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Prueba Individual M3, Octava Región

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pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 12:01 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 1}\\<br /><br />\noindent Un cuadril\'atero $ABCD$ es tal que $AB=BC=1$, la medida de la diagonal $AC$ es un n\'umero entero, y sus diagonales son perpendiculares. Adem\'as, los cuatro v\'ertices del cuadril\'atero est\'an sobre una misma circunferencia. Se pide hallar el per\'imetro del $ABCD$.\\<br /><br />\noindent \textbf{Problema 2}\\<br /><br />\noindent Dada una fracci\'on con numerador $2$ y denominador impar de la forma $\dfrac{2}{2n+1}$, con un $n$ entero positivo, encontrar una f\'ormula general que permita descomponer tal fracci\'on como una suma de dos fracciones distintas de denominador $1$. Por ejemplo $$\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15},\ \dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{28},\ \ldots $$<br /><br />\noindent \textbf{Problema 3}\\<br /><br />\noindent Determinar el valor exacto de $$\sqrt[3]{\dfrac{1\cdot 2\cdot 4+2\cdot 4\cdot 8+3\cdot 6\cdot 12+\ldots +100\cdot 200\cdot 400}{1\cdot 3\cdot 9+2\cdot 6\cdot 18+3\cdot 9\cdot 27+\ldots +100\cdot 300\cdot 900}}$$$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 12:50 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: P3\\<br />Lo pedido es $\sqrt[3]{\sum_{k=1}^{100}\dfrac{k\cdot2k\cdot4k}{k\cdot3k\cdot9k}}=\sqrt[3]{\sum_{k=1}^{100}\dfrac{8}{27}}=\sqrt[3]{\dfrac{100\cdot 8}{27}}=\dfrac{\sqrt[3]{800}}{3}$.$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 01:01 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: P2\\<br />Notemos que en el primer ejemplo $n=2$, la suma es $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(2n+1)(n+1)}$. Analogo es lo que vemos en el segundo ejemplo. Generalizando para todo $n$ tenemos $\frac{2}{2n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(2n+1)(n+1)}$. En efecto, el lado derecho es $\dfrac{(2n+1)(n+1)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(2n+1)}=\dfrac{(n+1)(2n+1+1)}{(n+1)(n+1)(2n+1)}=\dfrac{2n+2}{(n+1)(2n+1)}=\dfrac{2(n+1)}{(n+1)(2n+1)}=\dfrac{2}{2n+1}$, el lado izquierdo.$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 01:05 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Ah, supongo que esta mal tipeado al decir que las fracciones tenian denominador 1, y tambien es entendible que las fracciones generadas tienen denominadores diferentes.

ja_nok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 02:08 PM Publicado: #5
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 30-April 08 Miembro Nº: 21.684 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Jul 6 2008, 12:41 PM) $TEX: P3\\<br />Lo pedido es $\sqrt[3]{\sum_{k=1}^{100}\dfrac{k\cdot2k\cdot4k}{k\cdot3k\cdot9k}}=\sqrt[3]{\sum_{k=1}^{100}\dfrac{8}{27}}=\sqrt[3]{\dfrac{100\cdot 8}{27}}=\dfrac{\sqrt[3]{800}}{3}$.$ Pero esta claro que el denominador es mayor que el numerador. -------------------- Para encender mentes, se debe llevar fuego en el corazón

luuchiitoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 04:04 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.832 Registrado: 26-October 07 Desde: concepción Miembro Nº: 11.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P3 me arriesgaré a pasar la verguenza, y llevarle la contra a felipe ambuli, a quien respeto mucho, pero a mi me dió en la prueba de ayer que el resultado es 2/3, adjunto con el método que utilicé... Mensaje modificado por luuchiitoo el Jul 6 2008, 04:04 PM Archivo(s) Adjunto(s) 3.PNG ( 13.3k ) Número de descargas: 5 -------------------- -la inteligencia no es un privilegio, sino un don en benefio de los hermanos... -un gran don conlleva una gran responzabilidad... -un libro puede saber más que un estudiante, pero es mejor el estudiante, ya que el estudiante es capaz de razonar y pensar (fuera de lo espiritual que también es importante)... Paz y Bien...=)

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 04:28 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Wajajja no estas bien luis, el error mio esta en que considere el problema como $TEX: \noindent Calcule $\sqrt[3]{\dfrac{1\cdot 2\cdot 4}{1\cdot 3\cdot 9}+\dfrac{2\cdot 4\cdot 8}{2\cdot 6\cdot 18}+...+\dfrac{100\cdot 200\cdot 400}{100\cdot 300\cdot 900}}$$ . La solucion al problema original seria algo como $TEX: \noindent Sea $A$ la expresion a calcular. Notemos que $A=\sqrt[3]{\dfrac{8(1+2^3+3^3+...+100^3)}{27(1+2^3+3^3+...+100^3)}}=\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\frac{2}{3}$$ Lo siento, jamas me va a pasar

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 05:09 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $X=AC\cap BD$. Como $\angle CAB= \angle CDB$ (ciclico $ABCD$) y $AC\bot BD$, entonces tenemos $\angle BAD=90-\angle CAB$ y por el c\'iclico tenemos $\angle ACD=90-\angle CAB$ por lo tanto $\angle BCD=90$ lo que implica que $BD$ es un di\'ametro, por lo tanto pasa por el centro. Sea $a=AC$. Resulta que por el teorema de pit\'agoras en el $\triangle BXC$ tenemos $BX=\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{4-a^2}{4}}$. Como $a\in\mathbb{N}$ tenemos que $\frac{4-a^2}{4}\in{\{\frac{3}{4},0,\frac{-5}{4}\ldots \}}$ por lo tanto $a=1$ y $BX=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ya que $BX\in{\mathbb{R}^+}$. Entonces tenemos que $\triangle ABC$ es equil\'atero, por lo tanto $O$ es circuncentro y gravicentro del $\triangle ABC$. Entonces como $\angle BDC=\angle BAC$ (por el ciclico $ABCD$) y $OD=OC$ (radios) entonces $\triangle OCD$ es equil\'atero, por lo tanto $DC=OB$. Entonces como $OB=\frac{2\cdot BX}{3}$ (propiedad de las transversales de gravedad) tenemos que $OB=CD=\frac{\sqrt{3}}{3}$, y como $AD=CD$ (ya que sus arcos son iguales) tenemos que el per\'imetro es $\frac{6+\sqrt{3}}{3}$.$ Claramente hay una solución mucho mas corta con 30-60-90, pero queria dejarles esta porque fue la que puse en la prueba. salu2 socios =D -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Holandes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 05:24 PM Publicado: #9
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 43 Registrado: 11-September 07 Desde: Conce Miembro Nº: 10.066 Nacionalidad: Sexo:	s Mensaje modificado por Holandes el Jul 6 2008, 05:28 PM -------------------- Wilhelmus van Nassauwe ben ik, van Duitsen bloed; den vaderland getrrouwe blijf ik tot in den dood. Een Prinse van Oranje ben ik, vrij, onverveerd; den Koning van Hispanje heb ik altijd geëerd. Adonay

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 05:28 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Holandes @ Jul 6 2008, 06:15 PM) Si es verdad que OCD es equilatero, entonces XC = $TEX: $0,5\sqrt3$$ , por lo que AC = $TEX: $\sqrt3$$ , contradiciéndose con el enunciado nopu, XC=1/2 -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

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