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II OMCS (1991), Argentina

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2006, 07:07 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	2º OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Argentina, 1991 Primera Prueba Problema 1: Sean $TEX: $A, B, C$$ tres puntos no colineales, y $TEX: $E\neq{B}$$ un punto cualquiera, con $TEX: $E\notin\overleftrightarrow{AC}$$ . Construya los paralelógramos $TEX: $ABCD$$ y $TEX: $AECF$$ (ambos en ese orden). Pruebe que $TEX: $\overleftrightarrow{BE}//\overleftrightarrow{DF}$$ Problema 2: Dos personas: $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ , practican el siguiente juego: $TEX: $A$$ comienza eligiendo un natural y luego, cada jugador en su turno, dice un número de acuerdo al reglamento: • Si el último número mencionado fue impar, el jugador suma 7 a ese número • Si el último número mencionado fue par, el jugador lo divide por 2. Gana el jugador que repite el número elegido inicialmente. Encuentre, justificadamente, todos los números que $TEX: $A$$ puede elegir para ganar. Problema 3: Se sabe que el número de soluciones $TEX: $(x, y)\in\mathbb{R}^2$$ del siguiente sistema de ecuaciones es finito. Pruebe que dicho número de soluciones es par. $TEX: $(y^2+6)(x-1)=y(x^2+1)$$ $TEX: $(x^2+6)(y-1)=x(y^2+1)$$ Segunda Prueba Problema 4: En cada casilla de un tablero de $TEX: $3\times{3}$$ hay un botón, que puede estar de color rojo o verde. Si se oprime un botón en el borde del tablero, él y todos sus vecinos cambian de color. Si se oprime el botón central, cambian de color sus ocho vecinos, pero él mantiene su color. Al principio todos los botones están rojos. ¿Es posible, oprimiendo sucesivamente algunos botones, lograr que todas las luces queden verdes? Problema 5: La figura muestra un cuadrado de lado $TEX: $1$$ , que en su interior contiene un cuadrado de lado $TEX: $x < 1$$ y una circunferencia de radio $TEX: $r$$ , que es tangente a dos lados del cuadrado mayor y pasa por un vértice del cuadrado menor. Determine $TEX: $r$$ en función de $TEX: $x$$ . Problema 6: Dado $TEX: $n\in\mathbb{Z}^+$$ , sea $TEX: $f(n)$$ el promedio de sus divisores positivos. $TEX: $(a)$$ Pruebe que $TEX: $\sqrt{n}\le{f(n)}\le\dfrac{n+1}{2}$$ $TEX: $(b)$$ Encuentre todos los $TEX: $n\in\mathbb{Z}^+$$ tales que $TEX: $f(n)=\dfrac{91}{9}$$ Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Aquí, resuelto por Jaime sscc. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Aquí, resuelto por Killua. Observación: la mayoría de estos ejercicios están ya resueltos en el foro, pero este topic va con la intención de ordenar... -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2006, 11:44 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Por fin me salió Francisco $TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P6}}$$ $TEX: \noindent $\boxed{Parte\ 1}$<br /><br />\noindent Primero demostraremos que $\sqrt{n}\le{f(n)}$<br /><br />$$\boxed{Caso\ (i),\ n\acute{u}mero\ par\ de\ divisores}$$<br /><br />\noindent En este caso, definimos:<br /><br />$$n=a_1b_1$$<br />$$n=a_2b_2$$<br />$$\ldots$$<br />$$n=a_kb_k$$$ $TEX: \noindent Donde $a_1, b_1, a_2, b_2,\ldots, a_k, b_k$ son divisores de $n$, por lo tanto $n$ tiene $2k$ divisores.