 demostraciones, demostracion de una inecuacion que da cierto trabajo |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector Principiante > Aritmética > Problemas Resueltos  |
 Jun 17 2008, 08:40 PM
Publicado:
#1
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Principiante Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 17-June 08 Desde: Temuco Miembro Nº: 27.488 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
demuestren esta inecuacion
A^4 +b^4+c^4+d^4≥4abcd  El signo " ^ " ,significa elevado a. Para evitar preguntas y se consentren nada mas que en el problema suerte!!!. Mensaje modificado por senshi el Jun 17 2008, 08:45 PM |
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Jun 17 2008, 11:31 PM
Publicado:
#2
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 Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 31-October 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 12.067 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{ usando las desigualdad entre las medias aritmeticas y geometricas}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\frac{{{\text{ }}x_1 + x_2 + x_3 + x_4 }}<br />{4} \geqslant \sqrt[4]{{{\text{x}}_{\text{1}} x_2 x_3 x_4 }} \hfill \\<br /> {\text{ entonces reeemplazando}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\frac{{{\text{a}}^{\text{4}} + b^4 + c^4 + d^4 }}<br />{4} \geqslant \sqrt[4]{{a^4 b^4 c^4 d^4 }} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{ }}a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geqslant 4abcd \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{ Q}}{\text{.E}}{\text{.D}} \hfill \\<br /> {\text{ Saludos camiliano xD}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/5712bd3b6b8db46771fd977d3279d391.png)
-------------------- Nunca consideres el estudio como una obligacion sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.
Albert Einstein  |
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Jun 18 2008, 07:13 PM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo: |
Si al menos uno de los números considerados fuera negativo, ya no se podría aplicar la desigualdad entre media aritmética y media geométrica. Por lo tanto, es necesario argumentar de otra manera.
Un saludo -------------------- |
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Jun 19 2008, 04:05 PM
Publicado:
#4
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 31-October 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 12.067 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{ ups tienes razon}}{\text{, haber lo hare de otra forma:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left( {a^2 - b^2 } \right)^2 \geqslant 0{\text{ entonces }}a^4 + b^4 \geqslant 2a^2 b^2 {\text{ }} \hfill \\<br /> \left( {c^2 - d^2 } \right) \geqslant 0{\text{ entonces }}c^4 + d^4 \geqslant 2c^2 d^2 \hfill \\<br /> {\text{ sumamos }}a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geqslant 2\left( {\left( {ab} \right)^2 + \left( {cd} \right)^2 } \right). \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left( {ab - cd} \right)^2 \geqslant 0{\text{ entonces }}\left( {ab} \right)^2 + \left( {cd} \right)^2 \geqslant 2abcd{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{por 2 }}2\left( {\left( {ab} \right)^2 + \left( {cd} \right)^2 } \right) \geqslant 4abcd \hfill \\<br /> {\text{ por transitividad }}a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geqslant 4abcd \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{ Q}}{\text{.E}}{\text{.D}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/1c845e35f20b90b78f91ed2772ea3971.png)
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Albert Einstein |
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Aug 6 2010, 11:20 PM
Publicado:
#5
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Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 21 Registrado: 20-April 07 Desde: santiago Miembro Nº: 5.344 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Sexo: |
CITA(xsebastian @ Jun 18 2008, 09:13 PM)  Si al menos uno de los números considerados fuera negativo, ya no se podría aplicar la desigualdad entre media aritmética y media geométrica. Por lo tanto, es necesario argumentar de otra manera. Un saludo Me gustaria saber porque no sirve la demostracion si algunos es negativos, yo creo que daria lo mismo porque esta elevado a una potencia par. porfavor explicaciones...... |
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Aug 6 2010, 11:40 PM
Publicado:
#6
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 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
Porque se asume que
![TEX: $\sqrt[4]{a^4}=a$](./tex/b516e96b0d1f34b15ba935da23c8949e.png) y esto exige que  que no es hipótesis, aunque tampoco es hipótesis que los números fuesen reales, en fin.
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