1 - Métodos Básicos de Conteo

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1 - Métodos Básicos de Conteo, Reglas de Producto y de Suma

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S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 1 2006, 10:12 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Introducción La combinatoria es, en pocas palabras, aquella parte de la matemática que estudia problemas del tipo "¿De cuántas maneras se puede hacer tal cosa?". No son pocos los problemas que pueden iniciar una motivación en este tema: juegos millonarios de azar, probabilidades, juegos de naipes, por mencionar algunos. Mi intención, por ahora no va más allá que entregar herramientas básicas, para resolver problemas de una dificultad similar a la PSU o a las olimpiadas más sencillas. De hecho, comentaré las técnicas básicas, previas a la resolución del siguiente problema: ¿Cuántas cartillas distintas pueden jugarse en el juego millonario del Loto? Regla del producto La regla del producto es el primer método de conteo a dominar, y en un contexto general dice lo siguiente: si un evento tiene dos pasos sucesivos, donde el primero puede ocurrir de $TEX: $a$$ formas distintas, y el segundo puede ocurrir de $TEX: $b$$ formas distintas, entonces el evento completo puede ocurrir de $TEX: $ab$$ formas Lo mejor es dar un ejemplo sencillo: Si una persona dispone de 5 camisas y 4 pantalones distintos, entonces puede vestirse de $TEX: $5\cdot 4=20$$ maneras distintas (cuando se viste, lo que nos interesa es saber qué camisa y qué pantalón usa). Esto puede ser visualizado en la siguiente tabla: $TEX: \begin{tabular}{c\|cccc}<br /> & Pantal\'on 1 & Pantal\'on 2 & Pantal\'on 3 & Pantal\'on 4 \\ \hline<br />Camisa 1 & & $\times$ & & \\<br />Camisa 2 & & & & \\<br />Camisa 3 & & & & \\<br />Camisa 4 & & & & \\<br />Camisa 5 & & & & \\<br />\end{tabular}$ La cruz indica que en esta ocasión la persona eligió la camisa número 1, combinándola con el pantalón número 2. Por poner un ejemplo explicativo. También se puede observar en un diagrama de árboles (pronto) La regla del producto puede aplicarse, aún si el evento tiene tres o más pasos sucesivos. Veamos un ejemplo: Una persona dispone de 5 camisas, 4 pantalones, 3 corbatas y 6 pares de zapatos distintos. ¿De cuántas maneras distintas puede vestirse (nos interesa la camisa, corbata, pantalón y par de zapatos que usa, obviamente no usa en el pie izquierdo un modelo de zapato distinto al del pie derecho)? Con argumentos similares a los vistos antes, la persona puede vestirse de $TEX: $5\cdot 4\cdot 3\cdot 6=360$$ formas distintas Regla de la suma Este método, en un contexto general, dice lo siguiente: Si un evento $TEX: $A$$ puede suceder de $TEX: $a$$ formas distintas, si un evento $TEX: $B$$ puede suceder de $TEX: $b$$ formas distintas, y no pueden acontecer ambos a la vez, entonces el hecho que suceda el evento $TEX: $A$$ o bien el evento $TEX: $B$$ , puede suceder de $TEX: $a+b$$ formas distintas Nuevamente, lo mejor es dar un ejemplo de esto: Supongamos que tenemos dos dados (para simplificar las cosas, uno será rojo y el otro será azul). Lanzamos los dados y anotamos el resultado de cada uno. Por la regla del producto, sabemos que hay 36 resultados posibles. ¿En cuántos de estos resultados ocurre al menos una de las siguientes dos opciones? Ambos dados muestran un número menor que 4 Ambos dados muestran un número mayor que 4 Este ejemplo puede resolverse con ayuda de una tabla, de modo similar al primer ejemplo. Pero veamos que se puede argumentar sin ella. Como las dos opciones son excluyentes, es decir, no