\\<br /><br />\noindent O sea, $f(n)=\dfrac{a_1+b_1+a_2+b_2+\ldots+a_k+b_k}{2k}$$ $TEX: \noindent Ahora, por la desigualdad $AM-GM$, tenemos:<br /><br />$$\sqrt{a_1b_1}\le\dfrac{a_1+b_1}{2}\Longrightarrow{2\sqrt{n}}\le{a_1+b_1}$$<br /><br />\noindent Luego:<br /><br />$$2\sqrt{n}\le{a_2+b_2}$$<br />$$\ldots$$<br />$$2\sqrt{n}\le{a_k+b_k}$$<br /><br />\noindent Sumando las $k$ desigualdades:<br /><br />$$2k\sqrt{n}\le{a_1+b_1+a_2+b_2+\ldots+a_k+b_k}$$<br />$$\sqrt{n}\le\dfrac{a_1+b_1+a_2+b_2+\ldots+a_k+b_k}{2k}$$<br /><br />\noindent O sea $\sqrt{n}\le{f(n)}$$ $TEX: $$\boxed{Caso\ (ii), n\acute{u}mero\ impar\ de\ divisores}$$<br /><br />\noindent Que tenga un n\'umero impar de divisores significa que es cuadrado perfecto, ya que su ra\'iz cuadrada se multiplica por s\'i misma. El divisor que queda en este caso es $\sqrt{n}$, por lo tanto $n$ tiene $2m+1$ divisores. O sea:<br /><br />$$f(n)=\dfrac{a_1+b_1+\ldots+a_m+b_m+\sqrt{n}}{2m+1}$$<br /><br />\noindent Anteriormente hab\'iamos probado que:<br /><br />$$2m\sqrt{n}\le{a_1+b_1+a_2+b_2+\ldots+a_m+b_m}$$<br /><br />\noindent As\'i:<br /><br />$$\sqrt{n}+2m\sqrt{n}\le{a_1+b_1+a_2+b_2+\ldots+a_m+b_m}+\sqrt{n}$$<br />$$(2m+1)(\sqrt{n})\le{a_1+b_1+a_2+b_2+\ldots+a_m+b_m}+\sqrt{n}$$<br />$$\sqrt{n}\le\dfrac{a_1+b_1+\ldots+a_m+b_m+\sqrt{n}}{2m+1}$$<br /><br />\noindent O sea $\sqrt{n}\le{f(n)}$$ $TEX: \noindent $\boxed{Ahora\ probaremos\ que\ f(n)\le\dfrac{n+1}{2}}$<br /><br />\noindent $\boxed{Caso\ (i)',\ n\acute{u}mero\ par\ de\ divisores}$<br /><br />\noindent Debemos probar que:<br /><br />$$\dfrac{a_1+b_1+\ldots+a_k+b_k}{2k}\le\dfrac{n+1}{2}$$<br />$${a_1+b_1+\ldots+a_k+b_k}\le{k(n+1)}$$<br /><br />\noindent Al lado izquierdo tenemos $k$ sumas $a_i+b_i$ $(i\le{k})$, o sea, nos bastar\'a probar que $a_i+b_i\le{n+1}$, para probar lo pedido. Sabemos que $n=a_ib_i$ y:<br /><br />$$0\le{(a_i-1)}(b_i-1)$$<br />$$0\le a_ib_i-a_i-b_i+1$$<br />$$a_i+b_i\le{a_ib_i+1}$$<br />$$a_i+b_i\le{n+1}$$<br /><br />\noindent Probando as\'i lo pedido$ $TEX: \noindent $\boxed{Caso\ (ii)'',\ n\acute{u}mero\ impar\ de\ divisores}$<br /><br />\noindent Ahora debemos probar que $\dfrac{a_1+b_1+\ldots+a_m+b_m+\sqrt{n}}{2m+1}\le\dfrac{n+1}{2}$.$ $TEX: \noindent O sea:<br /><br />$$2(a_1+b_1+\ldots+a_m+b_m+\sqrt{n})\le(n+1)(2m+1)$$<br />$$2(a_1+b_1+\ldots+a_m+b_m+\sqrt{n})\le{2m}(n+1)+n+1$$<br /><br />\noindent Pero hemos probado que $\dfrac{a_1+b_1+\ldots+a_m+b_m}{2m}\le\dfrac{n+1}{2}$, que es lo mismo que:<br /><br />$$2(a_1+b_1+\ldots+a_m+b_m)\le{2m(n+1)}$$<br /><br />\noindent Entonces nos bastar\'a probar que $\boxed{2\sqrt{n}\le{n+1}\Leftrightarrow\sqrt{n}\le\dfrac{n+1}{2}}$ lo que es cierto por $AM-GM$.