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Prueba Individual M3, Octava Region

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 02:24 AM Publicado: #11
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 8 2008, 01:51 AM) Yo en el 2 use el teo del coseno 2 veces e hice un sistema algo asi: $TEX: \noindent Por el teo. de la bisectriz tenemos $BD=ak$ y $CD=bk$. Entonces por el teo del coseno obtenemos $$a^2+x^2-ax=(ak)^2$$ $$b^2+x^2-bx=(bk)^2$$ amplificando la primera por $b^2$ y la segunda por $a^2$ y luego restandolas obtenemos $(b-a)(x^2(b+a)-abx)=0\Rightarrow x=\frac{ab}{a+b}$.$ Como lo harias si en vez de aplicar teorema del coseno sobre los angulos de 60º, lo aplicas sobre los angulos $TEX: $\measuredangle ADB$$ y $TEX: $\measuredangle ADC$$ (usando los mismos triángulos). Puede ser de utilidad que $TEX: $cos(180-\alpha)=-cos(\alpha)$$ . Como anecdota, la primera vez que enfrente este problema cuando era Olimpico, lo hice así (a pesar que encontraba fea mi solución me motivé porque no era para mi usual usar el Teorema del Coseno, y mucho menos de esa forma). Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 02:36 AM Publicado: #12
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Me he topado muchisimas veces con el P2, y cada vez veo que hay otra solucion: Tal y como esta en esta prueba, (con un angulo de 120) se puede trazar un paralela a AD, hasta que intersecte a AC en P, tal que PBA=60. luego como PAB= 60, el trianguo APB es equilatero. luego con thales se obtiene lo que se pide, dando: $TEX: \[<br />x = \frac{{ab}}<br />{{a + b}}<br />\]<br />$ (este problema aparecio en los 3 diarios del sector PSU, y MisTer_BurNS , le dio esta solucion) no ver si se quiere intentar el problema ahora, generalizando mas, llamando a $TEX: $BAC=2\alpha$$ descomponemos el area de ABC en la suma de ABD y ADC, segun la forma trigonometrica del area de un triangulo: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{1}<br />{2}ab\sin 2\alpha = \frac{1}<br />{2}ax\sin \alpha + \frac{1}<br />{2}xb\sin \alpha \hfill \\<br /> ab\sin 2\alpha = x\sin \alpha \left( {a + b} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{ab\sin 2\alpha }}<br />{{\sin \alpha \left( {a + b} \right)}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ y la ultima, que es cuando se puede determinar la longitud de una bisectriz en funcion de los lados, es aplicar stewart con apolonio(mucho numero xD), o inscribir el triangulo en una circunferencia.(mas bonito) --------------------

Zeok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 06:09 PM Publicado: #13
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 75 Registrado: 10-May 07 Desde: Los Angeles - Chile Miembro Nº: 5.744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Rurouni Kenshin @ Jun 8 2008, 03:30 AM) Felicitaciones, este año vamos por Medalla de Oro Felicitaciones a los que postearon, y una invitacion a Aprender Latex (si les es muy dificil, pueden usar Mathtype) Saludos PD: Creo que hay un programa llamado Geogebra que es muy bueno para hacer dibujos (que alguien lo confirme). PD: Muy novedosa la Solucion del de Geometria, no lo habia pensado asi (me recuerda mucho a ideas aprendidas en el Verano). PD: Intenten generalizar el P2, usando lados $TEX: $AB=a$$ , $TEX: $AC=b$$ y $TEX: $AD=x$$ . Seguramente llegaran a una suma de reciprocos de estos valores (y la mitad de una Media Armónica). Despues pueden generalizar aun mas usando Trigonometría, pensando que $TEX: $\measuredangle BAC=\gamma$$ . Finalmente intenten generalizar cuando sean conocidos los tres lados del triángulo (Oportunidad de usar el Teorema de Stewart y el Teorema de la Bisectriz). A este problema le pueden sacar mucho provecho, asi que manos a la obra jejeje sii al final recorde como se respondian algunos problemas del VeMa de triangulos que se utilizaban para formar un paralelogramo ( osea yo no los respondia pero los otros si ) xD.. es lo unico que se me ocurrio en la prueba xD entonces complete un paralelogramo ! xD todos asian eso xD gracias señor kenshin por revisar nuestras respuestas PD: en el p3 encotnre esos numeros pero por error agrege uno mas... me descontaran mucho :S? saludos! Mensaje modificado por Zeok el Jun 8 2008, 06:33 PM

