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I OMCS (1988), Uruguay

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2006, 05:40 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	1ª OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Uruguay, 1988 Primera Prueba Problema 1: Dos triángulos isósceles cuyos lados miden $TEX: $x$$ , $TEX: $x$$ , $TEX: $a$$ y $TEX: $x$$ , $TEX: $x$$ , $TEX: $b$$ , respectivamente, tienen áreas iguales. Además, $TEX: $a\not= b$$ Encuentre $TEX: $x$$ Problema 2: Calcule la suma: $TEX: $1+11+111+\ldots +111\ldots 111$$ que tiene $TEX: $n$$ sumandos. Problema 3: Se dice que un número $TEX: $p$$ es perfecto si la suma de sus divisores, exceptuando el mismo $TEX: $p$$ , da como resultado $TEX: $p$$ . Sea $TEX: $f$$ una función tal que: • $TEX: $f(n)=0\ $$ si $TEX: $n$$ es perfecto • $TEX: $f(n)=0\ $$ si el dígito de las unidades de $TEX: $n$$ es 4 • $TEX: $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$$ Calcule $TEX: $f(1988)$$ Segunda Prueba Problema 4: Considere un número $TEX: $n$$ de cuatro dígitos, cuadrado perfecto, tal que todos sus dígitos sean menores que $TEX: $6$$ . Si a cada dígito se le suma $TEX: $1$$ , el número resultante es otro cuadrado perfecto. Calcule $TEX: $n$$ Problema 5: En un cuadrado $TEX: $ABCD$$ se consideran las diagonales $TEX: $AC$$ y $TEX: $BD$$ . Sea $TEX: $P$$ un punto cualquiera situado en uno de los lados. Demuestre que la suma de las distancias de $TEX: $P$$ a ambas diagonales es constante. Problema 6: Demuestre que si se reducen las dimensiones de un ladrillo no se puede obtener otro que tenga, al mismo tiempo, la mitad del volumen y la mitad de la superficie del primero. Resumen de soluciones Problema 1: Aquí, resuelto por 2+2=4; Aquí, resuelto por Corecrasher; Aquí, resuelto por zirou. Problema 2: Aquí, resuelto por 2+2=4; Aquí, resuelto por Corecrasher. Problema 3: Aquí, resuelto por Corecrasher; Aquí, resuelto por =3fR4=. Problema 4: Aquí, resuelto por Corecrasher. Problema 5: Aquí, resuelto por Corecrasher. Problema 6: Pendiente de solución. Observación: la mayoría de los ejercicios de esta prueba ya han sido resueltos en este foro... ... pero el topic va con la intención de ordenar los ejercicios de la prueba de ese año... -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2006, 08:07 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Me parecieron interesantes los ejercicios... espero que no haya problemas en que responda los 2 primeros, anque ya están respondidos en alguna parte del foro... Problema 1 $TEX: <br />\noindent Tenemos 2 $\triangle$ isoceles de lados $x,\ x,\ a$ y $x,\ x,\ b$ respectivamente, y cada uno de una \'area $A_{\triangle}$, por lo tanto en el tri\'angulo de base a tiene un \'area: \\ <br />\\ <br />$A_{\triangle}= \displaystyle \frac{base \cdot altura}{2}$ \\<br />\\ <br />$A_{\triangle}=\displaystyle \frac{a \cdot altura}{2}$ \\<br />\\ <br />$A_{\triangle}= \displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{\frac{a^2}{4}-x^2}}{2}$ \\<br />\\<br />Recordar que la altura en un tri\'angulo isoceles, la altura esta dada por pit\'agoras $x^2=h^2+(\frac{base}{2})^2$ \\<br />\\ <br />Analogamente para la base $b$ se tiene: \\<br />\\<br />$A_{\triangle}= \displaystyle \frac{b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{4}-x^2}}{2}$ \\<br />\\<br />Igualando y despejando $x$: \\<br />\\<br />$\displaystyle \frac{a \cdot \sqrt{\frac{a^2}{4}-x^2}}{2}= \displaystyle \frac{b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{4}-x^2}}{2}$ \\<br />\\<br />$\displaystyle a \cdot \sqrt{\frac{a^2}{4}-x^2}= \displaystyle b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{4}-x^2}$ \\<br />\\<br />$\displaystyle a^2 \cdot \left(\frac{a^2}{4}-x^2 \right)= \displaystyle b^2 \cdot \left(\frac{b^2}{4}-x^2 \right)$ \\<br />\\<br />$-a^2x^2+b^2x^2= \displaystyle -\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$ \\<br />\\<br />$x^2=\displaystyle \frac{a^4-b^4}{4(a^2-b^2)}$ \\<br />\\<br />$x^2= \displaystyle \frac{(a^2+b^2)}{4}$ \\<br />\\<br />$x= \displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ \\<br />$ Problema 2 $TEX: \noindent Todo n\'umero de la forma $\underbrace{111...111}_{n\ veces}$ se escribe: \\<br />\\<br />$\displaystyle \frac{10^n - 1}{9}, \ n \in \mathbb{N}$ \\<br />\\<br />De modo que: \\<br />\\<br />$1+11+111+\ldots+111 \ldots 111$ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \frac{10^1- 1}{9}+\frac{10^2 - 1}{9}+\frac{10^3 - 1}{9}+ \ldots +\frac{10^n - 1}{9}$ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \frac{10^1-1+10^2-1+10^3-1+ \ldots + 10^n-1}{9}$ \\<br />\\<br />donde hay n veces la suma de potencias de $10$ y $n$ veces $-1$ \\<br />\\<br />Luego; \\<br />\\<br />$=\displaystyle \frac{(10^1+10^2+10^3+ \ldots + 10^n)-n}{9}$ \\<br />\\<br />Ahora tenemos un n\'umero de la forma $111 \ldots 1110$ donde es lo mismo que $111 \ldots 111 \cdot 10$ \\<br />\\<br />Entonces; \\<br />\\<br />$=\displaystyle \frac{(\frac{(10^n-1)10}{9})-n}{9}$ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \frac{(\frac{(10^{n+1}-10}{9})-n}{9}$ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \frac{10^{n+1}-9n-10}{81}$ \\<br />$ --------------------

