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Individual M2, IX Region

ja_nok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2008, 06:37 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 30-April 08 Miembro Nº: 21.684 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />{\bf Problema 1}. <br />Dos hermanos heredan un terreno de $12$ hect\'areas<br />que tiene la forma de un tri\'angulo escaleno. Dice el testamento: \emph{Deben unirse los puntos medios de dos de los lados que demarcan el terreno, lo que lo divide en un terreno triangular y en otro terreno en forma de cuadril\'atero. El terreno triangular ser\'a para Benjam\'in, el hermano menor, y la otra parte para Ciro, el mayor}. ¿Cu\'antas<br />hect\'areas de terreno tocan cada uno? ¿Influyen en esto las medidas<br />de los tres lados del terreno?<br />\\\\<br />{\bf Problema 2}. <br />Repartidos en una isla viven $101$ camaleones que var\'ian su camuflaje entre dos <br />colores: Amarillo o Caf\'e. Al encontrarse dos de estos camaleones, <br /> realizan instintivamente una especie de danza que termina con ambos chocando sus cabezas y cambiando<br /> de color. Esta es la \'unica manera en que pueden cambiar de color.<br />En el mes de Enero, todos los camaleones de la isla eran de color Amarillo. ¿Es posible que en alg\'un momento todos los camaleones sean<br />de color Caf\'e?<br />\\\\<br />{\bf Problema 3}. Encontrar todas las fracciones irreductibles (esto quiere decir que no se pueden simplificar) con la<br />propiedad que si se suma $2$ al numerador y al denominador, la fracci\'on resultante es el doble que la original.<br /><br />$ -------------------- Para encender mentes, se debe llevar fuego en el corazón

Nacho.IN Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2008, 09:14 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 21 Registrado: 6-March 07 Desde: Santiago, La Florida Miembro Nº: 4.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solucion P2: $TEX: <br />Primero tenemos que darnos cuanta que: 101=50+50+1<br /><br /><br />Luego: por enunciado hay 101 camaleones amarillos (50A+50A+1A)<br /><br />Entonces: podemos formar 50 parejas y uno queda solo (2(50A)+1A)<br /><br />Luego: De los 101 camaleones amarillos, 100 ahora son cafés por el proceso dicho en el enunciado y uno sólo amarillo (100C+1A)<br /><br />Luego: supongamos que el camaleo amarillo se junta con uno café, estos invertirán sus colores y mantendran la cantidad de camaleones cafés y amarrillos (100C+1A). Luego se repite el proceso y asi sucesivamente.<br /><br />Entonces: Concluimos que nunca van a poder estar los 101 camaleones del color café.$ Mensaje modificado por Nacho.IN el Aug 9 2008, 09:35 PM -------------------- "Ve más alla de lo que tus ojos pueden ver"

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2008, 04:15 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 3:$ $TEX: Sean x, y tales enteros. Tenemos la ecuacion$ $TEX: $\displaystyle \frac{x+2}{y+2}$=$\displaystyle \frac{2x}{y}$$ $TEX: Esto equivale a:$ $TEX: $xy+2y=2xy+4x$$ $TEX: $xy+4x-2y=0$$ $TEX: $(x-2)(y+4)=-8$.$ $TEX: Entonces los factores pueden tomar los valores (8,-1),(4,-2),(2,-4),(1,-8), (-1,8),(-2.4),(-4,2),(-8.1); obteniendo que las soluciones son (10,-5),(6,-6),(4,-8),(3,-12),(1,4),(0,0),(-2,-2),(-6,-3). Como mcd(x,y)=1 y $x$ e $y$ no deben ser nulos, obtenemos que la unica solucion es (1,4)$ Espero k este bn. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2008, 08:13 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Nacho.IN @ Aug 9 2008, 10:14 PM) Solucion P2: $TEX: <br />Primero tenemos que darnos cuanta que: 101=50+50+1<br />Luego: por enunciado hay 101 camaleones amarillos (50A+50A+1A)<br /><br />Entonces: podemos formar 50 parejas y uno queda solo (2(50A)+1A)<br /><br />Luego: De los 101 camaleones amarillos, 100 ahora son cafés por el proceso dicho en el enunciado y uno sólo amarillo (100C+1A)<br /><br />Luego: supongamos que el camaleo amarillo se junta con uno café, estos invertirán sus colores y mantendran la cantidad de camaleones cafés y amarrillos (100C+1A). Luego se repite el proceso y asi sucesivamente.<br /><br />Entonces: Concluimos que nunca van a poder estar los 101 camaleones del color café.$ Lo que hiciste aquí, es sólo un ejemplo en que pueden emparejarse los camaleones para realizar los rituales del cambio de color. Por lo tanto, no es una respuesta correcta. Creo que no estás lejos de resolver el problema, pero debes explicarlo de una manera ligeramente distinta. CITA(Vargüitas DSLU @ Nov 9 2008, 05:15 PM) $TEX: Problema 3:$ $TEX: Sean x, y tales enteros. Tenemos la ecuacion$ $TEX: $\displaystyle \frac{x+2}{y+2}$=$\displaystyle \frac{2x}{y}$$ $TEX: Esto equivale a:$ $TEX: $xy+2y=2xy+4x$$ $TEX: $xy+4x-2y=0$$ $TEX: $(x-2)(y+4)=-8$.$ $TEX: Entonces los factores pueden tomar los valores (8,-1),(4,-2),(2,-4),(1,-8), (-1,8),(-2.4),(-4,2),(-8.1); obteniendo que las soluciones son (10,-5),(6,-6),(4,-8),(3,-12),(1,4),(0,0),(-2,-2),(-6,-3). Como mcd(x,y)=1 y $x$ e $y$ no deben ser nulos, obtenemos que la unica solucion es (1,4)$ Espero k este bn. Saludos Solución correcta. Esperamos una corrección para resolver el problema 2. También esperamos la solución al problema 1

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