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Tercer Nivel Individual

felipe_contreras... felipe_contreras(IN) Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2006, 08:12 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 90 Registrado: 14-May 05 Desde: 33º30'S 70º40'O Miembro Nº: 18 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	1.- El triángulo ABC es equilátero. M es el punto medio de lado AB, y $TEX: $\overline{AB} = 2$$ . Con estos datos, encuentre el área de la región pintada. 2.- Encuentre todas las soluciones enteras ( $TEX: $p,q\in \mathbb{Z}$$ ) de la ecuación $TEX: $p^2q+4pq^2+2q^3-p^2-4pq-2q^2 = 0$$ Mensaje modificado por Rurouni Kenshin el Mar 30 2008, 01:26 PM -------------------- "El único primo congruente a uno en módulo cuatro es cinco" A. Gajardo ""I'm going to try to see if I can remember as much to make it sound like I'm smart on the subject."—G. W. Bush, answering a question concerning a possible flu pandemic, Cleveland, July 10, 2007 "I aim to be a competitive nation."—G. W. Bush, San Jose, Calif., April 21, 2006 "Those who enter the country illegally violate the law."— G. W. Bush, Tucson, Ariz., Nov. 28, 2005 "Our enemies are innovative and resourceful, and so are we. They never stop thinking about new ways to harm our country and our people, and neither do we." — G. W. BushWashington, D.C., Aug. 5, 2004

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2006, 09:27 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(felipe_contreras(IN) @ Apr 22 2006, 10:12 PM) 2.- Encuentre todas las soluciones enteras ( $TEX: $p,q\in \mathbb{Z}$$ ) de la ecuación $TEX: $p^2q+4pq^2+2q^3-p^2-4p-2q^2 = 0$$ la ecuación se podía escribir como: $TEX: $\left(p^2+4pq+2q^2\right)\left(q-1\right)=0$$ por lo que teniamos 2 caminos... el primer factor igual a cero, o el segundo igual a cero () viendo el primer caso: $TEX: $p^2+4pq+4q^2=2q^2$$ $TEX: $p+2q=\pm q\sqrt{2}$$ $TEX: $\dfrac{p+2q}{q}=\pm \sqrt{2}$$ (excluyendo el caso $TEX: $q=0$$ ) pero como queremos que $TEX: $p$$ y $TEX: $q$$ sean enteros, el numerador "es" entero, y como el denominador también lo "es", la fracción resulta un racional... pero da como resultado un irracional, asi que es imposible tener 2 soluciones enteras para esta ecuación... () viendo el segundo caso: $TEX: $q-1=0\Longleftrightarrow q=1$$ con lo que teníamos libre a $TEX: $p$$ , que puede tomar cualquier valor entero () analizando el caso $TEX: $q=0$$ $TEX: $\left(p^2+4pq+2q^2\right)\left(q-1\right)=p^2\cdot (-1)=0$$ lo que sólo ocurre en el caso $TEX: $p^2=0$$ lo que implica que $TEX: $p=0$$ FINALMENTE... las soluciones enteras son: $TEX: $q=1\ ;\ p\in \mathbb{Z}$$ y $TEX: $q=0\ ;\ p=0$$ saludos... -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía."* - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2006, 09:53 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	me faltó escribir para cuando $TEX: q=0 ; p=0$ --------------------

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2006, 09:59 PM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(caf_tito @ Apr 22 2006, 10:53 PM) me faltó escribir para cuando $TEX: q=0 ; p=0$ Creeme que a la mayoria le falto eso..y eso es justamente el detalle rebuscado de la pregunta Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

SoLiD_UsHeR Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2006, 10:00 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 257 Registrado: 16-May 05 Desde: mmm perdio xD Miembro Nº: 34 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	M punto medio de $TEX: AB$ , entonces uno $TEX: M$ con $TEX: P$ y $TEX: Q$ . Como $TEX: $PAM$$ y $TEX: $MBQ = 60°$$ , y $TEX: $MQ$$ , $TEX: $MP$$ , $TEX: $MB$$ Y $TEX: $MA$$ radios, triagulos $TEX: $AMP$$ y $TEX: $BMQ$$ equilateros. Uno $TEX: $ PQ$$ y $TEX: $PMQ = 60°$$ , entonces $TEX: $MPQ$$ y $TEX: $ MQP = 60°$$ , triangulo $TEX: $MQP$$ equilatero. Como cuerdas iguales sostienen arcos iguales, $TEX: $BQ$$ , $TEX: $QP$$ y $TEX: $PA$$ son iguales ( refieriendos al cachito que queda). Ahora denotaremos $TEX: $A$$ al area del triangulo, y vemos que el triangulo de arriba tambien es equilatero, ya que $TEX: $P$$ y $TEX: $Q$$ puntos medios de los lados, y $TEX: $PQ = 60°$$ Como $TEX: $PMA = 60°$$ , todo este pedazo incluido el cachito vale $TEX: $1/6$$ del area total del Circulo, $TEX: $ \frac {\pi}{6}$$ , entonces el cachito vale $TEX: $\frac {\pi}{6} - A $$ , y el area de arriba será $TEX: $A - \frac {\pi}{6} + A$$ Sumando todo para sacar el total final $TEX: $$\frac {\pi}{6} - A + \frac {\pi}{6} - A + A - \frac {\pi}{6} + A = \frac {\pi}{6}$$$ Una forma para visualizar que esta correcto es mover el cachito de la derecha arriba y forma el triángulo equilatero, y despues moverlo abajo al lado del cachito para formar el $TEX: $\frac{1}{6}$$ del circulo, $TEX: $$\frac{\pi}{6}$$$ -------------------- Trabajando en una nueva firma...