Corecrasher	Apr 21 2006, 10:04 PM Publicado: #3
Invitado	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{p3}}$$ Por la condicion $TEX: $2$$ tenemos $TEX: $f(4)=0$$ , pero por la condicion $TEX: $3$$ , $TEX: $f(4)=f(2 \cdot 2)=f(2)+f(2)=2f(2)=0 \Rightarrow f(2)=0$$ , analogamente por la condicion $TEX: $2$$ , $TEX: $f(994)=0$$ , para finalizar notemos que $TEX: $f(1988)=f(2 \cdot 994)=f(2)+f(994)=0$$ .

Corecrasher	Apr 21 2006, 10:06 PM Publicado: #4
Invitado	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{p4}}$$ Sea $TEX: $x^2=10^3a+10^2b+10c+d$$ , el numero del enunciado con $TEX: $a,b,c,d < 6$$ ; le sumamos $TEX: 1$ a cada digito de $TEX: $x^2$$ y resulta otro cuadrado , osea $TEX: $x^2+1111=y^2$$ , luego $TEX: $(y+x)(y-x)=1111$$ , notemos que $TEX: $y+x>y-x$$ y que los divisores de $TEX: $1111=\{1,11,101,1111\}$$ , luego tenemos $TEX: $2$$ sistemas de ecuaciones: $TEX: \begin{tabular}{ccccc\|}<br />$y$ & + & $x$ & = & $1111$ \\<br />$y$ & - & $x$ & = & $1$ \\ \hline<br />\end{tabular}$ $TEX: $\Rightarrow y=556 \Rightarrow x^2=556^2=308025$$ $TEX: \begin{tabular}{ccccc\|}<br />$y$ & + & $x$ & = & $101$ \\<br />$y$ & - & $x$ & = & $11$ \\ \hline<br />\end{tabular}$ $TEX: $\Rightarrow y=56 \Rightarrow x^2=45^2=2025$$ En el primer sistema vemos que $TEX: $x^2$$ tiene mas de $TEX: $4$$ digitos , lo cual no es permitido , por lo tanto el numero que cumple el enunciado es $TEX: $2025$$ .

