 Guia de Ejercicios Control 1, Profesor Osses |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Chile > Ecuaciones Diferenciales Ordinarias  |
 Jun 17 2009, 04:16 PM
Publicado:
#11
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 Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-March 08 Desde: La Punta, Mostazal, VI Región, insondable universo Miembro Nº: 18.086 Universidad:  Sexo:   |
1.b)
![TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaWG5b<br />% WaaSaaaeaacaWGKbGaamyEaaqaaiaadsgacaWG4baaaiabg2da9iaa<br />% dIhacaGGOaGaamyEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaaig<br />% dacaGGPaaabaGaeyOKH4QaamyEamaalaaabaGaamizaiaadMhaaeaa<br />% caWG5bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaaGymaaaacqGH9a<br />% qpcaWG4bGaamizaiaadIhaaeaacqGHsgIRdaWcaaqaaiaaigdaaeaa<br />% caaIYaaaaiGacYgacaGGUbWaaqWaaeaacaWG5bWaaWbaaSqabeaaca<br />% aIYaaaaOGaey4kaSIaaGymaaGaay5bSlaawIa7aiabg2da9iaadIha<br />% cqGHRaWkcaWGJbaabaGaam4yaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaadIhaaa<br />% GccqGH9aqpdaGcaaqaaiaadMhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH<br />% RaWkcaaIXaaaleqaaOGaeyOKH46aaOaaaeaadaqadaqaaiaadogaca<br />% WGLbWaaWbaaSqabeaacaWG4baaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqa<br />% beaacaaIYaaaaOGaeyOeI0IaaGymaaWcbeaakiabg2da9iaadMhaca<br />% GGOaGaamiEaiaacMcaaaaa!733E!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> y\frac{{dy}}<br />{{dx}} = x(y^2 + 1) \hfill \\<br /> \to y\frac{{dy}}<br />{{y^2 + 1}} = xdx \hfill \\<br /> \to \frac{1}<br />{2}\ln \left| {y^2 + 1} \right| = x + c \hfill \\<br /> ce^x = \sqrt {y^2 + 1} \to \sqrt {\left( {ce^x } \right)^2 - 1} = y(x) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/646400c2474580da361e087e6d9bf637.png) 
--------------------  Soy luz, brisa, magia y dicha. ¡Que la Tierra cante silencios y que el mar bese con su furia mi piel! ¡De Alejandría a Sevilla y de Milán a Glasgow canta mi espada! |
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Jun 17 2009, 08:20 PM
Publicado:
#12
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: <br /> \[\begin{gathered}<br /> \textbf{1.c.-} \\<br /> \left( {{x^2} + 1} \right)\tan \left( y \right)y' = x \Leftrightarrow \hfill \\<br /> \left( {{x^2} + 1} \right)\tan \left( y \right)\frac{{dy}}<br />{{dx}} = x \Rightarrow \hfill \\<br /> \tan \left( y \right)dy = \frac{x}<br />{{{x^2} + 1}}dx \Leftrightarrow \hfill \\<br /> \tan \left( y \right)dy = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}<br />{{2\left( {{x^2} + 1} \right)}}dx \Rightarrow \hfill \\<br /> - \log \left( {\cos \left( y \right)} \right) = \frac{{\log \left( {{x^2} + 1} \right)}}<br />{2} + C \Leftrightarrow \hfill \\<br /> \log \left( {\frac{1}<br />{{\cos \left( y \right)}}} \right) = \log \left( {{e^C} \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right) \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{{\cos \left( y \right)}} = {e^C} \cdot \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \arccos \left( {\frac{1}<br />{{{e^C} \cdot \sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/5f16975c6ff5f155025c0e9c4b92e437.png)
Mensaje modificado por LanderGuitar el Jun 17 2009, 08:22 PM --------------------         El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jun 17 2009, 08:26 PM
Publicado:
#13
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \textbf{1.e.-} \\<br /> y' = 4{x^3}\left( {1 + y} \right) \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{{dy}}<br />{{y + 1}} = 4{x^3}dx \Rightarrow \hfill \\<br /> \log \left( {y + 1} \right) = {x^4} + C \Rightarrow \hfill \\<br /> y = {e^{{4x^3} + C}} - 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/fdb8c8e09f609c29d6796127d51dce86.png)
Mensaje modificado por LanderGuitar el Jun 17 2009, 08:54 PM -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jun 17 2009, 08:46 PM
Publicado:
#14
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \textbf{2.b.-} \\<br /> y' = 2x{y^2} + 3{x^2}{y^2} \Rightarrow \hfill \\<br /> {y^{ - 2}}dy = \left( {2x + 3{x^2}} \right)dx \Rightarrow \hfill \\<br /> - \frac{1}<br />{y} = {x^2} + {x^3} + C \Rightarrow \hfill \\<br /> y = - \frac{1}<br />{{{x^2} + {x^3} + C}} \hfill \\<br /> {\text{Como }}y\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \hfill \\<br /> y\left( 1 \right) = 1 = - \frac{1}<br />{{2 + C}} \Rightarrow C = - 3 \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \frac{1}<br />{{3 - {x^2} - {x^3}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/6193a59d2dff0584ff1f8d624dabc298.png)
Mensaje modificado por LanderGuitar el Jun 17 2009, 08:54 PM -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jun 17 2009, 09:00 PM
Publicado:
#15