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 06:49 PM Publicado: #14
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Zeok @ Jun 8 2008, 05:59 PM) jejeje sii al final recorde como se respondian algunos problemas del VeMa de triangulos que se utilizaban para formar un paralelogramo ( osea yo no los respondia pero los otros si ) xD.. es lo unico que se me ocurrio en la prueba xD entonces complete un paralelogramo ! xD todos asian eso xD gracias señor kenshin por revisar nuestras respuestas PD: en el p3 encotnre esos numeros pero por error agrege uno mas... me descontaran mucho :S? saludos! No creo, dado que no es un error muy grave. De 10 puntos yo te daria 9 (si yo revisara), dado que igual no fue perfecto, y no se puede poner 9,9. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Zeok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 06:54 PM Publicado: #15
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 75 Registrado: 10-May 07 Desde: Los Angeles - Chile Miembro Nº: 5.744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Rurouni Kenshin @ Jun 8 2008, 08:39 PM) No creo, dado que no es un error muy grave. De 10 puntos yo te daria 9 (si yo revisara), dado que igual no fue perfecto, y no se puede poner 9,9. Saludos =) eeee ojala que no me bajen tantoo gracias !!

Holandes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 12 2008, 12:09 AM Publicado: #16
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 43 Registrado: 11-September 07 Desde: Conce Miembro Nº: 10.066 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Zeok @ Jun 7 2008, 08:58 PM) mi solución al problema 2 formamos un paralelogramo con el triangulo ABC que ya tenemos... transportamos angulos de 60 grados y encontramos 2 triangulos equilateros... llamamos X a AD ....porque el segmento entero es 4 el segmento DQ es 4 - X entonces transportamos las medidas de ese segmento al nuevo segmento RP por ser paralela y usamos tales... 4 / 12 = 4 - X / 4 entonces X = 3 saludos! PD: perdón por el dibujo mal hecho xD ¿Estas seguro de la expresion subrayada? -------------------- Wilhelmus van Nassauwe ben ik, van Duitsen bloed; den vaderland getrrouwe blijf ik tot in den dood. Een Prinse van Oranje ben ik, vrij, onverveerd; den Koning van Hispanje heb ik altijd geëerd. Adonay

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 12 2008, 03:51 AM Publicado: #17
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Holandes @ Jun 11 2008, 11:59 PM) ¿Estas seguro de la expresion subrayada? Bueno, se entiende que era $TEX: $\dfrac{4}{12}=\dfrac{4-x}{x}$$ dado que estaba todo explicito en el dibujo y ademas llego a $TEX: $x=3$$ . Lo mejor es aprender a usar Latex y asi se evitan estos detalles de tipeo Se agradece la correccion Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Holandes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2008, 07:19 PM Publicado: #18
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 43 Registrado: 11-September 07 Desde: Conce Miembro Nº: 10.066 Nacionalidad: Sexo:	Solución alterna al Problema 2: Sea $TEX: $AD$ = $x$$ Trazamos una paralela a $TEX: $AB$$ por $TEX: $D$$ , intersectando a $TEX: $AC$$ en $TEX: $E$$ . Por ser ángulos alternos internos, $TEX: $\angle BAD$ = $\angle ADE$$ = 60º. Deducimos que el $TEX: $\angle AED$$ = 60º, obteniendo así el triángulo equilátero $TEX: $ADE$$ , de lado $TEX: $x$$ . Por Teo. de Thales, se tiene que $TEX: $\dfrac {12-x}{x}$ = $\dfrac {12}{4}$$ $TEX: $x$ = 3$ -------------------- Wilhelmus van Nassauwe ben ik, van Duitsen bloed; den vaderland getrrouwe blijf ik tot in den dood. Een Prinse van Oranje ben ik, vrij, onverveerd; den Koning van Hispanje heb ik altijd geëerd. Adonay

Chaparrón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2008, 05:05 PM Publicado: #19
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 170 Registrado: 25-July 07 Miembro Nº: 7.812	P2 Yo a primera vista lo hubiese hecho así: Dibujo.JPG ( 5.64k ) Número de descargas: 3 Sabemos que $TEX: $\overline {AC} = 12,\overline {AB} = 4$$ y $TEX: $\angle BAC = 120$$ . Entonces aplicamos el teorema del coseno para calcular $TEX: $\overline {BC}$$ $TEX: $\overline {BC} ^2 = 4^2 + 12^2 - 2 \cdot 4 \cdot 12 \cdot \cos 120$$ Entonces se concluye que $TEX: $\overline {BC} = 4\sqrt {13}$$ Aplicando el teorema de la bisectriz se deduce que: $TEX: $\overline {CD} = 3\sqrt {13} ,\overline {BD} = \sqrt {13} $$ Finalmente se determina $TEX: $\overline {AD} $$ utilizando el teorema de Stewart $TEX: $4\sqrt {13} \left( {\overline {AD} ^2 + 3\sqrt {13} \cdot \sqrt {13} } \right) = 12^2 \sqrt {13} + 4^2 \cdot 4\sqrt {13} $$ Entonces $TEX: $\overline {AD} = 3$$

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