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Prueba individual M4, Octava región

Soul_Hunter Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2008, 10:10 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 665 Registrado: 12-June 07 Desde: the city of the fallen angels Miembro Nº: 6.649 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 1} (10pt) Considerar un cuadrado ABCD y un punto E sobre el lado AB. Sobre el segmento BE se construye el cuadrilátero BEFG, hacia el exterior del cuadrado original. Si $\measuredangle BAG=40^o$, determinar la medida del $\measuredangle BDF$.\\[5mm]<br />\textbf{Problema 2}(10pt) Los egipcios conocían bien las fracciones y podían operar con ellas: sin embargo, ellos sólo usaban fracciones con numerador 1 (además de $\frac 2 3$, que no usaremos aquí). El papiro de Rhind, de más de 3500 años de antigüedad, contiene una tabla de fracciones con numerador 2 y denominador impar como las siguientes: $$\dfrac2 5=\dfrac 1 3+\dfrac{1}{15},\ \dfrac 2 7=\dfrac 1 4+\dfrac{1}{28},\cdots$$ En la prueba del nivel B7 se pidió a los participantes encontrar una descomposición en fracciones distintas cuyo numerador vale 1 para las fracciones que siguen en el papiro de Rhind: $\frac 2 9$ y $\frac{2}{11}$. En este nivel, M4, se pide algo más. Dada una fracción con numerador 2 y denominador impar de la forma $\frac{2}{2n+1}$, con n un entero positivo, encontrar una fórmula general que permita descomponer tal fracción como una suma de fracciones distintas de numerador 1.\\[5mm]<br />\textbf{Problema 3}(10pt) Determinar el valor exacto de: $$\sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 12 + \ldots + 100 \cdot 200 \cdot 400}}{{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + 3 \cdot 9 \cdot 27 + \ldots + 100 \cdot 300 \cdot 900}}}}$$<br />$ --------------------

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2008, 10:36 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	taba mal Mensaje modificado por Versuchung el Jul 6 2008, 12:29 AM -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 12:08 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Versuchung @ Jul 5 2008, 11:26 PM) P3 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sqrt[3]{{\frac{{1\cdot2\cdot4 + 2\cdot4\cdot8 + 3\cdot6\cdot12 + ... + 100\cdot200\cdot400}}<br />{{1\cdot3\cdot9 + 2\cdot6\cdot18 + 3\cdot9\cdot27 + ... + 100\cdot300\cdot900}}}} = \hfill \\<br /> \sqrt[3]{{\frac{{1\cdot(1\cdot2\cdot4) + 2(1\cdot2\cdot4) + 3(1\cdot2\cdot4) + ... + 100(1\cdot2\cdot4)}}<br />{{1(1\cdot3\cdot9) + 2(1\cdot3\cdot9) + 3(1\cdot3\cdot9) + ... + 100(1\cdot3\cdot9)}}}} = \hfill \\<br /> \sqrt[3]{{\frac{{(1\cdot2\cdot4)\cdot(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100)}}<br />{{(1\cdot3\cdot9)\cdot(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100)}}}} = \hfill \\<br /> \sqrt[3]{{\frac{8}<br />{{27}}}} = \frac{2}<br />{3} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ hola oye creo que tu factorizacion esta mal ya que $TEX: $2\cdot 4\cdot 8\not= 2(1\cdot 2\cdot 4)$$ . Deberia ser $TEX: $2\cdot 4\cdot 8=2^3(1\cdot 2\cdot 4)$$ salu2 -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 12:31 AM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jul 5 2008, 11:58 PM) hola oye creo que tu factorizacion esta mal ya que > salu2 gracias por la correccion taba mal io ke mal -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