Corecrasher	Apr 21 2006, 10:07 PM Publicado: #5
Invitado	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{p2}}$$ Notemos que $TEX: $10^n$$ tiene $TEX: $n$$ ceros , luego $TEX: $10^n-1$$ tiene $TEX: $n$$ nueves , entonces $TEX: $\frac{10^n-1}{9}$$ tiene $TEX: $n$$ unos. Ahora la suma del enunciado podemos representarla asi: $TEX: $\displaystyle1+11+...+11...11=\frac{10^1-1}{9}+\frac{10^2-1}{9}+...+\frac{10^n-1}{9}=\frac{10^1+...+10^n-n}{9}$$ Recordemos la siguiente sumatoria $TEX: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x^i = \displaystyle\frac{x(x^n-1)}{x-1}$$ Demostracion: $TEX: $\mathcal{P}=x+x^2+...+x^n$$ $TEX: $x\mathcal{P}=x^2+x^3+...+x^{n+1}$$ $TEX: $x\mathcal{P}-\mathcal{P}=x^{n+1}-x=x(x^n-1)$$ $TEX: $\mathcal{P}(x-1)=x(x^n-1) \Rightarrow \mathcal{P}=\frac{x(x^n-1)}{x-1}$$ Retomando: $TEX: $\displaystyle\frac{10^1+...+10^n-n}{9}=\frac{\frac{10(10^n-1)}{9}-n}{9}$$

Corecrasher	Apr 21 2006, 10:08 PM Publicado: #6
Invitado	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{p5}}$$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img348.imageshack.us/img348/4624/fig2yr.png');}" /> Sea $TEX: $ABCD$$ el cuadrado del enunciado , tal que las diagonales se cortan en $TEX: $M$$ , sea $TEX: $P$$ sobre $TEX: $CD$$ y $TEX: $PE$$ , $TEX: $PF$$ las perpendiculares lanzadas desde $TEX: $P$$ a las diagonales del cuadrado. Demostraremos que $TEX: $DE=PE=MF$$ . Notemos que $TEX: $\angle EDP=\angle EPD=45 \Rightarrow DE=PE$$ , notemos que $TEX: $EMFP$$ es un rectangulo , entonces $TEX: $EP=MF$$ . A fin de cuentas tenemos $TEX: $DE=PE=MF$$ , analogamente $TEX: $CF=PF=ME$$ , luego $TEX: $PE+PF=MF+FC=MC$$ , entonces la suma de las distancias de $TEX: $P$$ a las diagonales es igual a la mitad de la diagonal del cuadrado , osea constante.

Corecrasher	Apr 21 2006, 10:09 PM Publicado: #7
Invitado	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{p1}}$$ Tenemos $TEX: $2 \triangle$$ isoceles con lados del encunaciado , desde el vertice en donde es isoceles cada triangulo trazamos la altura , por pitagoras no sera dificil notar que las areas son $TEX: $\frac{b\sqrt{x^2-\frac{b^2}{4}}}{2}$$ y $TEX: $\frac{a\sqrt{x^2-\frac{a^2}{4}}}{2}$$ , por enunciado: $TEX: $\displaystyle\frac{a\sqrt{x^2-\frac{a^2}{4}}}{2}=\frac{b\sqrt{x^2-\frac{b^2}{4}}}{2}$$ $TEX: $a\sqrt{x^2-\frac{a^2}{4}}=b\sqrt{x^2-\frac{b^2}{4}}$$ $TEX: $a^2(x^2-\frac{a^2}{4})=b^2(x^2-\frac{b^2}{4})$$ $TEX: $a^2x^2-\frac{a^4}{4}=b^2x^2-\frac{b^4}{4}$$ $TEX: $\displaystyle x^2(a^2-b^2)=\frac{a^4-b^4}{4}$$ $TEX: $\displaystyle x^2=\frac{\frac{a^4-b^4}{4}}{a^2-b^2}$$ $TEX: $\displaystyle x=\sqrt{\frac{\frac{a^4-b^4}{4}}{a^2-b^2}}$$ $TEX: $x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$$ $TEX: $x=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$$