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2006, 10:21 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	mm escribiría mi respuesta al ejercicio 1...pero jej... Mejor borren este post XD muy largo.. ya que la hice con triangulo de area $TEX: \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$ el rombo $TEX: \[2\sqrt 3 \]$ la circunferencia de radio $TEX: \[\sqrt 3 \]$ --------------------

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2006, 12:12 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno Bueno Creo tener ambos buenos, mi unico problema es que en la segunda no hice ningun calculo, pues ambos resultados son obvios a la vista. Por eso puede que este mal. Pero weno. lo pase bien y nunca mas voy a jugar gato en mi vida jejejejej -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

Mireille Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2006, 12:23 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 6-August 05 Miembro Nº: 169	espero tener unos cuantos puntitos por haber explicado todo lo que hize y pensé sin llegar a ningún resultado de los escritos....pero igual.. De los ERRORES uno aprende... y creo que en estas pruebas he aprendido mucho sobre la lógica... y VER antes de calcular ....^^ además un consejo... Intenten llegar a la prueba con el estómago llenito , porke a mi me dio hambre en la mitad de la prueba y no pude repsonder bien la segunda TT_TT. eso! FiN xD -------------------- "...En tiempos de crisis, la imaginación es más importante que la sabiduría..." Albert Einstein

maria jose Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2006, 12:24 PM Publicado: #9
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 25 Registrado: 16-July 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 146 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	voy a postear como hice la pregunta 1 porque quede un poquito picada porque hice una division mal y cambio todo el resultado ¬¬ $TEX: me dicen que el triangulo ABC es equilatero y que M es el punto medio entre AB y que AB=2.<br />entonces primero saque el area del triangulo de lado 2, para sacar el area necesito la altura del triangulo y esta la saque por pitagoras $1^2+b^2=2^2$ donde 1 es el cateto AM y 2 la hipotenusa, al sacar la altura me queda $\sqrt{3}$.<br />al tener la altura y los lados puedo sacar el area del triangulo, la cual se saca $\frac{basealtura}{2}$ remplazando los datos quedaria 2$\sqrt{3}$/2 donde el area del triangulo seria $\sqrt{3}$.<br />Despues saque el area de la semicircunferencia, la que es $\frac{pi1}{2}$ la que quedaba $\frac{pi}{2}$.<br />despues de tener estos datos me di cuenta que donde esta la semicircunferencia se forma un trapecio de base 1 y 2 y de altura $\sqrt{3}$/2 y de este trapecio saque su area donde quedo que $\frac{2+1}{2}$ $\sqrt{3}$/2 siendo su area 3$\sqrt{3}$/4.<br /><br />Luego de tener todas estas areas empece a sacar las partes achuradas, primero saque lo que sobra al restar el area de la semicircunferencia con el trapecio... $\frac{pi}{2}$ - 3 $\sqrt{3}$/4 =2pi- 3 $\sqrt{3}$ / 4 si este resultado lo divido en 3 me quedaria 2pi- 3 $\sqrt{3}$ / 12 y si lo multiplico por 2 seria (4pi- 6$\sqrt{3}$) / 12 donde esta area seria el area achurada que esta en la semicircunferencia.<br /><br />para sacar el area achurada de la parte superior del triangulo, reste $\sqrt{3}$ - (3$\sqrt{3}$/4) - (2pi+ 3$\sqrt{3}$)/12 = (3$\sqrt{3}$ - pi)/6<br /><br />al tener todas las areas achuradas ahora las sumo...<br />(3$\sqrt{3}$-pi)/6 + (4pi- 6$\sqrt{3}$ )/12<br />resolviendo esto da...<br />(6$\sqrt{3}$ -2pi+4pi- 6$\sqrt{3}$)12 = 2pi/12 = pi/6$ perdon pero nose usar el latex aun y otra cosa perdon por la redaccion adios...

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2006, 12:29 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Guía Rojo @ Apr 22 2006, 10:27 PM) la ecuación se podía escribir como: $TEX: $\left(p^2+4pq+2q^2\right)\left(q-1\right)=0$$ por lo que teniamos 2 caminos... el primer factor igual a cero, o el segundo igual a cero () viendo el primer caso: $TEX: $p^2+4pq+4q^2=2q^2$$ $TEX: $p+2q=\pm q\sqrt{2}$$ $TEX: $\dfrac{p+2q}{q}=\pm \sqrt{2}$$ (excluyendo el caso $TEX: $q=0$$ ) pero como queremos que $TEX: $p$$ y $TEX: $q$$ sean enteros, el numerador "es" entero, y como el denominador también lo "es", la fracción resulta un racional... pero da como resultado un irracional, asi que es imposible tener 2 soluciones enteras para esta ecuación... () viendo el segundo caso: $TEX: $q-1=0\Longleftrightarrow q=1$$ con lo que teníamos libre a $TEX: $p$$ , que puede tomar cualquier valor entero () analizando el caso $TEX: $q=0$$ $TEX: $\left(p^2+4pq+2q^2\right)\left(q-1\right)=p^2\cdot (-1)=0$$ lo que sólo ocurre en el caso $TEX: $p^2=0$$ lo que implica que $TEX: $p=0$$ FINALMENTE... las soluciones enteras son: $TEX: $q=1\ ;\ p\in \mathbb{Z}$$ y $TEX: $q=0\ ;\ p=0$$ saludos... No entiendo Porque te da eso en el primer caso, no debiera ser solo p^2+4pq+2q^2=0 ?????????????????? -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas..* El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

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