jka_dark28 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2008, 12:19 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 295 Registrado: 3-March 08 Desde: Concepción Miembro Nº: 16.154 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{P3}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \sqrt[{\text{3}}]{{\frac{{{\text{8 (1}}^{\text{2}} {\text{ + 2}}^{\text{2}} {\text{ + 3}}^{\text{2}} {\text{ + 4}}^{\text{2}} {\text{ + }}.......{\text{ + 100}}^{\text{2}} )}}<br />{{{\text{27 (1}}^{\text{2}} {\text{ + 2}}^{\text{2}} {\text{ + 3}}^{\text{2}} {\text{ + 4}}^{\text{2}} {\text{ + }}.......{\text{ + 100}}^{\text{2}} )}}}} = \sqrt[3]{{\frac{8}<br />{{27}}}} = \frac{2}<br />{3} \hfill \\<br /> Gracias... \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- -------------------- Licencias Kaspersky Internet Security 2011 Comerciales para 1 equipo, 1 año. http://www.udec.cl/~juanjtroncoso

jka_dark28 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2008, 12:32 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 295 Registrado: 3-March 08 Desde: Concepción Miembro Nº: 16.154 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> p2 \hfill \\<br /> {\text{Si }}\frac{{\text{2}}}<br />{{\text{5}}} = \frac{1}<br />{3} + \frac{1}<br />{{15}},{\text{ y }}\frac{{\text{2}}}<br />{{\text{5}}}{\text{ es de la forma}}\frac{{\text{2}}}<br />{{2n + 1}},{\text{ en este caso n = 2}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Para }}\frac{1}<br />{3} = \frac{1}<br />{{n + 1}};{\text{ entonces:}} \hfill \\<br /> \frac{{\text{2}}}<br />{{2n + 1}} = \frac{1}<br />{{n + 1}} + X \hfill \\<br /> \frac{{\text{2}}}<br />{{2n + 1}} - \frac{1}<br />{{n + 1}} = X = \frac{{2(n + 1) - (2n + 1)}}<br />{{(2n + 1)(n + 1)}} = \frac{{2n + 2 - 2n - 1}}<br />{{2n^2 + 2n + n + 1}} = \frac{1}<br />{{2n^2 + 3n + 1}}. \hfill \\<br /> {\text{Finalmente:}} \hfill \\<br /> \left\| \!{\overline {\, <br /> {\left. {\underline {\, <br /> {\frac{{\text{2}}}<br />{{2n + 1}} = \frac{1}<br />{{n + 1}} + \frac{1}<br />{{2n^2 + 3n + 1}}} \,}}\! \right\| } \,}} \right. \hfill \\<br /> {\text{Para }}\frac{{\text{2}}}<br />{{\text{9}}},{\text{ n = 4}} \hfill \\<br /> \frac{{\text{2}}}<br />{{\text{9}}} = \frac{1}<br />{5} + \frac{1}<br />{{2\cdot16 + 12 + 1}} = \frac{1}<br />{5} + \frac{1}<br />{{45}} \hfill \\<br /> {\text{Para }}\frac{{\text{2}}}<br />{{{\text{11}}}},{\text{ n = 5}} \hfill \\<br /> \frac{{\text{2}}}<br />{{{\text{11}}}} = \frac{1}<br />{6} + \frac{1}<br />{{2\cdot25 + 15 + 1}} = \frac{1}<br />{6} + \frac{1}<br />{{66}} \hfill \\<br /> Gracias... \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- -------------------- Licencias Kaspersky Internet Security 2011 Comerciales para 1 equipo, 1 año. http://www.udec.cl/~juanjtroncoso

