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Prueba individual B8, Octava Region

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p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2008, 09:05 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 1.} Los egipcios conoc\'ian bien las fracciones y pod\'ian operar con ellas. Sin embargo, su manera de entenderlas ten\'ia una notable diferencia con la actual: ellos solo usaban fracciones cuyo numerarador era $1$ (adem\'as de $\dfrac23$, que no usaremos aqu\'i). Por ejemplo, para ellos $\dfrac25$ se escribia como $\dfrac13+\dfrac1{15}$ y $\dfrac37=\dfrac13+\dfrac1{11}+\dfrac1{231}$. \\ \\ \indent Una descomposici\'on en fracciones egipcias para $1$ ser\'ia $1=\dfrac12+\dfrac12$, pero no se permite usar fracciones iguales. Tu problema es encontrar \underline{dos} descomposiciones para el $1$ como suma de fracciones distintas cuyo numerador es uno. \\ \\ <br />\indent \textbf{Problema 2.} El siguiente problema es una adaptaci\'on de uno que aparece en el Papiro de Rhind, de m\'as de $3500$ a\~nos de antiguedad. \\ \\<br />\indent Un campesino ten\'ia varias vacas. Durante el mes pasado, dos terceras partes de ellas parieron un ternero cada una. Despu\'es, por deudas, tuvo que vender un tercio de los terneros y vacas que ten\'ia. Si se qued\'o con un total de $10$ (entre vacas y terneros), > cu\'antas vacas ten\'ia al principio? \\ \\<br />\indent \textbf{Problema 3.} La siguiente figura, en forma de tr\'ebol, se construy\'o haciendo tres copias de un triangulo escaleno $\triangle ABC$.$ P3cemat4.JPG ( 13.71k ) Número de descargas: 4 $TEX: \noindent Primero, se extiende el lado $AB$ hasta un punto $D$ de manera que $BD=AB$ y el $\triangle BDE$ es congruente con el $\triangle ABC$. Despu\'es, se extiende $CB$ hasta un punto $G$ con $BG=CB$ y se extiende $EB$ hasta un punto $F$ con $BF=EB$, de manera que el $\triangle FGB$ es congruente con el $\triangle ABC$. \textit{No importa cu\'ales sean las medidas de los \'angulos del tri\'angulo original,} $\triangle ABC$, \textit{el valor de la suma de los \'angulos} $\measuredangle CBE + \measuredangle DBG + \measuredangle ABF$ \textit{es siempre el mismo.} >Es cierta esta afirmaci\'on? Justifica.$ Mensaje modificado por p.j.t el Jul 5 2008, 09:41 PM -------------------- asdf

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2008, 07:34 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P1 pondre la solucion que puse en la prueba $TEX: Por enunciado, $\dfrac25=\dfrac13+\dfrac1{15}$. Notar que: \\ $\begin{aligned} \dfrac35&=\dfrac25 \cdot \dfrac32 \\ &=\dfrac32 \left( \dfrac13 + \dfrac1{15} \right) \\ &= \dfrac32 \cdot \dfrac13 + \dfrac32 \cdot \dfrac1{15} \\ &=\dfrac12 + \dfrac1{10} \end{aligned}$ \\ Luego: \\ $\begin{aligned} \dfrac25+\dfrac35&= \left( \dfrac13+\dfrac1{15} \right) + \left( \dfrac12+\dfrac1{10} \right) \\ 1&= \dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac1{10}+ \dfrac1{15} \end{aligned}$$ ---------------------------------------------------------------------------------- $TEX: $\begin{aligned} 1&=\dfrac12+\dfrac12 \\ &=\dfrac12+\dfrac12 \cdot 1 \\ &=\dfrac12+\dfrac12 \cdot \left(\dfrac23 + \dfrac13 \right) \\ &=\dfrac12+\dfrac12 \cdot \dfrac23+\dfrac12 \cdot \dfrac13 \\ 1&=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac16 \end{aligned}$$ salu2 -------------------- asdf

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