pueden acontecer a la vez, estamos en una situación perfecta para aplicar la regla de la suma. Entonces contamos los casos posibles en cada una de las opciones, y finalmente sumamos. En la primera opción, hay tres resultados posibles para cada dado. Luego en total hay $TEX: $3\cdot 3=9$$ resultados de este tipo (regla del producto) En la segunda opción, hay dos resultados posibles para cada dado. Luego en total hay $TEX: $2\cdot 2=4$$ resultados de este tipo (regla del producto) Reuniendo ambas opciones, vemos que en total son 9+4=13 resultados que cumplen al menos una de las condiciones solicitadas Esta regla puede ser aplicada si se consideran más de dos eventos, con la condición que no pueden ocurrir dos o más de ellos a la vez. Veamos un ejemplo: Cuántos elementos del conjunto A={2,3,4,...,100} pueden ser expresados de la forma pⁿ, si p es un número primo de un dígito, y $TEX: $n\ge2$$ es un número natural? Los posibles valores para p son 2, 3, 5 y 7. Vamos a contar cuántas potencias con cada base existen en el conjunto A: p=2: Existen 5 potencias con esta base: 4, 8, 16, 32 y 64 p=3: Existen 3 potencias con esta base: 9, 27 y 81 p=5: Existe 1 potencia con esta base: 25 p=7: Existe 1 potencia con esta base: 49 Por lo tanto, 5+3+1+1=10 elementos del conjunto A pueden ser expresados de la forma pⁿ, donde p es un número primo de un dígito, y $TEX: $n\ge2$$ es un número natural. Advertencia importante: Es fundamental en la regla de la suma, asegurar que los dos eventos en cuestión NO puedan acontecer a la vez. Un ejemplo intuitivo puede observarse en la siguiente figura: $TEX: $\bullet\bullet\bullet\circ\circ\Box\Box$$ ¿Cuántas figuras son redondas o bien tienen interior blanco? Aplicando descuidadamente la regla de la suma, tendríamos como resultado total: 5+4=9. En vez de 7, que es la respuesta correcta. Lo que sucede en realidad, es que los círculos blancos fueron contados dos veces, lo que debemos hacer es restarlos una vez para obtener el total. Así queda: 4+5-2=7. En teoría de conjuntos, recordando que $TEX: $\#X$$ indica la cantidad de elementos de un conjunto finito $TEX: $X$$ , esto se expresa del siguiente modo ( $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ son conjuntos finitos): $TEX: $\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B)$$ Regla del complemento No se trata precisamente de algún nuevo método, pero es un truco que conviene tener en cuenta para resolver ciertos problemas. Podemos redactarlo de la siguiente manera: <span style='color:blue'>Si un evento $TEX: $A$$ puede acontecer de $TEX: $a$$ maneras distintas, si un evento $TEX: $B$$ puede acontecer de $TEX: $b$$ maneras distintas, y si el evento $TEX: $B$$ está contenido en el evento $TEX: $A$$ , entonces hay $TEX: $a-b$$ maneras de que ocurra el evento $TEX: $A$$ , pero no el evento $TEX: $B$$ .</span> Veamos un ejemplo donde se puede usar esto: ¿Cuántos números enteros positivos, menores o iguales que 101, no son múltiplos de 5? Tenemos 101 números enteros positivos, de los cuales 20 son múltiplos de cinco: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ..., 100. Los números que cumplen lo pedido, son 101-20=81 -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 6 2007, 09:11 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	Excelente aporte, aunque no me queda del todo claro lo de la $TEX: Regla de la Suma$ pero lo que es el otro metodo me quedo inmediatamente claro, aunque tambien ese metodo es de facil uso , y recuerdo haberlo visto varias veces y desarrollarlo de esa forma, sin saber que era aquel metodo. Saludos. -------------------- CHAO.

