 Certamen 3 - 2008, Elementos de Análisis Real, 452514 |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Concepción > Análisis Real I  |
 Jul 9 2008, 06:49 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad:  Sexo:   |
![TEX: \begin{center}<br />\textbf{CERTAMEN 3 - Elementos de Análisis Real 452514}\\<br />\small 9 de Julio del 2008<br />\end{center}<br />1. Demuestre que la sucesión de funciones $\{f_n\}$, donde<br />$f\colon]0,1[\to \mathbb{R};\,f_n(x)=\dfrac{1}{nx+1}$, es puntualmente convergente,<br />pero \textbf{no} uniformemente convergente.\\<br /><br />\noindent 2. Suponga que $\{f_n\}$ es una sucesión de funciones continuas de $[0,1]$ en $\mathbb{R}$ que<br />converge uniformemente sobre $[0,1]$, hacia una función $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$.<br />Demuestre que existe algún numero real $k$, tal que $\left|f_n(x)\right|\leq k$, para todo $n\in \mathbb{N}$ y<br />$x \in[0,1]$.\\<br /><br />\noindent 3. Si $f\colon[a,b]\to \mathbb{R}$ es una función acotada y $P\in\mathfrak{P}[a,b]$, muestre que $U(P,-f)=-L(P,f)$.\\<br /><br />\noindent 4. Use el teorema de caracterización de funciones integrables según Riemann, para mostrar que la función<br />$f\colon[1,\mathrm{e}]\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=\ln x \in \mathfrak{R}[a,b]$.\\<br />\textsc{Sugerencia:} Considere una partición que divida al intervalo $[1,\mathrm{e}]$ en $n-1$ partes iguales.<br />\end{document}](./tex/7b83f044192cb338d8434825aac661ec.png) Estuvo relativamente fácil, creo que lograré la nota que necesitaba.... Saludos. -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM)  ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza... |
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Jul 20 2008, 11:10 PM
Publicado:
#2
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 Doctor en Matemáticas  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 199 Registrado: 24-November 07 Miembro Nº: 13.005 Nacionalidad: Universidad:  Sexo:  |
Gracias... esto me servirá en 3 añitos mas
 
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Feb 11 2010, 06:20 PM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
3)
![TEX: $\\$ {\bf Lema:} $\underline{f(x)}=\inf\left\{ f(x)| x\in\left[ a,b\right]\right\}=-\sup\left\{- f(x)| x\in\left[ a,b\right]\right\}=-\overline{-f(x)}\\$ <br />{\bf Demostración:} Sea $\underline{f(x)}=\inf \left\{ f(x)| x\in\left[ a,b\right]\right\}$. Al ser ínfimo, pertenece al conjunto de las cotas inferiores. $\Rightarrow \underline{f(x)}\leq f(x) \forall x\in \left[ a,b \right] \Rightarrow -\underline{f(x)}\geq -f(x) \forall x\in \left[ a,b \right]$. Al invertir la desigualdad, las cotas inferiores pasan a ser cotas superiores del nuevo conjunto, y con ello, el ínfimo pasa a ser la más pequeña de las cotas superiores. $\Rightarrow \underline{f(x)}=-\sup\left\{- f(x)| x\in\left[ a,b\right]\right\}=-\overline{-f(x)}\quad\Box \\$ $\\$<br />{\bf Proposición:}Si $f\colon[a,b]\to \mathbb{R}$ es una función acotada y $P\in\mathfrak{P}[a,b]$, muestre que $U(P,-f)=-L(P,f)$. $\\$ {\bf Demostración:} Consideremos $P=\left\{ a_{0},a_1,a_2\hdots a_{n-1},a_n\right\} / a_0=a \vee \ a_n=b$ Sea $\Delta a_i=a_i-a_{i-1}$ Además, definamos $\underline{f(a_i)}=\inf \left\{ f(x)| x\in \Delta a_i \right\}$ y $\overline{f(a_i)}=\sup \left\{ f(x)| x\in \Delta a_i \right\}$, Ahora, utilizando el lema previamente demostrado, \begin{align*} L(P,f)&=\sum_{i=0}^n \underline{f(a_i)}\Delta a_i \\ &=- \sum_{i=0}^n \overline{-f(a_i)}\Delta a_i \\ &= -U(P,-f) \end{align*} Con lo que termina la demostración. $\Box$](./tex/ce70233fe8fed65a3397a0a2a82c619c.png)
-------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto. |
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