Entrenamiento Algebra v2.0

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Entrenamiento Algebra v2.0, [Medio]

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negroo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2008, 01:14 PM Publicado: #41
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 32 Registrado: 8-November 08 Desde: chile Miembro Nº: 38.115 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Si $\dfrac{a}{b}>1$ Demostrar que $\dfrac{a+c}{b+c}<\dfrac{a}{b}$ (a,b,c positivos). Como $a>b$ entonces $ac>bc$ luego $ac+ab=a(b+c)>bc+ab=b(a+c)$ implica $\dfrac{a+c}{b+c}<\dfrac{a}{b}$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2008, 03:59 PM Publicado: #42
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Todas las soluciones (desde mi última intervención hasta aquí) están correctas. Aunque debo citar la siguiente: CITA(negroo @ Dec 5 2008, 01:08 PM) $TEX: Sean $x,y,z$ Reales tales que $x+y+z=0$. Calcule los posibles valores de:<br />$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2(xy+yz+zx)}$. Notemos que $0=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) $. Entonces: $2(xy+yz+zx)=-x^2-y^2-z^2$.Por lo tanto: $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2(xy+yz+zx)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{-x^2-y^2-z^2}=-1$. Analicemos cuando queda indefinida Si:$ x^2+y^2+z^2 =0$ Necesariamente $x=y=z=0$ ya que un cuadrado es mayor o igual a cero.$ Para ver los posibles valores de esa expresión, uno supone que ella está bien definida, en este ejercicio la única posibilidad es -1. A continuación, si uno desea saber cuándo es indefinida, lo que debe estudiarse es el demoninador igual a 0. Tú intentaste estudiar el numerador. Un saludo -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 21 2009, 05:22 PM Publicado: #43
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	No sé si está bien.. Problema 10. (a+1/a)^2 = 3 Por lo que.. a^2 + 2(a^1 * a^-1) + a^-2 a^2+a^-2=1 Luego a^3 + 1/a^3 = ?? a^3 + a^-3 = (a+a^-1)(a^2 -1 +a^-2) Y se sabe que a^2 + a^-2 es igual a 1, por tanto, el segundo paréntesis daría 0, luego a^3+ a^-3 es igual a 0. No sé si estoy bien.. Algún gentil que se ofresca a corregir?? ?? PD: Srry por no usar Latex!.. Juro aprender a usarlo!

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 21 2009, 09:07 PM Publicado: #44
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(GoChuck @ Nov 21 2009, 06:22 PM) No sé si está bien.. Problema 10. (a+1/a)^2 = 3 Por lo que.. a^2 + 2(a^1 * a^-1) + a^-2 a^2+a^-2=1 Luego a^3 + 1/a^3 = ?? a^3 + a^-3 = (a+a^-1)(a^2 -1 +a^-2) Y se sabe que a^2 + a^-2 es igual a 1, por tanto, el segundo paréntesis daría 0, luego a^3+ a^-3 es igual a 0. No sé si estoy bien.. Algún gentil que se ofresca a corregir?? ?? PD: Srry por no usar Latex!.. Juro aprender a usarlo! La respuesta es impecable y se entiende, aunque de todas formas te recomiendo mucho aprender a usar Latex. Si es que quieres ir por la Via Larga, y aprender realmente a usarlo entra a este tema: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=1339 Si quieres solucionar rapidamente tu problema, entra aca: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=8193 Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

sogeking Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 21 2009, 10:11 PM Publicado: #45
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 31 Registrado: 27-October 07 Miembro Nº: 11.893 Nacionalidad: Sexo:	muchas gracias por el entrenamiento.

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 12:31 PM Publicado: #46
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	Muchas gracias! Aprenderé a usarlo ;D! Gracias por la correción !