$ $TEX: $\boxed{Parte\ 2}$$ $TEX: \noindent Ya probamos que $\sqrt{n}\le{f(n)}$, o sea $\sqrt{n}\le\dfrac{91}{9}$. Como $\dfrac{91}{9}=10,\overline{1}$, y adem\'as $\sqrt{102}<{10,\overline{1}}<\sqrt{103}$, $n$ puede tomar valores desde $1$ hasta $102$$ $TEX: \noindent La cantidad de divisores de un n\'umero $k$ cuya factorizaci\'on prima es $k=p_1^{{\alpha}_1}\cdot{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_m}^{\alpha_m}$ est\'a dada por $(\alpha_1+1)\cdot(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_m+1)$$ $TEX: \noindent Como el denominador de la fracci\'on es $9$, entonces $n$ tiene $9$ o un m\'ultiplo de $9$ divisores. Por lo tanto $n=a^2s^2=(as)^2$ o bien $n=f^8$ (donde $a,s,f$ son primos). El menor valor de $f^8$ es $2^8=256$, por lo tanto este caso se descarta. Si tomamos $(as)^2$, el menor valor es $(3\cdot{2})^2=36$, y $\boxed{f(36)=\dfrac{1+2+3+4+6+9+12+18+36}{9}=\dfrac{91}{9}}$\\<br /><br />\noindent El siguiente valor de $(as)^2=(2\cdot{5})^2=100$, pero $f(100)=\dfrac{271}{9}$. Ahora $(2\cdot{7})^2=196$ se descarta, y $(3\cdot{5})^2=225$ tambi\'en. Por lo tanto no hay m\'as n\'umeros menores a $103$ con $9$ divisores.$ $TEX: \noindent Probemos con $18$ divisores, a continuaci\'on se pondr\'an todas las posibles combinaciones que multiplicadas den $18$ y entre $[ ]$ estar\'a el menor valor con esa combinaci\'on.<br /><br />$$18=1\cdot{18}\Rightarrow[2^{17}=131072]$$<br />$$18=2\cdot{9}\Rightarrow[2^{8}\cdot{3}=768]$$<br />$$18=6\cdot{3}\Rightarrow[2^{5}\cdot{3}^2=288]$$<br />$$18=2\cdot{3}\cdot{3}\Rightarrow[2^{2}\cdot{3}^2\cdot{5}=180]$$<br /><br />\noindent Ninguno de ellos es menor que $103$, y dado que es obvio que los n\'umeros que tienen $27$ divisores son mucho mayores, el \'unico valor de $n$ que satisface lo del enunciado es $36$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Jaime sscc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2006, 09:16 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 167 Registrado: 17-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 38 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 3: $TEX: \noindent$\displaystyle (y^2+6)(x-1) = y(x^2+1) \\<br />(x^2+6)(y-1) = x(y^2+1) $$ Notamos, primeramente que cuando $TEX: $x \ne y$$ existe la solucion $TEX: $(x,y)$$ y tambien la solucion $TEX: $(y,x)$$ por ende siempre tendremos una cantidad par de soluciones en estas circunstancias. Analizando el caso $TEX: $x=y$$ $TEX: \noindent$\displaystyle (x^2+6)(x-1) = x(x^2+1) \\<br />x^3-x^2+6x-6=x^3+x \\<br />-x^2+5x-6=0 \\<br />x^2-5x+6=0 \\<br />(x-2)(x-3)=0 $$ Luego llegamos a dos factores, tales qeu su multiplicacion es $TEX: $0$$ , por ende, almenos uno de ellos debe ser igual a $TEX: $0$$ , con lo que concluimos que las soluciones cuando $TEX: $x=y$$ son $TEX: $(3,3)$$ y $TEX: $(2,2)$$ , con lo cual tenemos un numero par de soluciones en este caso. Finalemente, como obtuvimos un numero par de soluciones en ambos casos, concluimos que el numero de soluciones es par. salu2 --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2006, 02:55 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución del problema 3 está impecable, sólo queda felicitar a Jaime sscc por conseguir una muy buena redacción de la solución del problema. En cuanto a la solución del problema 6, prefiero hacer algunos comentarios adicionales... Por lo menos desde mi punto de vista, yo sé que la parte 1 tiene una solución bastante más corta de lo que tú hiciste. Entonces, al ver una solución tan larga, creo que es mejor resumirla antes de empezar a revisarla. Te sugiero que busques una solución más corta para esa parte