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Unos propuestos de Sumatoria

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2006, 07:46 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Calcule\\<br />\\<br />i) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k+1}$\\<br />\\<br />\\<br />ii)$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k+2}{k(k+1)2^k}$\\<br />\\<br />\\<br />iii)$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{(k+1)(k+2)}$\\<br />\\<br />\\<br />iv)$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2$\\<br />\\<br />\\<br />v)$\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

.r0 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2007, 04:24 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 452 Registrado: 28-January 06 Desde: Quirihue, VIII Region Miembro Nº: 519 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	La i (Ufff) $TEX: <br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \sum\limits_{k = 1}^n {\left( \begin{array}{l}<br /> n \\ <br /> k \\ <br /> \end{array} \right)\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}{{k + 1}}} &= \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\left( \begin{array}{l}<br /> n \\ <br /> k \\ <br /> \end{array} \right)\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}{{k + 1}}} \right)} - 1 \\ <br /> &= \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} \cdot \frac{{\left( { - 1} \right)^k }}{{k + 1}}} \right)} - 1 \\ <br /> &= \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} \cdot \left( { - 1} \right)^k } \right)} - 1 \\ <br /> &= \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} \cdot \left( { - 1} \right)^k \cdot \frac{{n + 1}}{{n + 1}}} \right)} - 1 \\ <br /> &= \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} \cdot \frac{{\left( { - 1} \right)^k }}{{n + 1}}} \right)} - 1 \\ <br /> &= \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\left( \begin{array}{l}<br /> n + 1 \\ <br /> k + 1 \\ <br /> \end{array} \right) \cdot \left( { - 1} \right)^k } \right)} - 1 \\ <br /> &= \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\left( {\left( \begin{array}{l}<br /> n + 1 \\ <br /> k \\ <br /> \end{array} \right) \cdot \left( { - 1} \right)^{k - 1} } \right)} - 1 \\ <br /> &= \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {\left( {\left( \begin{array}{l}<br /> n + 1 \\ <br /> k \\ <br /> \end{array} \right) \cdot \left( { - 1} \right)^{k - 1} } \right) + 1} } \right) - 1 \\ <br /> &= \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {\left( {\left( \begin{array}{l}<br /> n + 1 \\ <br /> k \\ <br /> \end{array} \right) \cdot \left( { - 1} \right)^{k - 1} 1^{\left( {n + 1} \right) - k} } \right) + 1} } \right) - 1 \\ <br /> &= \frac{1}{{n + 1}}\left( {0^{n + 1} + 1} \right) - 1 \\ <br /> &= \frac{1}{{n + 1}} - 1 \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ -------------------- Nicolás Flores Cartes Estudiante de Ingeniería y Ciencias. Plan Común Universidad de Chile

simonchileno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2007, 11:29 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 21-May 07 Miembro Nº: 6.053 Nacionalidad: Sexo:	Hola, esta puede ser otra solución para (i) $TEX: $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{\left( -1\right) ^{k}}{k+1}-1=\sum_{k=0}^{n}%<br />\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}\int_{0}^{1}t^{k}dt-1 \\ =\int_{0}^{1}\left(<br />\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}t^{k}\right) dt-1 \\<br />=\int_{0}^{1}\left( 1-t\right)<br />^{n}dt-1=-\int_{1}^{0}u^{n}du-1=\int_{0}^{1}u^{n}du-1=\frac{1}{n+1}-1$$ Mensaje modificado por simonchileno el May 25 2007, 09:25 AM

simonchileno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2007, 11:40 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 21-May 07 Miembro Nº: 6.053 Nacionalidad: Sexo:	¿se pueden proponer ejercicios? ver el anterior, luego (iii) queda $TEX: $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{\left( -1\right) ^{k}}{\left( k+1\right)<br />\left( k+2\right) } =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}\left(<br />\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right) \\<br />=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}\frac{1}{k+1}%<br />-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}\frac{1}{k+2} \\<br />=\int_{0}^{1}\left( 1-t\right) ^{n}dt-\int_{0}^{1}\left( \sum_{k=0}^{n}%<br />\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}t^{k+1}\right) dt \\<br />=\int_{0}^{1}\left( 1-t\right) ^{n}dt-\int_{0}^{1}t\left( \sum_{k=0}^{n}%<br />\binom{n}{k}\left( -1\right) ^{k}t^{k}\right) dt \\<br />=\int_{0}^{1}\left( 1-t\right) ^{n}dt-\int_{0}^{1}t\left( 1-t\right) ^{n}dt<br />\\<br />=\int_{0}^{1}\left( 1-t\right) ^{n+1}dt \\<br />=\int_{0}^{1}u^{n+1}du=\frac{1}{n+2}$$ Mensaje modificado por simonchileno el May 25 2007, 12:45 PM

karnack Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2007, 11:56 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 691 Registrado: 2-December 06 Miembro Nº: 3.105	por supuesto pero lo ideal seria que los postearas en topics aparte http://www.fmat.cl/index.php?showforum=575 Mensaje modificado por karnack el May 25 2007, 11:56 AM