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2008, 12:35 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(jka_dark28 @ Jul 7 2008, 01:10 PM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{P3}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \sqrt[{\text{3}}]{{\frac{{{\text{8 (1}}^{\text{2}} {\text{ + 2}}^{\text{2}} {\text{ + 3}}^{\text{2}} {\text{ + 4}}^{\text{2}} {\text{ + }}.......{\text{ + 100}}^{\text{2}} )}}<br />{{{\text{27 (1}}^{\text{2}} {\text{ + 2}}^{\text{2}} {\text{ + 3}}^{\text{2}} {\text{ + 4}}^{\text{2}} {\text{ + }}.......{\text{ + 100}}^{\text{2}} )}}}} = \sqrt[3]{{\frac{8}<br />{{27}}}} = \frac{2}<br />{3} \hfill \\<br /> Gracias... \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Te confundiste al escribir una fórmula para el término general. Por ejemplo, el último sumando del numerador es $TEX: $100\cdot200\cdot400\ne8\cdot100^2<br />$$ -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2008, 12:36 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(jka_dark28 @ Jul 7 2008, 01:22 PM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> p2 \hfill \\<br /> {\text{Si }}\frac{{\text{2}}}<br />{{\text{5}}} = \frac{1}<br />{3} + \frac{1}<br />{{15}},{\text{ y }}\frac{{\text{2}}}<br />{{\text{5}}}{\text{ es de la forma}}\frac{{\text{2}}}<br />{{2n + 1}},{\text{ en este caso n = 2}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Para }}\frac{1}<br />{3} = \frac{1}<br />{{n + 1}};{\text{ entonces:}} \hfill \\<br /> \frac{{\text{2}}}<br />{{2n + 1}} = \frac{1}<br />{{n + 1}} + X \hfill \\<br /> \frac{{\text{2}}}<br />{{2n + 1}} - \frac{1}<br />{{n + 1}} = X = \frac{{2(n + 1) - (2n + 1)}}<br />{{(2n + 1)(n + 1)}} = \frac{{2n + 2 - 2n - 1}}<br />{{2n^2 + 2n + n + 1}} = \frac{1}<br />{{2n^2 + 3n + 1}}. \hfill \\<br /> {\text{Finalmente:}} \hfill \\<br /> \left\| \!{\overline {\, <br /> {\left. {\underline {\, <br /> {\frac{{\text{2}}}<br />{{2n + 1}} = \frac{1}<br />{{n + 1}} + \frac{1}<br />{{2n^2 + 3n + 1}}} \,}}\! \right\| } \,}} \right. \hfill \\<br /> {\text{Para }}\frac{{\text{2}}}<br />{{\text{9}}},{\text{ n = 4}} \hfill \\<br /> \frac{{\text{2}}}<br />{{\text{9}}} = \frac{1}<br />{5} + \frac{1}<br />{{2\cdot16 + 12 + 1}} = \frac{1}<br />{5} + \frac{1}<br />{{45}} \hfill \\<br /> {\text{Para }}\frac{{\text{2}}}<br />{{{\text{11}}}},{\text{ n = 5}} \hfill \\<br /> \frac{{\text{2}}}<br />{{{\text{11}}}} = \frac{1}<br />{6} + \frac{1}<br />{{2\cdot25 + 15 + 1}} = \frac{1}<br />{6} + \frac{1}<br />{{66}} \hfill \\<br /> Gracias... \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Esta solución es correcta... lo que se pide es establecer una igualdad como la que encerraste en un rectángulo -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

jka_dark28 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2008, 07:56 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 295 Registrado: 3-March 08 Desde: Concepción Miembro Nº: 16.154 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(jka_dark28 @ Jul 7 2008, 12:10 PM) $TEX: <br /> Disculpen me equivoque con el exponente$ $TEX: \[<br />\sqrt[3]{{\frac{{8(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 ..... + 100^3 )}}<br />{{27(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ..... + 100^3 )}}}} = \sqrt[2]{{\frac{8}<br />{{27}}}} = \frac{2}<br />{3}<br />\]<br />$ AHi si esta bién.. Gracias -------------------- -------------------- Licencias Kaspersky Internet Security 2011 Comerciales para 1 equipo, 1 año. http://www.udec.cl/~juanjtroncoso

jka_dark28 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2008, 07:58 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 295 Registrado: 3-March 08 Desde: Concepción Miembro Nº: 16.154 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\sqrt[3]{{\frac{{8(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 ..... + 100^3 )}}<br />{{27(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ..... + 100^3 )}}}} = \sqrt[3]{{\frac{8}<br />{{27}}}} = \frac{2}<br />{3}<br />\]<br />$ Ahora si -------------------- -------------------- Licencias Kaspersky Internet Security 2011 Comerciales para 1 equipo, 1 año. http://www.udec.cl/~juanjtroncoso

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