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I3 Geometría, MAT1102 1S 2008

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 9 2008, 09:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\begin{center}MAT1102 - Geometría\\<br />Interrogación 3 - Lunes 9 de Junio de 2008 \end{center} <br />\begin{enumerate}<br />\item <br />\begin{enumerate}<br />\item Los tres vectores $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ son no coplanares. Demuestre que el plano determinado por los puntos A, B y C es perpendicular con el vector <br />$\vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{c}+\vec{c}\times\vec{a}$.<br />\item Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos $A$(0,0) y $B$(6,0). Determine la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice $C$ si éste se mueve de tal modo que la diferencia absoluta entre los cuadrados de las longitudes de los lados BC y CA es siempre mayor en seis unidades que la longitud del lado AB.<br />\end{enumerate}<br />\item Del triángulo $ABC$ se sabe que el vértice $C$ es el punto (2,7), que la ecuación de la transversal de gravedad por el vértice $B$ es $x-2y+7=0$ y que la ecuación de la altura por el vértice $A$ es $3x-y+11=0$. Determine las coordenadas de los vértices $A$ y $B$ así como del ortocentro del triángulo. Calcule también el área del triángulo.\\<br />\item Dadas las rectas de ecuaciones:\\<br />\begin{equation}\ell_1:\begin{cases}x=-1+2t\\<br />y=3-t\\<br />z=-1+2t<br />\end{cases}, \ell_2: \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-14}{12}=\dfrac{z+3}{-4}\\<br />\end{equation}<br />determine si se cortan o se cruzan en el espacio. Si las rectas se cortan encuentre la ecuación del plano determinado por ambas. Si se cruzan, determine la distancia que las separa.<br />\item<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $\mathcal{C}$ la circunferencia de ecuación $x^2+y^2+2x-2y-35=0$, y sea $P$ el punto (6,-4).\\<br />i) Encuentre las ecuaciones de las tangentes a $\mathcal{C}$ trazadas desde $P$.\\<br />ii) Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por $P$ y determinan en $\mathcal{C}$ cuerdas de largo $2\sqrt{35}$.<br />\item Se trazan 2 tangentes a una circunferencia, paralelas entre sí, que cortan a una tercera tangente en los puntos $A$ y $B$, demuestre que las rectas que unen $A$ y $B$ con el centro de la circunferencia son perpendiculares entre sí.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />$ PD: Fácil... fácil... (?!) -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Raskolnikov Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 9 2008, 10:24 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.067 Registrado: 11-September 07 Desde: Coquimbo Miembro Nº: 10.097 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No soy de la UC, pero encontré interesante los problemas. 4b Geom.JPG ( 15.93k ) Número de descargas: 3 $TEX: Sean $L_1, L_2\ y\ L_3 \text{rectas tangentes a la circunferencia de centro c, tal que}\ L_1//L_2$$ $TEX: Sea $\alpha$ el valor del ángulo a determinar. Sea 2x el ángulo que se indica.$ $TEX: Es sabido que dadas dos tangentes a una circunferencia, el centro pasará por la recta que bisecta al ángulo que forman las tangentes (el que da hacia la circunferencia).$ $TEX: Considerando ésto, es claro que el ángulo CAB=x, y el ángulo CBA=$\dfrac{\pi}{2}$-x.$ $TEX: Luego, para el triángulo ABC se tiene la suma de sus ángulos interiores: $\alpha +x+\dfrac{\pi}{2}-x=\pi\Leftrightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{2}$$ Saludos. -------------------- "¿Qué es la vida? Una ilusión, una sombra, una ficción, y el mayor bien es pequeño: que toda la vida es sueño, y los sueños, sueños son."

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 10 2008, 09:25 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(/Sebástian/ @ Jun 9 2008, 10:14 PM) No soy de la UC, pero encontré interesante los problemas. 4b Geom.JPG ( 15.93k ) Número de descargas: 3 $TEX: Sean $L_1, L_2\ y\ L_3 \text{rectas tangentes a la circunferencia de centro c, tal que}\ L_1//L_2$$ $TEX: Sea $\alpha$ el valor del ángulo a determinar. Sea 2x el ángulo que se indica.$ $TEX: Es sabido que dadas dos tangentes a una circunferencia, el centro pasará por la recta que bisecta al ángulo que forman las tangentes (el que da hacia la circunferencia).$ $TEX: Considerando ésto, es claro que el ángulo CAB=x, y el ángulo CBA=$\dfrac{\pi}{2}$-x.$ $TEX: Luego, para el triángulo ABC se tiene la suma de sus ángulos interiores: $\alpha +x+\dfrac{\pi}{2}-x=\pi\Leftrightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{2}$$ Saludos. Yo encontré totalmente válido hacerlo así, pero no nos dejaron, onda paso el profe diciendo haga ecuaciones, we want algebra no soluciones PSU xD. PD: Saliendo de esta semana puedo postear la respuesta, que se me ocurrió hoy xD -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Raskolnikov Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 10 2008, 09:29 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.067 Registrado: 11-September 07 Desde: Coquimbo Miembro Nº: 10.097 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Jun 10 2008, 10:16 PM) Yo encontré totalmente válido hacerlo así, pero no nos dejaron, onda paso el profe diciendo haga ecuaciones, we want algebra no soluciones PSU xD. PD: Saliendo de esta semana puedo postear la respuesta, que se me ocurrió hoy xD Ahh, claro. Es válido. Si el profe no quería esa respuesta debió haberlo especificado. Veremos si tengo tiempo y encuentro la solución haciendo ecuaciones la posteo. Si no, esperaremos ver tu respuesta. Saludos. -------------------- "¿Qué es la vida? Una ilusión, una sombra, una ficción, y el mayor bien es pequeño: que toda la vida es sueño, y los sueños, sueños son."

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2008, 10:10 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Trasladamos la situación, centrando la circunferencia al origen para simplificar cálculos, notando que no se pierde objetividad.\\<br />\\<br />Debemos probar que $\overline{OA}\bot\overline{OB}$, lo que implicaría que $\overline{OB}^2+\overline{OA}^2=\overline{AB}^2$ (por T. de Pitágoras). Por lo que nuestra demostración es equivalente a probar lo último.\\<br />\\<br />Por otro lado, notemos que el punto $A$ tiene coordenadas $(a_1,r)$ donde $a_1$ equivale a la medida del segmento $\overline{AT}$ y análogamente, $B$ tiene coordenadas $(b_1,r)$ donde $b_1$ equivale a la medida del segmento $\overline{BT}$. Luego trazamos $\overline{AC}$ y por T. de Pitágoras tenemos que:<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\overline{AC}^2+\overline{BC}^2&=\overline{AB}^2\\<br />4r^2+(b_1-a_1)^2&=(a_1+b_1)^2\\<br />r^2&=a_1b_1\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Ahora, recordemos que debíamos probar que:<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\overline{OB}^2+\overline{AB}^2&=\overline{AB}^2\\<br />\sqrt{b_1^2+r^2}^2+\sqrt{a_1^2+r^2}^2&=(a_1+b_1)^2\\<br />b_1^2+r^2+a_1^2+r^2&=a_1^2+2a_1b_1+b_1^2\\<br />\iff r^2&=a_1b_1\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Pero ya comprobamos anteriormente que eso era cierto, luego, la demostración se da por concluida.<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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