$ $=$ $f'(b) g(b) + f(b) g'(b)$


Supongamos que tanto TEX: $f$ y TEX: $g$ son derivables en TEX: $x=b$, y TEX: $h=fg$. De taylor tenemos que $f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+o(x-b)$ y $g(x)=g(b)+g'(b)(x-b)+o(x-b)$ y por lo tanto:
TEX: $$h(x)=h(b)+h'(b)(x-b)+o(x-b)=(f(b)+f'(b)(x-b)+o(x-b))(g(b)+g'(b)(x-b)+o(x-b))$$$$=f(b)g(b)+(f'(b)g(b)+f(b)g(b))(x-b)+o(x-b)$$
Donde hemos obviado los términos cuadráticos ya que queremos solo la aproximación lineal. Luego debido a la unicidad del limite (y la derivada) el resultado se obtiene igualando coeficientes.

Saludos
Claudio.


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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