Cuarto Nivel Individual

Cuarto Nivel Individual, Santiago, etc.

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 01:40 AM Publicado: #1
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Tercera Fecha \ - \ 28 de Junio de 2008 \ - \ Cuarto Nivel$ $TEX: \noindent \textbf{1.} Encontrar todos los pares $(X,Y)$ de números enteros positivos que sean solución del sistema:<br />\begin{eqnarray}<br />XY^X &=& \left( {X + Y} \right)^Y - 1 \hfill \\<br />XY - 1 &=& X + Y \hfill \\ <br />\end{eqnarray}$ $TEX: \noindent \textbf{2.} Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $H_A$, $H_B$, $H_C$ los pies de las alturas de sde $A$, $B$, $C$ respectivamente. Sean $W_A$, $W_B$, $W_C$ los puntos donde las bisectrices interiores cortan a los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Definimos los puntos $A'$, $B'$, $C'$ sobre los lados $BC$, $CA$, $AC$ de manera tal que la recta $AA'$ es la recta simétrica a $AH_A$ respecto de $AW_A$, la recta $BB'$ es la recta simétrica a $BH_B$ respecto de $BW_B$ y la recta $CC'$ es la recta simétrica a $CH_C$ respecto de $CW_C. \\$<br /><br />\noindent Demuestre que $AA'$, $BB'$, $CC'$ pasan por un mismo punto y que éste es el circuncentro del $\triangle ABC$.$ --------------------

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 03:10 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Solucion P2: $TEX: \noindent Lema: al reflejar una altura del $\triangle{ABC}$, respecto a la bisectriz que pasa por el mismo vertice (la altura y la bisectriz provienen del mismo vertice), se obtiene la linea que une tal vertice con el circuncentro del $ABC$.$ $TEX: \noindent Demostracion: demostraremos que al reflejar la recta que une el circuncentro respecto a la bisectriz, obtenemos la altura. Sean $\angle{BAO}=\alpha,\angle{BCO}=\beta$ y $\angle{ACO}=\gamma$. Como $O$ es circuncentro, es decir, $AO=OB$, se tiene que $\angle{ABO}=\alpha$, y como $BH$ es el reflejo de $BU$ respecto de $BW$, tenemos que $\angle{CBH}=\alpha$. Finalmente, mirando los angulos interiores del $ABC$ se deduce que $2\alpha+2\beta+2\gamma=180\Rightarrow \angle{BHC}=180-(\alpha+\beta+\gamma)=90$, es decir, $BH$ es altura, lo que se pedia para el lema.\\<br />La aplicacion del lema al problema es directa, pues entonces $AA'$ y $BB'$ pasan por el circuncentro, luego $CC'$ tambien lo hara, hemos terminado.$ Saludos

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 05:19 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent De la segunda ecuaci\'on obtenemos $$xy-x-y-1=0$$ $$x(y-1)-y-1=0\ \ \ +2$$ $$x(y-1)-y+1=2$$ $$x(y-1)-(y-1)=2$$ $$(x-1)(y-1)=2$$ Como $(x,y)>0$ tenemos que $x-1=2$ e $y-1=1$ de donde obtenemos el par $(x,y)=(3,2)$ y tambi\'en $x-1=1$ e $y-1=2$ de donde obtenemos el par $(x,y)=(2,3)$. De estos $2$ pares, $(x,y)=(3,2)$ es el \'unico que cumple las $2$ ecuaciones.$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 08:28 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Jun 29 2008, 04:00 PM) Solucion P2: $TEX: \noindent Lema: al reflejar una altura del $\triangle{ABC}$, respecto a la bisectriz que pasa por el mismo vertice (la altura y la bisectriz provienen del mismo vertice), se obtiene la linea que une tal vertice con el circuncentro del $ABC$.$ $TEX: \noindent Demostracion: demostraremos que al reflejar la recta que une el circuncentro respecto a la bisectriz, obtenemos la altura. Sean $\angle{BAO}=\alpha,\angle{BCO}=\beta$ y $\angle{ACO}=\gamma$. Como $O$ es circuncentro, es decir, $AO=OB$, se tiene que $\angle{ABO}=\alpha$, y como $BH$ es el reflejo de $BU$ respecto de $BW$, tenemos que $\angle{CBH}=\alpha$. Finalmente, mirando los angulos interiores del $ABC$ se deduce que $2\alpha+2\beta+2\gamma=180\Rightarrow \angle{BHC}=180-(\alpha+\beta+\gamma)=90$, es decir, $BH$ es altura, lo que se pedia para el lema.\\<br />La aplicacion del lema al problema es directa, pues entonces $AA'$ y $BB'$ pasan por el circuncentro, luego $CC'$ tambien lo hara, hemos terminado.$ Saludos VEAN EL LEMA DE LA SOLUCIÓN DEL P5 Saludos

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 08:32 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Luffy @ Jun 29 2008, 09:18 PM) VEAN EL LEMA DE LA SOLUCIÓN DEL P5 Saludos VEAN LA PRIMERA AFIRMACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL P5 Moraleja: apréndaselo xD Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

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