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \textbf{2.c.-} \\<br /> y' = 3{x^2}\left( {{y^2} + 1} \right) \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{{dy}}<br />{{{y^2} + 1}} = 3{x^2}dx \Rightarrow \hfill \\<br /> \arctan \left( y \right) = {x^3} + C \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \tan \left( {{x^3} + C} \right) \hfill \\<br /> {\text{Como }}y\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \hfill \\<br /> y\left( 0 \right) = 1 = \tan \left( {\frac{\pi }<br />{2} + k\pi } \right) = \tan \left( {0 + C} \right) \Rightarrow C = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}<br />{2} \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \tan \left( {{x^3} + \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}<br />{2}} \right){\text{ para }}k \in \mathbb{Z}. \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/21f7cc4c7eecd8087d187ba021e5e811.png)
-------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jun 17 2009, 09:16 PM
Publicado:
#16
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \textbf{2.d.-} \\<br /> 2yy' = \frac{x}<br />{{\sqrt {{x^2} - 16} }} \Rightarrow \hfill \\<br /> 2ydy = \frac{{xdx}}<br />{{\sqrt {{x^2} - 16} }} \Rightarrow \hfill \\<br /> {y^2} = \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}<br />{2} + C \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \pm \sqrt {\frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}<br />{2} + C} \hfill \\<br /> {\text{Como }}y\left( 5 \right) = 2 > 0 \Rightarrow y = \sqrt {\frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}<br />{2} + C} \Rightarrow \hfill \\<br /> y\left( 5 \right) = 2 = \sqrt {\frac{{\sqrt {25 - 16} }}<br />{2} + C} \Rightarrow C = \frac{5}<br />{2} \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \sqrt {\frac{{\sqrt {{x^2} - 16} + 5}}<br />{2}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/4c2c493d0c280e951edc1061f5285794.png)
-------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jun 17 2009, 09:25 PM
Publicado:
#17
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![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \textbf{2.e.-} \\<br /> y' + 1 = 2y \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{{dy}}<br />{{2y - 1}} = dx \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{{\log \left( {2y - 1} \right)}}<br />{2} = x + C \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \frac{{{e^{2x + 2C}} + 1}}<br />{2} \hfill \\<br /> {\text{Como }}y\left( {{x_0}} \right) = {y_0} \Rightarrow \hfill \\<br /> y\left( {{x_0}} \right) = {y_0} = \frac{{{e^{2x + 2C}} + 1}}<br />{2} \Rightarrow C = \frac{{\log \left( {2{y_0} - 1} \right)}}<br />{2} - {x_0} \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \frac{{{e^{2x - 2{x_0}}} \cdot \left( {2{y_0} - 1} \right) + 1}}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/435c83e4f8be7d24e6c5ac5b3e392a52.png)
-------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jun 17 2009, 09:30 PM
Publicado:
#18
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \textbf{2.f.-} \\<br /> xy' - y = 2{x^2}y \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{{dy}}<br />{y} = \left( {2x + \frac{1}<br />{x}} \right)dx \Rightarrow \hfill \\<br /> \log \left( y \right) = {x^2} + \log \left( x \right) + C \Rightarrow \hfill \\<br /> y = x{e^{{x^2} + C}} \hfill \\<br /> {\text{Como }}y\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \hfill \\<br /> y\left( 1 \right) = 1 = {e^{1 + C}} \Rightarrow C = - 1 \Rightarrow \hfill \\<br /> y = x{e^{{x^2} - 1}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/d0c245ceafa56bc38467b66e39c0d2ec.png)
Mensaje modificado por LanderGuitar el Jun 17 2009, 09:30 PM -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jun 17 2009, 10:51 PM
Publicado:
#19
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \textbf{3.a.-} \\<br /> 4x - 3y + y'\left( {2y - 3x} \right) = 0 \Rightarrow \hfill \\<br /> \left( {4x - 3y} \right)dx + \left( {2y - 3x} \right)dy = 0 \hfill \\<br /> {\text{Es f\'acil ver que:}} \hfill \\<br /> M\left( {x,y} \right) = 4x - 3y \hfill \\<br /> N\left( {x,y} \right) = 2y - 3x \hfill \\<br /> {\text{Son homog\'eneas}}{\text{, entonces}}{\text{, tomando }}y = ux \Rightarrow dy = udx + xdu \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{{3 - 2u}}<br />{{2{u^2} - 6u + 4}}du = \frac{{dx}}<br />{x} \Rightarrow \hfill \\<br /> \log \left( {{u^2} - 3u + 2} \right) = \log \left( {\frac{1}<br />{{{x^2}}}} \right) + C \hfill \\<br /> {\text{Reemplazando:}} \hfill \\<br /> {y^2} - yx + {x^2} - {e^C} = 0 \hfill \\<br /> {\text{Que representa una elipse inclinada en }}\frac{\pi }<br />{4}. \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />](./tex/b62a4f47ccf70a420bda5738e5272353.png)
Mensaje modificado por LanderGuitar el Jun 17 2009, 10:52 PM -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jun 18 2009, 09:53 AM
Publicado:
#20
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \textbf{7.a.-} \\<br /> \left( {1 + y^2 } \right)dx + \left( {1 + x^2 } \right)dy = 0 \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{{dy}}<br />{{1 + y^2 }} = - \frac{{dx}}<br />{{1 + x^2 }} \Rightarrow \hfill \\<br /> \arctan \left( y \right) = - \arctan \left( x \right) + C \Rightarrow \hfill \\<br /> y = \tan \left( {\arctan \left( { - x} \right) + C} \right) = \frac{{\tan \left( C \right) - x}}<br />{{1 + x\tan \left( C \right)}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/d72987b196438e45912390b3f937e0d2.png)
-------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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