=3fR4= Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2006, 09:48 AM Publicado: #8
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 27 Registrado: 31-October 05 Miembro Nº: 355	P4) Sea n=b^2 , b entero, el numero que se forma es : n+1111=r , pero r=a^2, con a entero -> a^2-b^2=1111 =>(a+b)(a-b)=101*11 Notemos que 1<n<10000 => 1<b<100 , 1<r<10000 => <1a<100 -> 2<a+b<200 => a+b=101 y a-b=11 2b=90 => b=45 , 2a=112=>a=56 luego n=45^2=2025 y r=56^2=3136 n=2025

=3fR4= Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2006, 09:58 AM Publicado: #9
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 27 Registrado: 31-October 05 Miembro Nº: 355	P3) 1988=7*284 D(28)=1,2,4,7,14 => 28 es perfecto => f(28)=0 Pero f(28)=f(4)+f(7) => f(7)=f(28)-f(4) pero f(4)=0 -> f(7)=0 f(1988)=f(7)+f(284) , pero 284 termina en 4 asi que f(284)=f(7)=0 => f(1988)=0

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2007, 09:05 PM Publicado: #10
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent $\boxed{Sp_{1}\ Alternativa}$\\<br />\\<br />Por Heron tenemos que $Area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$\\<br />Siendo a,b,c los lados del $\triangle ABC$ y s el semiperimetro.\\<br />\\<br />Entonces:\\<br />Sea $\triangle 1$ de lados a,x,x\\<br />Sea $\triangle 2$ de lados b,x,x\\<br />\\<br />$s\ \triangle 1=x+\frac{a}{2}$\\<br />$s\ \triangle 2=x+\frac{a}{2}$$ $TEX: \noindent Sabemos por enunciado que:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />Area\ \triangle 1&=Area\ \triangle 2\\<br />\sqrt{s(s-a)(s-x)(s-x)}&=\sqrt{s(s-b)(s-x)(s-x)}\\<br />\sqrt{\left(x+\dfrac{a}{2}\right)\left(x+\dfrac{a}{2}-a\right)\left(\dfrac{a}{2}\right)\left(\dfrac{a}{2}\right)}&=\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2}\right)\left(x+\dfrac{b}{2}-b\right)\left(\dfrac{b}{2}\right)\left(\dfrac{b}{2}\right)}\\<br />\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{(2x+a)(2x-a)}{4}}&=\dfrac{b}{2}\sqrt{\dfrac{(2x+b)(2x-b)}{4}}\\<br />\dfrac{a}{4}\sqrt{(2x+a)(2x-a)}&=\dfrac{b}{4}\sqrt{(2x+b)(2x-b)}\\<br />a\sqrt{(2x+a)(2x-a)}&=b\sqrt{(2x+b)(2x-b)}\\<br />a^2(2x+a)(2x-a)&=b^2(2x+b)(2x-b)\\<br />a^2(4x^2-a^2)&=b^2(4x^2-b^2)\\<br />4a^2x^2-a^4&=4b^2x^2-b^4\\<br />4x^2(a^2-b^2)&=a^4-b^4\\<br />4x^2(a^2-b^2)&=(a^2-b^2)(a^2+b^2)\\<br />4x^2&=a^2+b^2\\<br />x^2&=\dfrac{a^2+b^2}{4}\\<br />x&=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{4}}\\<br />x&=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ Mensaje modificado por zirou el Jan 2 2007, 09:52 PM -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

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