Uno peludo de Geometria

Uno peludo de Geometria, Resuelto por Pasten [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2005, 01:54 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema Dado ABC un triangulo inscrito en un circulo O y D un punto arbitrario de BC. Considere los circulos K y L tangentes a O y a AD,siendo K tangente ademas al segmento BD y L al segmento DC. Probar que K y L son tangentes si y solo si AD bisecta al angulo BAC.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2007, 01:19 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent<br />Sean $R=AD\cap K, S=AD\cap L, T=O\cap L, Q=L\cap BC, P=O\cap AD,$ $M$ punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$.\\<br />Notemos que si $K,L$ son tangentes entonces $AD$ es su eje radical. Por otra parte, si $K,L$ no son tangentes entonces $AD$ no es perpendicular a su linea de los centros asi que no es su eje radical, luego, $K,L$ son tangentes si y solo si $AD$ es su eje radical.\\<br />Por la homotecia de centro $T$ que lleva $L$ a $O$ vemos que $T,Q,M$ estan alineados (notar que $BC$ es paralela a la tangente a $O$ por $M$).\\<br />Ahora como $\angle BCM=\angle MBC=\angle MTC\Rightarrow MQ\cdot MT=CM^2$ se tiene que la potencia de $M$ a $L$ es $CM^2$, similarmente la potencia de $M$ a $K$ es $MB^2=CM^2$ asi que $M$ esta en el eje radical de $K$ y $L$.\\<br />Suponga que $K,L$ son tangentes, entonces $AD$ es su eje radical y tendriamos $P=M$.\\<br />Por otro lado, si $P=M$ entonces $PR^2=PS^2$ y tendriamos $K,L$ tangentes.\\<br />Por lo tanto $K,L$ tangentes ssi $P=M$, lo cual equivale a que $AD$ sea bisectriz, como se pedia. <br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2007, 12:03 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcta, muy buena solución. Saludos

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