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 08:20 PM Publicado: #47
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	Problema 45 (me costó, y eso que estaba fácil xD). Se sabe que $TEX: $\displaystyle \frac{a}{b}> 1$$ , entonces podríamos escribir esto como $TEX: $a=b + c$$ . Luego $TEX: $\displaystyle \frac{b+c}{b}$$ sería igual a nuestra fracción. Si le sumamos c, para el caso de ahora, nos quedaría: $TEX: $\displaystyle \frac{b+2c}{b+c}$$ , cierto? Ahora, si a esa fracción le restamos $TEX: $\displaystyle \frac{c}{b+c}$$ , nos quedaría $TEX: $\displaystyle \frac{b+c}{b+c}$$ , luego, es 1. Ahora hacemos lo mismo, pero con la fracción original (en este caso $TEX: $\displaystyle \frac{b+c}{c}$$ , que sería igual a $TEX: $\displaystyle \frac{a}{b}$$ ), y le quitamos $TEX: $\displaystyle \frac{c}{b+c}$$ .. Nos quedaría.. $TEX: $\displaystyle \frac{b^2+2bc+c^2-bc}{b^2+bc}$$ y si simplificamos un poco, quedaría $TEX: $\displaystyle \frac{b^2+bc+c^2}{b^2+bc}$$ , lo que es igual a $TEX: $\displaystyle \frac{b^2+bc}{b^2+bc}$$ $TEX: +$c^2$$ , y si simplificamos nuevamente, nos quedaría $TEX: 1+$\displaystyle \frac{c^2}{b^2+bc}$$ . Luego, tenemos que $TEX: $\displaystyle \frac{c^2}{b^2+bc} + 1> 1$$ , por lo tanto, está demostrada la aseveración. Edit: Ahora sí xD Mensaje modificado por GoChuck el Nov 23 2009, 03:11 PM

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 08:37 PM Publicado: #48
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	Problema 48 $TEX: si x = $5+ 3\sqrt{2}$, encuentre y, tal que $xy=1$ y determine el valor de $x + 7y$$ Este sí estaba fácil xD Con un sistema simple de ecuaciones se sabe que $TEX: $xy=1$, luego $x=1/y$$ . Con eso se sabe que $TEX: $y=\displaystyle \frac{1}{5+ 3\sqrt{2}}$$ Luego, es cosa de multiplicar! Nos vendría quedando esto... $TEX: $5+ 3\sqrt{2}$ + $\displaystyle \frac{7}{5+ 3\sqrt{2}}$$ , lo que es igual a $TEX: $\displaystyle \frac{25+30\sqrt{2}+18+7}{5+ 3\sqrt{2}}$$ Factorizando por 10 quedaría $TEX: $\displaystyle \frac{10(5+3\sqrt{2})}{5+ 3\sqrt{2}}$$ Y simplificando nos queda! $TEX: 10$ !

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2009, 08:56 PM Publicado: #49
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	Ya... Este es el último xD Problema 52 $TEX: $x+y+xy=71$$ $TEX: $yx^2 + xy^2 = 880$$ nos queda $TEX: $xy(x+y)=880$$ $TEX: $xy + (x+y) = 71$$ Cambiamos por incógnitas auxiliares y nos queda $TEX: $cd=880$ y $c+d=71$ ($xy=d$ y $x+y=c$)$ Ahí tenemos ecuaciones de segundo grado, y de ahí pa' adelante es fácil terminarlo.. Si alguien se anima a terminarlo, que lo haga.. Ahora me tengo que ir a leer XD Buenas noches! Mensaje modificado por GoChuck el Nov 23 2009, 09:17 PM

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 23 2009, 04:03 PM Publicado: #50
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	Problema 18. de la primera ecuación se obtiene que: $TEX: $a+b=-c$$ Luego se reemplaza en la ecuación que se quiere verificar. Si da algún resultado que sea igual a ambos lados, significará por consecuencia que está bien el enunciado. $TEX: $a^3+b^3+-1(a+b)^3=-3ab(a+b)$$ $TEX: $a^3+b^3+-1(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=-3a^2b-3ab^2$$ $TEX: $a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=-3a^2b-3ab^2$$ Cancelamos los términos iguales. $TEX: $-3a^2b-3ab^2=-3a^2b-3ab^2$$ Luego $TEX: $0=0$$ entonces, la proposición es verdadera. PD: Se puede hacer de esa manera??

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