Una ayuda sería encontrar una fórmula para el producto de todos los divisores de un número $TEX: $n$$ , en términos de $TEX: $n$$ y de la cantidad de divisores de $TEX: $n$$ . Sugiero que eso lo hagas aparte, antes de comenzar la demostración. O, simplemente, lo asumes como conocido. Sobre la segunda parte, tengo sospechas mucho mayores, porque de $TEX: $\sqrt n\le\dfrac{91}9$$ concluiste inmediatamente que $TEX: $\sqrt n\le10$$ . Y después de eso, me ha quedado la impresión que asumiste que $TEX: $n$$ es cuadrado perfecto. Por lo menos, ese es el trato que diste a $TEX: $n$$ , y nunca diste un buen argumento para excluir a aquellos valores de $TEX: $n$$ que no son cuadrados perfectos. Así que la idea aquí es revisar tus propios argumentos. Mensaje modificado por Francisco Muñoz el Sep 15 2006, 12:34 AM -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2006, 11:25 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Sep 14 2006, 03:55 PM) La solución del problema 3 está impecable, sólo queda felicitar a Jaime sscc por conseguir una muy buena redacción de la solución del problema. En cuanto a la solución del problema 6, prefiero hacer algunos comentarios adicionales... Por lo menos desde mi punto de vista, yo sé que la parte 1 tiene una solución bastante más corta de lo que tú hiciste. Entonces, al ver una solución tan larga, creo que es mejor resumirla antes de empezar a revisarla. Te sugiero que busques una solución más corta para esa parte Una ayuda sería encontrar una fórmula para el producto de todos los divisores de un número $TEX: $n$$ , en términos de $TEX: $n$$ y de la cantidad de divisores de $TEX: $n$$ . Sugiero que eso lo hagas aparte, antes de comenzar la demostración. O, simplemente, lo asumes como conocido. Sobre la segunda parte, tengo sospechas mucho mayores, porque de $TEX: $\sqrt n\le\dfrac{91}9$$ concluiste inmediatamente que $TEX: $\sqrt n\le10$$ . Y después de eso, me ha quedado la impresión que asumiste que $TEX: $n$$ es cuadrado perfecto. Por lo menos, ese es el trato que diste a $TEX: $n$$ , y nunca diste un buen argumento para excluir a aquellos valores de $TEX: $n$$ que no son cuadrados perfectos. Así que la idea aquí es revisar tus propios argumentos. Me comprometo a mañana terminar la parte 2. En la parte 1 tendría que buscar una solución más corta, pero igual la que está ahí es correcta (pregúntenle a Francisco? ) Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 15 2006, 01:08 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Mucho tiempo despues de haberla posteado, cumplo con mi promesa de revisar la solucion. Concuerdo con Sebastian que esta demasiado larga y que varios puntos se pueden omitir. por ejemplo no es necesario hacer distincion entre primos y compuestos, bastaba separar entre cuadrados perfectos y el resto. Incluso ambos casos se podrian haber encasillados conjuntamente con otra redaccion. Pero a pesar de todo aquello la respuesta de la parte 1 esta correcta. Me costo su poco darme las ganas de leer , pero con unos detalles que se modificaron para hacerla mas amigable, todo quedo bien. A pesar de estar larga, esta correcta. Sobre la parte 2, habria que aclarar bien por que no puede ser n otro multiplo de 9 , que no sea 9. y en vez de trabajar con los cuadrados perfectos, mejor con los numeros que tengan 9 divisores. Sebatian tiene razon que debes argumentar bien porque eliminas los otros casos, no esta mal encaminada la solucion. salvo detalles. Francisco Muñoz Espinoza -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 15 2006, 11:14 PM Publicado: #7
