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I OMCS (1988), Uruguay

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2007, 10:55 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Para la pregunta 1, la solución dada por 2+2=4 tiene algunos errores de tipeo (pone $TEX: $a^2$ y $b^2$$ donde debieran ir $TEX: $a^4$ y $b^4$$ , pero después aparece arreglado, y en el planteamiento por Pitágoras para las alturas están invertidas las restas dentro de las raíces) pero el desarrollo en general está correcto. Las otras soluciones dadas están correctas. Para la pregunta 2, ambas soluciones correctas. Para la pregunta 3, también ambas correctas. Para la prgunta 4, la solución de Corecrasher es correcta , pero la de =3fR4= no considera los divisores 1 y 1111 y tiene algunos errores de tipeo en las desigualdades. Para la pregunta 5, la solución es correcta Saludos -------------------- $TEX: $CARITA$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2009, 11:06 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Todavía falta una solución para el problema 6. Considerando que la solución al problema 5 (dada por Corecrasher) usa el hecho que ABCD es un cuadrado, propongo dos problemas adicionales. Problema 3': Considere la función f con las propiedades del problema 3. Pruebe que f(n)=0 para todo n no divisible por 5. Problema 5': Resuelva el problema 5, considerando ABCD como un rectángulo Eso sería todo. Coleccionemos muchas soluciones para el problema 5' (PD: creo que la idea del problema 5' ya está en otro tema por ahí. Pueden dar el link) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2012, 04:20 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La "extensión" hecha por Sebastian aparece en el Challenging roblems in Geometry, no es difícil de demostrar. Si quieren otra variante, como es de un lado a las diagonales, consideren las distancias desde un punto P en la base de un triángulo isósceles no rectángulo... también es sencillo (es casi lo mismo de todas formas ). Hint: forme un paralelógramo. Aquí dos soluciones para el problema 1 Saludos. -------------------- Me voy, me jui.

efp Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2014, 10:59 PM Publicado: #14
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 34 Registrado: 21-January 10 Desde: Mexico Miembro Nº: 65.274 Nacionalidad: Sexo:	Problema 6: Demuestre que si se reducen las dimensiones de un ladrillo no se puede obtener otro que tenga, al mismo tiempo, la mitad del volumen y la mitad de la superficie del primero. $TEX: <br /> {\rm{Sean }}$x,y,z${\rm{ las dimensiones de un ladrillo cualquiera, entonces tenemos que:}} \\ <br /> {\rm{Volumen: }}${V_1} = xyz$ \\ <br /> {\rm{Area Superficial: }}${A_1} = 2(xy + xz + yz)$ \\ <br /> \\ <br /> {\rm{Si reducimos sus dimensiones en }}$a,b,c${\rm{ donde 0}}$ \le a < x${\rm{, 0}}$ \le b < y,${\rm{ 0}}$ \le c < z${\rm{ }} \\ <br /> {\rm{y ademas }}$a,b,c${\rm{ no pueden ser simultaneamente 0 tenemos que:}} \\ <br /> ${V_2} = {\rm{(}}x - a{\rm{)(}}y - b{\rm{)(}}z - c{\rm{) }} \\ <br /> {A_2} = 2\left[ {(x - a)(y - b) + (x - a)(z - c) + (y - b)(z - c)} \right] \\ <br /> \\$<br /> {\rm{Las condiciones del problema son que:}} \\ <br /> (1){\rm{ }}${V_2} = \frac{1}{2}{V_1}$ \\<br /> (2){\rm{ }}${A_2} = \frac{1}{2}{A_1}$ \\<br /> \\ <br /> {\rm{De (1) tenemos que:}} \\ <br /> {\rm{(}}$x - a${\rm{)(}}$y - b${\rm{)(}}$z - c${\rm{)}} $= \frac{1}{2}xyz \\<br /> \Rightarrow \left( {1 - \frac{a}{x}} \right)\left( {1 - \frac{b}{y}} \right)\left( {1 - \frac{c}{z}} \right)xyz = \frac{1}{2}xyz \\ <br /> \Rightarrow \left( {1 - \frac{a}{x}} \right)\left( {1 - \frac{b}{y}} \right)\left( {1 - \frac{c}{z}} \right) = \frac{1}{2} \\ $<br /> \\ <br /> {\rm{Igualmente de (2) tenemos:}}$ \\ <br /> 2\left[ {(x - a)(y - b) + (x - a)(z - c) + (y - b)(z - c)} \right] = \frac{1}{2}\left( {2(xy + xz + yz)} \right) \\ <br /> \Rightarrow 2\left[ {\left( {1 - \frac{a}{x}} \right)\left( {1 - \frac{b}{y}} \right)xy + \left( {1 - \frac{a}{x}} \right)\left( {1 - \frac{c}{z}} \right)xz + \left( {1 - \frac{b}{y}} \right)\left( {1 - \frac{c}{z}} \right)yz} \right] = xy + xz + yz \\ <br /> \Rightarrow 2\left[ {\dfrac{{xy}}{{2\left( {1 - \dfrac{c}{z}} \right)}} + \dfrac{{xz}}{{2\left( {1 - \dfrac{b}{y}} \right)}} + \dfrac{{yz}}{{2\left( {1 - \dfrac{a}{x}} \right)}}} \right] = xy + xz + yz$\\{\rm{ (Usando la igualdad que obtuvimos antes)}} \\ \\<br />$ \Rightarrow \dfrac{{xy}}{{\left( {1 - \dfrac{c}{z}} \right)}} + \dfrac{{xz}}{{\left( {1 - \dfrac{b}{y}} \right)}} + \dfrac{{yz}}{{\left( {1 - \dfrac{a}{x}} \right)}} = xy + xz + yz \\ <br /> \\ <br /> ${\rm{Esta igualdad solo es cierta para }}$a = b = c = 0$,{\rm{ pero }}$a,b,c${\rm{ no pueden ser simultaneamente 0}} \\ <br /> {\rm{Por lo tanto }}$\not \exists a,b,c${\rm{ que cumplan las condiciones del problema}} \\ <br />$ -------------------- La Perfecta Fluctuación del Universo "The secret side of me I never let you see I keep it caged But I can't control it So stay away from me The beast is ugly I feel the rage And I just can't hold it It's scratching on the walls In the closet, in the halls It comes awake And I can't control it Hiding under the bed In my body, in my head Why won't somebody come and save me from this? Make it end! I feel it deep within, It's just beneath the skin I must confess that I Feel like a monster I hate what I've become The nightmare's just begun I must confess that I Feel like a monster I feel like a monster My secret side I keep Hid under lock and key I keep it caged But I can't control it Cause if I let him out He'll tear me up And break me down Why won't somebody come and save me from this? Make it end! I feel it deep within, It's just beneath the skin I must confess that I Feel like a monster I hate what I've become The nightmare's just begun I must confess that I Feel like a monster I feel like a monster It's hiding in the dark It's teeth are razor sharp There's no escape for me It wants my soul, It wants my heart No one can hear me scream Maybe it's just a dream Or maybe it's inside of me Stop this monster! I feel it deep within, It's just beneath the skin I must confess that I Feel like a monster I hate what I've become The nightmare's just begun I must confess that I Feel like a monster I feel like a monster"

