Ecuaciones polinomiales especiales, Lo mínimo que debe saberse Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Algunas ecuaciones polinomiales son bastante sencillas de resolver, otras requieren pequeños trucos que vamos a comentar ahora. Muchas veces no vienen en la forma que vamos a estudiar, sino que requieren una cierta manipulación aritmética. Resolvamos algunas ecuaciones del tipo , suponiendo que el polinomio no es constante.

I - Ecuación Lineal

Uno aprende a resolver esta ecuación en los últimos cursos de enseñana básica (7° y 8°). Con manipulación aritmética tenemos que la solución es

II - Raíces de índice

En los colegios, preuniversitarios, y primer año de algunas carreras universitarias, normalmente se enseña que la raíz de índice del número es el número que soluciona la ecuación . Además de eso, se aclara lo que debemos hacer, según la paridad de

• Si es impar, entonces hay una sola solución real
• Si es par, entonces debe ser . En tal caso, hay dos soluciones reales: una es el inverso aditivo de la otra (ambas coinciden cuando ). Denotamos por a la raíz no negativa.

En el caso que , tenemos un problema al intentar definir la raíz de índice del número , porque la ecuación tiene soluciones complejas, tal vez todas distintas. Eso es lo que vamos a atender ahora.

Escribimos los números en forma polar: . Recordamos que y suponemos conocidas las propiedades básicas de esta notación. Si soluciona la ecuación , entonces:

Pero dos números complejos son iguales cuando tienen el mismo módulo y sus "argumentos" (angulares) difieren por un múltiplo entero de . Esto se escribe de la siguiente forma:

Al final, podía ponerse , pero como la parte angular tiene periodo , entonces al hacer variar en el conjunto se obtienen todas las soluciones, sin repetición.

III - Ecuación Cuadrática

Habitualmente, uno aprende a resolver esta ecuación en 3° medio. Esta la resolveremos con algo más de detalle, es decir: explicaremos todos los pasos aritméticos para ilustrar la técnica de compleación de cuadrados.

Intentamos completar un cuadrado de binomio en el lado izquierdo de la igualdad, para lo cual sumamos

Aquí podemos aplicar lo visto en la parte anterior. Atención especial merece el caso en que , donde conviene definir el discriminante como . Estudiamos los tres casos posibles:

: Entonces la ecuación tiene dos soluciones distintas, complejas conjugadas:

: La ecuación tiene una solución real, de multiplicidad 2:

: La ecuación tiene dos soluciones reales distintas:

IV - Ecuación cúbica

Esta ecuación normalmente no es sencilla de resolver. Este asunto se ve totalmente resuelto por las fórmulas de Cardano (existe una pugna histórica por la autoría del método). Para comenzar, debemos dividir por y a continuación hacer el cambio de variables , obteniendo así una ecuación cúbica sin término cuadrático. Sobre esta nueva ecuación aplicamos dichas fórmulas.

V - Ecuación de grado 4

Podemos hacer consideraciones históricas similares sobre esta ecuación y sobre la ecuación cúbica. Para comenzar a resolverla, se divide por y luego hacemos el cambio de variables , obteniendo así una ecuación de grado 4 sin término cúbico.

VI - Ecuación de grado mayor o igual que 5

Mientras algunos matemáticos buscaban resolver estas ecuaciones, hallando fórmulas para las raíces, en términos de los coeficientes del polinomio, un matemático noruego, N. H. Abel (1802-1829) demostró en 1827 que, en general, eso es imposible por radicales. E. Galois (1811-1832) formuló en 1831 un criterio universal para decidir cuándo era posible, aunque está vinculado con teoría de cuerpos.

VII - Algunas palabras sobre el caso general

Una ecuación polinomial de grado tiene exactamente soluciones complejas, aunque tal vez algunas estén repetidas. Sólo en casos muy especiales es sencillo encontrarlas explícitamente, por ejemplo en términos de los coeficientes. Afortunadamente, en ciertas ocasiones no es necesario conocerlas, sino saber que existen, y que se relacionan entre sí (y con los coeficientes del polinomio), por las fórmulas de Vieta.

A veces se tiene una ecuación polinomial y necesitamos sólo una aproximación de las soluciones reales en un cierto intervalo. Ahí conviene recordar que las funciones polinomiales son continuas e infinitamente derivables, y cada derivada es muy fácil de calcular. Gracias a eso, podemos aprovechar los métodos numéricos para encontrar (aunque sea aproximadamente) todas sus raíces reales.

En ciertos casos, las ecuaciones polinomiales se pueden resolver más fácilmente con ayuda de una sustitución adecuada. Las fórmulas de Cardano, por ejemplo, no pueden ser aplicadas antes de hacer una sustitución, como ya fue explicado. Un ejemplo más sencillo: para algún valor fijo de , la ecuación se puede resolver siguiendo las ideas de los ítemes II y III, haciendo el cambio de variables

Finalmente, no dejo de mencionar que una inspección de las raíces puede solucionar gran parte del problema, al ir factorizando el polinomio que queremos anular.