Primer Nivel Individual

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Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2008, 10:38 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	1. Angela y Jorge quieren poner un negocio de venta de chocolates. Por esto compraron $TEX: $60$$ chocolates de la misma marca y los repartieron en partes iguales. Angela decide vender $TEX: $2$$ chocolates en $TEX: $\$1000$$ y Jorge quiere vender $TEX: $3$$ en $TEX: $\$1000$$ . Ellos le piden al buen Germán, amigo de ambos, que venda los chocolates respetando los precios indicados. Germán pensó que si vendía simultáneamente $TEX: $2$$ chocolates en $TEX: $\$1000$$ y $TEX: $3$$ en $TEX: $\$1000$$ nadie compraría los de Angela por ser mas caros. Por esto a Germán se le ocurrio una brillante idea. Si $TEX: $2$$ chocolates valen $TEX: $\$1000$$ y $TEX: $3$$ chocolates valen $TEX: $\$1000$$ entonces cinco cuestan $TEX: $\$2000$$ . Por lo tanto decidió vender $TEX: $5$$ chocolates en $TEX: $\$2000$$ . Y así vendió los $TEX: $60$$ chocolates que Angela y Jorge le confiaron. Al final del día Angela fue en búsqueda de sus $TEX: $\$15000$$ que le correspondían por la venta de sus $TEX: $30$$ chocolates y Jorge sus $TEX: $\$10000$$ . Entonces Germán debía tener en su poder $TEX: $\$25000$$ , pero al contar el dinero se dió cuenta que sólo tenía $TEX: $\$24000$$ . Explique por qué se produce esta diferencia de $TEX: $\$1000$$ . 2. En una paralelógramo $TEX: $ABCD$$ prolongamos $TEX: $AB$$ determinando punto $TEX: $E$$ tal que $TEX: $BE=BC$$ . Analogamente prolongamos $TEX: $AD$$ determinando un punto $TEX: $F$$ tal que $TEX: $DF=DC$$ , como se muestra en la figura. Demostrar que $TEX: $F,C$$ y $TEX: $E$$ son colineales. Saludos

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2008, 11:12 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Ya habia posteado una solucion a este problema, creo que esta en alguna nacional. Esta es la solucion que le di en la prueba (por no poner la otra). Solucion P2: $TEX: \noindent Suponga que la recta que una $F$ con $E$ no pasa por $C$, hay dos casos, a saber:\\<br />i) $C$ queda en distinto semiplano de $A$ respecto a la recta $FE$. Es sabido que $\angle{ADC}=\angle{ABC}$ (angulos opuestos en el paralelogramo). Ahora bien como $DF=DC$, $BC=BE$, se tiene respectivamente que $\angle{DFC}=\angle{DCF}=\alpha$, $\angle{BCE}=\angle{BEC}=\beta$. Es sabido tambien que en un triangulo la suma de dos angulos interiores es igual al suplemento del tercero, de donde $\angle{ADC}=2\alpha=\angle{ABC}=2\beta\Rightarrow \alpha=\beta$(1). Sea $R=FC\cap AB$. Notemos que como $AR//DC\Rightarrow \angle{ARF}=\alpha$. Pero por (1) se tendria que $CE//FR$, absurdo.\\<br />ii) $C$ queda en el mismo semiplano de $A$ respecto a $FE$. El dibujo se los encargo. La contradiccion es analoga a la anterior (llegar a que $\alpha=\beta$, y se tendria que $FC//FE$, absurdo nuevamente). Se concluye de i),ii) que necesariamente $C$ esta contenido en la recta $FE$, osea, $F,C,E$ colineales, lo que se pedia.$ Saludos

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 01:22 AM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Jun 29 2008, 12:03 AM) Ya habia posteado una solucion a este problema, creo que esta en alguna nacional. Esta es la solucion que le di en la prueba (por no poner la otra). Solucion P2: $TEX: \noindent Suponga que la recta que una $F$ con $E$ no pasa por $C$, hay dos casos, a saber:\\<br />i) $C$ queda en distinto semiplano de $A$ respecto a la recta $FE$. Es sabido que $\angle{ADC}=\angle{ABC}$ (angulos opuestos en el paralelogramo). Ahora bien como $DF=DC$, $BC=BE$, se tiene respectivamente que $\angle{DFC}=\angle{DCF}=\alpha$, $\angle{BCE}=\angle{BEC}=\beta$. Es sabido tambien que en un triangulo la suma de dos angulos interiores es igual al suplemento del tercero, de donde $\angle{ADC}=2\alpha=\angle{ABC}=2\beta\Rightarrow \alpha=\beta$(1). Sea $R=FC\cap AB$. Notemos que como $AR//DC\Rightarrow \angle{ARF}=\alpha$. Pero por (1) se tendria que $CE//FR$, absurdo.\\<br />ii) $C$ queda en el mismo semiplano de $A$ respecto a $FE$. El dibujo se los encargo. La contradiccion es analoga a la anterior (llegar a que $\alpha=\beta$, y se tendria que $FC//FE$, absurdo nuevamente). Se concluye de i),ii) que necesariamente $C$ esta contenido en la recta $FE$, osea, $F,C,E$ colineales, lo que se pedia.$ Saludos Creo que te complicaste demasiado (a priori, no he revisado tu solución, es demasiado larga ). Como te dije en el metro, angulitos xD (es cosa de observar los isósceles que se forman y que los ángulos de un paralelógramo son sup...) Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 12:11 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Killua @ Jun 29 2008, 04:12 AM) Creo que te complicaste demasiado (a priori, no he revisado tu solución, es demasiado larga ). Como te dije en el metro, angulitos xD (es cosa de observar los isósceles que se forman y que los ángulos de un paralelógramo son sup...) Saludos. De hecho, en el mismo post anterior dije que ya la habia resuelto en alguna nacional. Hoy encontre el link, eso si, el problema trae su parte b). Aqui esta la prueba. Ah, y eso de la solucion larga, la hice de esa manera porque vi el problema y hubiese sido bien fome si ponia la solucion que ya era conocida, pero por nada me comoplique. Saludos

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2014, 07:27 AM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	H0la Aki alonc Para el p2 los que no entendieron La otra explicación (yo) , para demostrar Que 3 puntos son colieneales deben Encontrar que el ángulo entre las dos rectas que se dibujan entre los mas lejanos y el punto medio es 180 Ahí se los dejo para que lo piensen

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2014, 07:31 AM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Y para el p1 Germán uso sistema de Ecuaciones fallido Ya que los chocolates que vende Uno son distintos a los que vende El otro, no puedes sumar 2 peras y 3 mansanas Pero puedes factorizar 2 peras y 2 manzanas

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