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Parte 2 del P6 ahora editada, espero que esté bien Salu -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2008, 05:47 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Guía Rojo @ Apr 19 2006, 10:07 PM) Problema 5: La figura muestra un cuadrado de lado $TEX: $1$$ , que en su interior contiene un cuadrado de lado $TEX: $x < 1$$ y una circunferencia de radio $TEX: $r$$ , que es tangente a dos lados del cuadrado mayor y pasa por un vértice del cuadrado menor. Determine $TEX: $r$$ en función de $TEX: $x$$ . p5.PNG ( 3.3k ) Número de descargas: 1 $TEX: Notemos que la diagonal del cuadrado grande, esta compuesta por la diagonal del cuadrado de lado $x$, el radio $r$, y la diagonal de un cuadrado de lado $r$. Luego, esto puede ser escrito como: $$\sqrt2=x\sqrt2+r+r\sqrt2$$ Si desarrollamos tenemos:\\ $\begin{aligned} \sqrt2&=x\sqrt2+r+r\sqrt2 \\ \sqrt2-x\sqrt2&=r+r\sqrt2 \\ \sqrt2 \cdot (1-x)&= r(\sqrt2+1) \Big/ \cdot (\sqrt2-1) \\ \sqrt2 \cdot (1-x)(\sqrt2-1)&=r(\sqrt2+1)(\sqrt2-1) \\ \sqrt2 \cdot (1-x)(\sqrt2-1)&=r \end{aligned}$ \\ Es decir, \boxed{\sqrt2 \cdot (1-x)(\sqrt2-1)=r}$ Saludos -------------------- asdf

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2008, 11:37 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Con respecto al P6, si el numero de divisores del $TEX: $n$$ que queremos hallar es 9, entonces $TEX: $n$$ es cuadrado perfecto, porque los cuadrados perfectos tienen un numero impar de divisores, asi que killua no estaba tan mal al asumir que era cuadrado perfecto, pero faltaba una demostracion de estes hecho. no ckero postearla x cke no tengo tiempo. Saludos -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2008, 01:29 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(makmat @ Sep 14 2008, 02:27 AM) Con respecto al P6, si el numero de divisores del $TEX: $n$$ que queremos hallar es 9, entonces $TEX: $n$$ es cuadrado perfecto, porque los cuadrados perfectos tienen un numero impar de divisores, asi que killua no estaba tan mal al asumir que era cuadrado perfecto, pero faltaba una demostracion de estes hecho. no ckero postearla x cke no tengo tiempo. Saludos Para eso es util definir $TEX: $\tau(n)$$ como la cantidad de los divisores de n. Es conocido que $TEX: $\tau(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)$$ donde $TEX: $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}$$ (la factorizacion en primos de n). De donde se sigue $TEX: $\tau(n)$$ impar si y solo si cada $TEX: $\alpha_i$$ es necesariamente par (si fuese impar le sumariamos 1 y quedaria par, entonces t(n) quedaria siempre par), y esto a su vez quiere decir que n cuadrado perfecto (porque $TEX: $\sqrt{n}$$ queda entera [ $TEX: $(a^h)^2=a^{2h}$$ ]).

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