XaPi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2007, 12:09 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.872 Registrado: 9-March 06 Desde: Welcome Miembro Nº: 614 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion ii) $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k(k+1)2^k}$\\<br />\ \\<br />$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k(k+1)2^k}+ \frac{2}{k(k+1)2^k}$\\<br />\ \\<br />$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)2^k}+ \frac{2}{k(k+1)2^k}$\\<br />\ \\<br />$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)2^k}+ \frac{2}{2^k} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) $\\<br />\ \\<br />$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)2^k}+ \frac{2}{k2^k} - \frac{2}{(k+1)2^k}$\\<br />\ \\<br />$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k2^{k-1}} - \frac{1}{(k+1)2^k}$\\<br />\ \\<br />Resolvemos la telescopica y llegamos a:\\<br />\ \\<br />$= 1 - \dfrac{1}{(n+1)2^{n}}$$ Saludos. PD: No se enojen si esta mal... hace años que no hago sumitas. -------------------- USA MAPLE ANTES QUE L'HOPITAL!!!! --- fan ----------------- CURRICULUM VITAE ----------------- 296 pts en la PSU de Matemáticas Admisión 2010. Estudiante de Primer Año de Licenciatura en Historia, Ciencias Sociales y Filosofía Jurídica U. de Talca VII Region Chile

PaulRS Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 11 2007, 02:07 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 156 Registrado: 11-June 07 Miembro Nº: 6.615 Nacionalidad: Sexo:	V) Sacando denominador común: $TEX: <br />$\displaystyle\sum\limits_{k = 2}^n {\sqrt {1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)^2 }}} } = \displaystyle\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{\sqrt {\left( {k^2 + k} \right)^2 + k^2 + \left( {k + 1} \right)^2 } }}{{k\left( {k + 1} \right)}}} $$ Desarrollando el numerador: $TEX: $\displaystyle\sum\limits_{k = 2}^n {\sqrt {1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)^2 }}} } = \displaystyle\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{\sqrt {k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1} }}{{k\left( {k + 1} \right)}}} $<br />$ Observación 1: $TEX: $k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1 = \left( {k^2 + k + 1} \right)^2 $$ Entonces: $TEX: $\displaystyle\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{\sqrt {k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1} }}{{k\left( {k + 1} \right)}}} = \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{\left( {k^2 + k + 1} \right)}}{{k\left( {k + 1} \right)}}} $$ Observación 2: $TEX: $\displaystyle\frac{{\left( {k^2 + k + 1} \right)}}{{k\left( {k + 1} \right)}} = 1 + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}$$ Por lo tanto: $TEX: $\displaystyle\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{\left( {k^2 + k + 1} \right)}}{{k\left( {k + 1} \right)}}} = \sum\limits_{k = 2}^n {\left( {1 + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right)} = \left( {n - 1} \right) + \sum\limits_{k = 2}^n {\left( {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right)} $$ Observación 3: $TEX: $ \displaystyle\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}} \Rightarrow \sum\limits_{k = 2}^n {\left( {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 1}} $ <br />$ Entonces: $TEX: $\displaystyle\sum\limits_{k = 2}^n {\sqrt {1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)^2 }}} } = \left( {n - 1} \right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 1}}$$ Saludos y felicitaciones por el foro. -------------------- $TEX: $\sqrt[3]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{3\cdot{\sqrt[]{3}}-1}}}\approx{\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{\sqrt[]{3}-1}}}$$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2008, 01:07 PM Publicado: #8
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Apr 20 2006, 08:40 AM) $TEX: \[<br />iii)\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> n \\<br /> k \\<br /><br /> \end{array} } \right)\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}<br />{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> n \\<br /> k \\<br /><br /> \end{array} } \right)\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}<br />{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} \cdot \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> {k + 2} \\<br /><br /> \end{array} } \right) \cdot \frac{{\left( { - 1} \right)^k }}<br />{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} = \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} \cdot \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> {k + 2} \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^k } = \frac{1}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> {k + 2} \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^k } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\sum\limits_{k = 2}^{n + 2} {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> k \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^{k - 2} } = \frac{1}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\sum\limits_{k = 2}^{n + 2} {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> k \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^k } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\left\{ {\sum\limits_{k = 2}^{n + 2} {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> k \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^k } + \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^0 + \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> 1 \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^1 - \left[ {{\text{lo mismo}}} \right]} \right\} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\left\{ {\sum\limits_{k = 0}^{n + 2} {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> k \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^k } - \left[ {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^0 + \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> 1 \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^1 } \right]} \right\} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\left\{ {\sum\limits_{k = 0}^{n + 2} {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {n + 2} \\<br /> k \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( { - 1} \right)^k } \cdot 1^{n + 2 - k} - \left[ {1 - \left( {n + 2} \right)} \right]} \right\} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\left\{ {\left( { - 1 + 1} \right)^{n + 2} + n - 1 + 2} \right\} = 0 + \frac{{n + 1}}<br />{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \boxed{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> n \\<br /> k \\<br /><br /> \end{array} } \right)\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}<br />{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} = \frac{1}<br />{{n + 2}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ saludos -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2008, 02:05 PM Publicado: #9
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Vamos con otra solución para este. CITA(Kenshin @ Apr 20 2006, 07:40 AM) $TEX: iii)$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{(k+1)(k+2)}$$ $TEX: <br />\begin{eqnarray}<br /> \sum\limits_{k\,=\,0}^{n}\binom nk{\frac{(-1)^{k}}{(k+1)(k+2)}}&=&\int_{0}^{1}\!{\int_{0}^{1}{\left\{ y\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}{\binom nk(-xy)^{k}} \right\}\,dx}\,dy} \\ <br /> &=&\int_{0}^{1}\!{\int_{0}^{1}{y(1-xy)^{n}\,dx}\,dy} \\ <br /> &=&\frac{1}{n+2}.<br />\end{eqnarray}$ (El cálculo de la integral doble fue omitido pues no posee mucha dificultad.)

jok-a Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 18 2008, 03:25 PM Publicado: #10
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 13 Registrado: 18-May 08 Miembro Nº: 23.558 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	vamos a ver si los puedo hacer.... -------------------- ...frialdad mental... [color="#0000FF"][/color]

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