Arthas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 6 2007, 05:49 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.981 Registrado: 9-August 06 Desde: maipú Miembro Nº: 1.881 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(69___ @ Dec 6 2007, 01:11 PM) Excelente aporte, aunque no me queda del todo claro lo de la $TEX: Regla de la Suma$ pero lo que es el otro metodo me quedo inmediatamente claro, aunque tambien ese metodo es de facil uso , y recuerdo haberlo visto varias veces y desarrollarlo de esa forma, sin saber que era aquel metodo. Saludos. lo mismo digo el dela suma me quedo bastante confuso mientras que el otro esta bastante facil de entender ademas de ser practico XD igual gracias ^^ -------------------- CITA(Zephyr~ @ Jan 14 2010, 12:19 PM) Que tiene de honorbale sacar menos de 850?, pff :G: CITA(egadoobkn @ Mar 25 2010, 12:19 PM) holaaa me llamo edgardo y me la como atravesá =P=P=P=P CITA(Abu-Khalil @ Jul 23 2009, 05:16 PM) La idea es que no se cierren a ser nacional o nada, porque serlo... vale callampa :G: Algunas frases recopiladas en el tiempo Algunas veces , soy discontinuo, no acato limites Pero donde caben 9 caben 10 y asi se forma un conjunto inductivo La felicidad no es hacer lo que uno quiere, sino querer lo que uno hace Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas Señor aristóteles dice: todo hombre que consume carne se vuelve violento, el ser humano no tiene necesidad de consumirlas, fisionómicamente no somos aptos para tales actos, poseemos acaso grandes incisivos como los animales carnívoros?? “El secreto de la creatividad es el saber ocultar tus fuentes.” “Yo nunca pienso en el futuro. Llega demasiado pronto.” "El que vive de rodillas vee a sus enemigos grandes" "El genio es 1% de inspiración y 99% sudor" "Ojo por Ojo y el mundo se queda ciego" "Diente por diente y los odontologos se hacen ricos" Hubo una vez un hombre que decidió aprender a matar dragones, e invirtió cuanto poseía en dominar el arte. Tras varios años de arduos estudios, hubo de concluir que... no había dragones. (Antiguo proverbio chino) "La verdad no demanda creencias. Los científicos no unen sus manos cada domingo, cantando '¡Sí, la gravedad es real! ¡Tendré fe! ¡Seré fuerte! Creo en mi corazón que lo que sube tiene que bajar. ¡Amén!'. Si lo hicieran, pensaríamos que están bastante inseguros de ello." Dan Barker ex-predicador "Sí Jesús hubiera sido ejecutado hace veinte años, los niños católicos irían a la escuela con sillitas eléctricas en sus cuellos en lugar de cruces". Lenny Bruce "¿La definición de mitología en una oración? 'Mitología', es lo que llamamos a las religiones de otras personas". Joseph Campbell antropólogo estadounidense "Los dioses son cosas frágiles; pueden ser asesinados con un atisbo de ciencia o una dosis de sentido común". Chapman Cohen "La ignorancia genera confianza más frecuentemente que el conocimiento, son aquellos que saben poco, y no esos que saben más, quienes tan positivamente afirman que este o aquel problema nunca será resuelto por la ciencia". Charles Darwin "Pero para esta época, 1836 a 1839, yo había comenzado a ver, gradualmente, que el Viejo Testamento, desde su manifiesta falsa historia del mundo, con su Torre de Babel, el arcoiris de señal, etc., etc., y desde atribuirle a Dios los sentimientos de un tirano vengativo, no era más de confiar que los libros sagrados de los hindúes o las creencias de cualquier bárbaro". Charles Darwin "Todos somos ateos respecto a la mayoría de dioses en los que la humanidad ha creído alguna vez. Algunos de nosotros simplemente vamos un dios más allá". Richard Dawkins "La realidad es aquello que, cuando dejas de creer en ella, no desaparece". Philip K. Dick "No puedo imaginarme a un dios que premia y castiga a los objetos de su creación, cuyos propósitos han sido modelados bajo el suyo propio; un dios que no es más que el reflejo de la debilidad humana. Tampoco creo que el individuo sobreviva a la muerte de su cuerpo: esos no son más que pensamientos de miedo o egoísmo de lo mas ridículo". Albert Einstein "Un mito es una religión en la que ya nadie cree". James Feibleman filósofo estadounidense "La religión es comparable con la neurosis infantil". Sigmund Freud No, nuestra ciencia no es una ilusión. Pero sí sería una ilusión suponer que lo que la ciencia no puede darnos lo podemos encontrar en otro lugar". Sigmund Freud “Los sentimientos de 'amor y temor de dios' no tienen su origen en dios, si no en los seres humanos. Son sentimientos de frustración dirigidos