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> Sumatoria, Con algo de trigonometria
user1
mensaje May 26 2008, 02:32 AM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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Miembro Nº: 4.889
TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Ocupe la identidad:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{cos}}\left( {n + \frac{1}<br />{2}} \right)x - \cos \left( {n - \frac{1}<br />{2}} \right)x = - 2sen{\text{ }}\left( {nx} \right)sen\,\frac{x}<br />{2} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Para demostrar que:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \sum\limits_{k = 1}^n {sen\left( {kx} \right) = \frac{{\cos ^2 \frac{x}<br />{2} - \cos \left( {n + \frac{1}<br />{2}} \right)x\cos \frac{x}<br />{2}}}<br />{{sen{\text{ }}x}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />
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josedebajodelmat...
mensaje May 26 2008, 11:52 PM
Publicado: #2


Principiante Matemático
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TEX: $ \cos { (n + \dfrac{1}{2})x} - \cos {(n - \dfrac{1}{2})x} = -2\sin{(nx)} \sin{(\dfrac{x}{2})}$

TEX: $sea$
TEX: $ A = nx$

TEX: $ B = \dfrac{x}{2}$
TEX: $luego$
TEX: $ A + B = (n + \dfrac{1}{2})x$

TEX: $ A - B = (n - \dfrac{1}{2})x$
TEX: $ entonces$

TEX: $ \cos { (A+B)} - \cos {(A-B)} = -2\sin{(nx)} \sin{(\dfrac{x}{2})}$
TEX: $ \cos {(A)} \cos{(B)} - \sin{(A)}\sin{(B)} - \cos {(A)}\cos{(B)} - \sin{(A)}\sin{(B)} = -2\sin{(nx)} \sin{(\dfrac{x}{2})}$
TEX: $ \ -2 \sin{(A)}\sin{(B)} = -2\sin{(nx)} \sin{(\dfrac{x}{2})}$
TEX: $ \ -2\sin{(nx)} \sin{(\dfrac{x}{2})} = -2\sin{(nx)} \sin{(\dfrac{x}{2})} Q.E.D.$


TEX: $ pdq$

TEX: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sin{(kx)} = \dfrac{\cos^2{\dfrac{x}{2}} - \cos{(n+\dfrac{1}{2})}x\cos{\dfrac{x}{2}}}{\sin{x}}$

TEX: $como x es cte.$

TEX: $\displaystyle = -\dfrac{1}{2\sin{\dfrac{x}{2}}}\sum_{k=1}^{n} -2\sin{(kx)}\sin{\dfrac{x}{2}} = \dfrac{\cos^2{\dfrac{x}{2}} - \cos{(n+\dfrac{1}{2})}x\cos{\dfrac{x}{2}}}{\sin{x}} $

TEX: $por lo anterior$

TEX: $\displaystyle = -\dfrac{1}{2\sin{\dfrac{x}{2}}}\sum_{k=1}^{n} \cos {(k + \dfrac{1}{2})x} - cos {(k - \dfrac{1}{2})x}= \dfrac{\cos^2{\dfrac{x}{2}} - \cos{(n+\dfrac{1}{2})}x\cos{\dfrac{x}{2}}}{\sin{x}}$

TEX: $por telescopica(no se nota bien pero lo es)$

TEX: $\displaystyle =-\dfrac{1}{2\sin{\dfrac{x}{2}}} ( \cos {(n + \dfrac{1}{2})x} - \cos {- (\dfrac{x}{2})}) $

TEX: $\displaystyle = \dfrac{\cos {\dfrac{x}{2}} -\cos {(n + \dfrac{1}{2})x}}{2\sin{\dfrac{x}{2}}} $

TEX: $notar que$

TEX: $2 \sin {\dfrac{x}{2}}\cos{\dfrac{x}{2}}= \sin{x}$
TEX: $2 \sin {\dfrac{x}{2}}= \dfrac{\sin{x}}{\cos{\dfrac{x}{2}}}$

TEX: $reemplazando$

TEX: $= \dfrac {\cos {\dfrac{x}{2}} -\cos {(n + \dfrac{1}{2})x}}{\dfrac{\sin{x}}{\cos{\dfrac{x}{2}}}} $

TEX: $ = \dfrac {\cos^2{\dfrac{x}{2}} - \cos {\dfrac{x}{2}}\cos {(n + \dfrac{1}{2})x}}{\sin{x}}= \dfrac{\cos^2{\dfrac{x}{2}} - \cos{(n+\dfrac{1}{2})}x\cos{\dfrac{x}{2}}}{\sin{x}}$

TEX: Q.E.D.

creo no tener ningun error =P
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