Tercer Nivel Individual

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2008, 08:54 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	1. Sea $TEX: $\triangle{ABC}$$ un triángulo, $TEX: $M$$ el punto medio del segmento $TEX: $BC$$ y $TEX: $N$$ el punto medio del segmento $TEX: $AM$$ . Sea $TEX: $P$$ el punto de intersección de $TEX: $AC$$ y la prolongación de $TEX: $BN$$ . Encuentre la razón $TEX: $\frac{AP}{PC}$$ . 2. Mostrar que $TEX: $P=[2008+\dfrac{2008}{9999}]\cdot{10}^{8028}-\dfrac{2008}{9999}$$ es divisible por $TEX: $73$$ . Salu -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2008, 09:12 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	El primero es un menelao al triangulo ACM wrt BNP, dando ... esta malo xD que onda con menelao xD! Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 28 2008, 09:19 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2008, 09:22 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 29 2008, 12:03 AM) El primero es un menelao al triangulo ACM wrt BNP, dando ... esta malo xD que onda con menelao xD! 1/2

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2008, 09:45 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Weno, hay q puro meterle factorizacion xD $$10^{8028}\left(2008+\frac{2008}{9999}\right)-\frac{2008}{2009}$$ $$10^{8028}\cdot 2008\left(1+\frac{1}{9999}\right)-\frac{2008}{9999}$$ $$2008\cdot 10^{8028}\left(\frac{10^4}{10^4-1}\right)-\frac{2008}{10^4-1}$$ $$\frac{2008\cdot 10^{8032}}{10^4-1}-\frac{2008}{10^4-1}$$ $$2008\left(\frac{10^{8032}-1}{10^4-1}\right)$$ $$2008\left(\frac{(10^4)^{2008}-1}{10^4-1}\right)$$ Usando el hecho que $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$ tenemos que lo anterior equivale a $$2008((10^4)^{2007}+(10^4)^{2006}+\ldots +(10^4)+1)$$ Y notemos algo crucial en este problema: $10^4\equiv -1(mod\ 73)$. Por lo tanto tenemos que lo anterior es equivalente a $$2008(-1+1-1+1\ldots -1+1)\equiv 2008\cdot 0\equiv 0(mod\ 73)$$ con lo que queda demostrado.$ Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 28 2008, 09:46 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2008, 09:47 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Jun 28 2008, 10:13 PM) 1/2 jajajajaja es que no concebia en mi mente un 1/2, pensaba que entonces P vendria siendo el punto medio pero na que ber xDDDDD salu2 perrines -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2008, 11:55 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 28 2008, 09:35 PM) $TEX: Weno, hay q puro meterle factorizacion xD $$10^{8028}\left(2008+\frac{2008}{9999}\right)-\frac{2008}{2009}$$ $$10^{8028}\cdot 2008\left(1+\frac{1}{9999}\right)-\frac{2008}{9999}$$ $$2008\cdot 10^{8028}\left(\frac{10^4}{10^4-1}\right)-\frac{2008}{10^4-1}$$ $$\frac{2008\cdot 10^{8032}}{10^4-1}-\frac{2008}{10^4-1}$$ $$2008\left(\frac{10^{8032}-1}{10^4-1}\right)$$ $$2008\left(\frac{(10^4)^{2008}-1}{10^4-1}\right)$$ Usando el hecho que $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$ tenemos que lo anterior equivale a $$2008((10^4)^{2007}+(10^4)^{2006}+\ldots +(10^4)+1)$$ Y notemos algo crucial en este problema: $10^4\equiv -1(mod\ 73)$. Por lo tanto tenemos que lo anterior es equivalente a $$2008(-1+1-1+1\ldots -1+1)\equiv 2008\cdot 0\equiv 0(mod\ 73)$$ con lo que queda demostrado.$ Solo agregar que dada la factorizacion por ti entregada, entonces se concluye que si a,b son enteros distintos, entonces $TEX: $a^n-b^n$$ es divisible por $TEX: $a-b$$ (con n cualquier entero positivo) En particular $TEX: $10^{8032}-1=(10^{8})^{1008}-1^{1008}$$ es divisible por $TEX: $10^{8}-1$$ . Pero $TEX: $10^8-1=(10^4+1)(10^4-1)$$ y $TEX: $10^4+1=73\cdot 137$$ y se concluye por ende la divisibilidad por 73 (de hecho como observacion freak $TEX: $10^4-1=9999$$ que simplifica justito al denominador) Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 01:26 AM Publicado: #7
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 28 2008, 10:37 PM) jajajajaja es que no concebia en mi mente un 1/2, pensaba que entonces P vendria siendo el punto medio pero na que ber xDDDDD salu2 perrines Hay una solución sin Menelao, así que estai obligado a postearla Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2008, 06:30 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Killua @ Jun 29 2008, 02:16 AM) Hay una solución sin Menelao, así que estai obligado a postearla Saludos he cumplido mi obligacion xDDDDDDDDDDDD por eso les dejo aki una solucion sin menelao $TEX: \noindent Weno, los tri\'angulos $\triangle BNM$ y $\triangle CNM$ tiene igual \'area, por tener igual base, e igual altura (la que va desde $N$ hacia $BC$). De la misma manera el $\triangle ABN$ tiene igual \'area a los $2$ anteriores. Sea $h_1$ la altura desde $A$ hacia $BP$ y $h_2$ la altura desde $C$ hacia $BP$. Notemos que $\frac{A_1}{A_3}=\dfrac{\frac{BN\cdot h_1}{2}}{\frac{NP\cdot h_1}{2}}=\frac{BN}{NP}$. Igualmente tenemos en el tri\'angulo $PAC$ que $\frac{2A_1}{A_2}=\frac{BN}{NP}$ de donde deducimos que $\frac{A_1}{A_3}=\frac{2A_1}{A_2}$ entonces $\frac{A_2}{A_3}=\frac{2A_1}{A_1}=2$ entonces siendo $\frac{h_3}{2}=$ la mitad de la altura trazada desde $N$ hacia $AC$ tenemos $2=\frac{A_2}{A_3}=\dfrac{\frac{PC\cdot h_3}{2}}{\frac{AP\cdot h_3}{2}}=\frac{PC}{AP}$ por lo tanto $\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$.$ Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 29 2008, 06:33 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

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