por el hombre a un ser imaginario que pretende sea su padre..." Sigmund Freud "La mayoría de los hombres prefiere y encuentra más fácil creer que tomarse el trabajo y la preocupación de investigar". León de Gandarías “La religión es el opio del pueblo”. Karl Marx. "Los seres humanos pueden vivir sin dioses pero los dioses le deben la vida a los seres humanos, es decir, son una extensión imaginaria de la realidad, el resultado de una insatisfacción". Luís García Montero, poeta granadino "Si vamos a enseñar 'la ciencia de la creación' como una alternativa a la evolución entonces, también deberíamos enseñar la teoría de la cigüeña como una alternativa a la reproducción biológica". Judith Hayes "Lo que he hecho es mostrar que es posible que la forma en que comenzó el universo esté determinada por las leyes de la ciencia. En ese caso, no sería necesario apelar a Dios para decidir cómo comenzó el universo. Esto no prueba que no exista dios, sólo que Dios no es necesario". Stephen W. Hawking "Día vendrá en que el engendramiento de Jesús por el Supremo Hacedor como su padre, en el vientre de una virgen, será clasificado junto a la fábula de la generación de Minerva en el cerebro de Júpiter." Tomás Jefferson "Ahora se suele criticar a la televisión por transmitir tanta violencia, cuando más cruel ha sido la Biblia: en sus páginas se come a niños, se llama a matar a los enemigos, se queman casas, se sacan los ojos a los hombres. Los dueños de la televisión moderna no han inventado nada nuevo" Ryszard Kapuscinski periodista y escritor polaco "¡Desde tiempos inmemoriables es sabido cuán provechosa nos ha resultado esa fábula de Jesucristo" Papa León X "El último cristiano murió en la cruz". Friedrich Wilhelm Nietzsche "Argumentar con una persona que ha renunciado a la lógica, es como dar medicina a un hombre muerto". Thomas Paine "Cuando una persona padece delirios se le llama locura. Cuando muchas personas padecen de un delirio, se le llama religión". Robert M. Pirsig "Yo digo que ambos somos ateos. Yo sólo creo en un dios menos que tu. Cuando entiendas porqué tu deshechas todos los otros posibles dioses, entonces entenderás porqué yo deshecho el tuyo". Stephen F. Roberts "La vida es sólo un vistazo momentáneo de las maravillas de este asombroso universo, y es triste que tantos la estén malgastando soñando con fantasías espirituales". Carl Sagan astrónomo estadounidense 1934-1996 "Si quieres salvar a tu hijo del polio puedes rezar o puedes vacunarlo... Aplica la ciencia". Carl Sagan astrónomo estadounidense 1934-1996 "No puedes convencer a un creyente de nada porque sus creencias no están basadas en evidencia, están basadas en una enraizada necesidad de creer". Carl Sagan "¿Por qué debemos aceptar los consejos del papa sobre sexo? Si el sabe algo al respecto, pues, ¡no debería!" George Bernard Shaw "El hecho que un creyente pueda ser más feliz que un escéptico es tan cierto como decir que el borracho es más feliz que el hombre sobrio". George Bernard Shaw "No hemos perdido la fe pero la hemos transferido de Dios a la profesión médica". George Bernard Shaw "Ahora ya sabemos que el alma es el cuerpo y el cuerpo el alma. Nos dicen que son diferentes porque quieren persuadirnos de que podemos quedarnos con nuestras almas si los dejamos esclavizar nuestros cuerpos". George Bernard Shaw "Estoy harto de todas las religiones. La religión ha dividido a la gente. No creo que haya diferencia entre el Papa usando su sombrero grande, paseando entre feligreses con una cartera humeante y un africano pintándose la cara blanca y rezándole a una piedra". Howard Stern "Si hablas con Dios estás rezando; si Dios te habla a ti tienes esquizofrenia". Thomas Szasz "Alguien me dijo: sigue los pasos de Jesus, nunca cruces los brazos porque el hombre más grande del mundo murió con los brazos abiertos.Yo le respondí: voy a cruzar los brazos y voy a ser el hombre más pequeño, porque no pienso morir pobre, casto ni traicionado hasta por mi padre". Gaston Techera "Es una de las supersticiones de la mente humana imaginarse que la virginidad pueda ser una virtud". Voltaire "Un sabio a la voz ¡salta!, lograba que cada una de las pulgas de su colección se introdujera en un frasco. Arrancó a una pulga las patas traseras y al ordenar ¡salta!, la pulga no saltó, y lo mismo ocurrió tras arrancar las patas a todas las demás. El sabio, entusiasmado, anotó en su cuaderno: Cuando se le quitan las patas traseras a una pulga deja de oír." 'Los tristes piensan que el viento gime, los alegres piensan que canta'.