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2014, 12:11 PM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P5 consideremos un rectángulo ABCD con $TEX: $\|AB\|=y$$ , y además $TEX: $\|BC\|=x$$ : djdsjh.png ( 3.87k ) Número de descargas: 0 sea E el pie de la altura desde P hasta la diagonal AC y sea F el pie de la altura desde P hasta la diagonal BD, es un hecho que: $TEX: $\triangle{ABC}\sim \triangle{PCE}\sim \triangle{PBF}$$ si $TEX: $\|AC\|=d$$ , $TEX: $\|PC\|=a$$ y por tanto $TEX: $\|PB\|=x-a$$ aplicando la semejanza, se obtiene: $TEX: $\|PE\|=\dfrac{ax}{d}$$ y $TEX: $\|PF\|=\dfrac{x(x-a)}{d}$$ sumando.. $TEX: $\|PE\|+\|PF\|=\dfrac{ax}{d}+\dfrac{x(x-a)}{d}=\dfrac{x^{2}}{d}$$ como $TEX: $x$$ es un lado del rectángulo y $TEX: $d$$ es la diagonal del mismo, son fijos, por tanto la suma anterior es constante. --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2015, 09:04 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P5' Sea P sobre BC. Reflejemos el rectángulo sobre BC. Ahora, si llamamos E al pie del punto sobre CA, tenemos que ECB y E'CB son congruentes. Entonces, el problema es equivalente a demostrar que un paralelogramo tiene altura constante. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2016, 02:20 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P6 $TEX: Sean $A$, $B$, $C$ las aristas del ladrillo, sean $a$, $b$, $c$ las nuevas aristas del ladrillo, respectivamente, entonces vemos que $A>a\Rightarrow \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{A}$. Análogamente, $\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{B}$ y $\dfrac{1}{c}>\dfrac{1}{C}$, sumando tenemos que $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}$ $(1)$. Por las condiciones del problema, se tiene que $$2abc=ABC \ ; \ \ AB+BC+AC=2(ab+bc+ac)$$ De la segunda condición se tiene que $$\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}=\dfrac{2(ab+bc+ac)}{ABC}$$ Combinando con la primera condición obtenemos que $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}$$ Contradicción con $(1)$, luego es imposible que se satisfagan esas dos condiciones en simultáneo $\blacksquare$$ --------------------

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