Farfan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2007, 08:00 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 392 Registrado: 23-September 06 Desde: Talca, Chile. Miembro Nº: 2.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	pero digan que es lo que no entienden para poder ayudarlos -------------------- si 2+2=3...(La Renga) "Pobre del que tiene miedo de correr riesgos, porque quizás ese no se decepcione nunca, ni tenga desilusiones, ni sufra como los que persiguen un sueño"

wolverian07 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 14 2007, 03:27 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 242 Registrado: 8-August 07 Miembro Nº: 8.401 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	yo no puedo ver el documento adjunto. me gustaria verlo asi que si pueden por areglenlo rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez rulez

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2007, 01:05 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	CITA(Farfan @ Dec 13 2007, 10:00 PM) pero digan que es lo que no entienden para poder ayudarlos Lo que no me queda claro es la Regla de la Suma, ya que dice lo siguiente: $TEX: Este método, en un contexto general, dice lo siguiente: Si un evento A puede suceder de a formas distintas, si un evento puede B suceder de b formas distintas, y no pueden acontecer ambos a la vez, entonces el hecho que suceda el evento A o bien el evento B, puede suceder de a+b formas distintas.$ Lo que no me queda claro es el por que si dice que A puede suceder de a formas distintas, y B de b formas distintas, por que el hecho que suceda A o B (evento) diga que a+b, a eso me refiero.(no se si esta claro) Si logran entender, respondan. Saludos -------------------- CHAO.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2007, 02:39 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La regla de la suma es un "hecho intuitivo", y algunas veces son los "hechos intuitivos" los más difíciles de explicar. De hecho, uno lo aplica "inconcientemente" en ejemplos como el siguiente: En un preuniversitario trabajan 20 profesores para preparar la PSU de Lenguaje y 20 para preparar la PSU de Matemática. También trabajan 15 profesores para preparar la PSU de Ciencias Sociales y 30 para preparar la PSU de Ciencias (10 en cada área específica: Biología, Física, Química). Además, hay 25 personas encargadas de cumplir otras funciones (funciones directivas, de secretariado, orientación vocacional, aseo, etc.) ¿Cuántas personas trabajan en este preuniversitario? Es la Regla de la Suma quien explica el procedimiento. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 20 2007, 07:19 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	En el caso que dio para aclararme sobre lo de la Regla de la Suma, solamente basta con sumar? Si fuese asi seria: $TEX: 20+20+15+30+25=110 . En el Preuniversitario trabajan en total 110 personas.$ Si en la Regla de la Suma basta con sumar, lo hubiesen dicho antes,las gracias nunca estan demas asi que las gracias son para XSEBASTIAN quien me aclaro esto. pero igual para los demas que intentaron explicarme(aunque yo fui el tonto que no dijo que no entendia). Saludos Mensaje modificado por 69___ el Dec 22 2007, 03:41 PM -------------------- CHAO.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 15 2008, 02:11 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Precisamente, sólo es necesario sumar. En el ejemplo, la respuesta es 20+20+15+30+25 = 110, como bien has dicho. Lo único que debes tener en cuenta, es que las personas no cumplen dos o más cargos (por ejemplo, ninguna persona se encarga de hacer preparación para PSU de Matemática y de Ciencias Sociales a la vez)(lee la "Advertencia Importante" en el primer mensaje). Con esta consideración, sólo es necesario sumar Nunca está de más preguntar, por muy "tonta" que parezca una pregunta. Nadie es tonto por no saber (todos nacemos sabiendo nada), pero lo importante es no quedarse con la duda. Finalmente, yo también agradezco, porque de esta manera puedo saber qué defectos tiene la presentación del tema, que redacté y presenté hace casi dos años. Algún día tendré la oportunidad para arreglar errores. Un saludo -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

manuel 4c Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2008, 02:51 PM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 153 Registrado: 27-March 08 Desde: calle santa maria 221 Miembro Nº: 18.096 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	ES UN MUY BUEN APORTE ALGUNA VEZ ME PODRIA SERVIR CHAOXX -------------------- manuxxx

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