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Prueba Individual M3, Octava Region

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 07:44 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 1}\\<br />Calcule el valor exacto de la siguiente suma: $$\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\ldots +\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$ \noindent \textbf{Problema 2}\\<br />Considerar un $\triangle ABC$ con $\angle BAC=120$, $AB=4$ y $AC=12$. Sea $AD$ la bisectriz del \'angulo $\angle BAC$ con $D$ sobre el lado $BC$. Determinar la longitud de $AD$.\\<br />\noindent \textbf{Problema 3}\\<br />Determinar todos los n\'umeros $n$ de $2$ d\'igitos tales que al dividir $2008$ por $n$ se obtiene resto $6$.$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Zeok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 08:07 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 75 Registrado: 10-May 07 Desde: Los Angeles - Chile Miembro Nº: 5.744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	mi solución al problema 2 formamos un paralelogramo con el triangulo ABC que ya tenemos... transportamos angulos de 60 grados y encontramos 2 triangulos equilateros... llamamos X a AD ....porque el segmento entero es 4 el segmento DQ es 4 - X entonces transportamos las medidas de ese segmento al nuevo segmento RP por ser paralela y usamos tales... 4 / 12 = 4 - X / 4 entonces X = 3 saludos! PD: perdón por el dibujo mal hecho xD Mensaje modificado por Zeok el Jun 7 2008, 09:20 PM Archivo(s) Adjunto(s) problema_2.PNG ( 16.54k ) Número de descargas: 10

Zeok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 09:17 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 75 Registrado: 10-May 07 Desde: Los Angeles - Chile Miembro Nº: 5.744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	mi solución al problema 1) racionalizando cada fracción ( multiplicando por su conjugado para que quede una resta de cuadrados ) nos queda... R = RAIZ - R4 + R5 + -R5 + R6 + - R6 + R7 + ... + - R98 + R99 + - R99 + R100 como podemos ver se van eliminando las raizes del medio quedandonos el primer y el último término... - R4 + R100 -2 + 10 8 ------> esa es la respuesta saludos! PD: perdón no se usar latex..... me quedaron las raices muuui chantas xDDD Mensaje modificado por Zeok el Jun 7 2008, 09:19 PM

Soul_Hunter Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 09:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 665 Registrado: 12-June 07 Desde: the city of the fallen angels Miembro Nº: 6.649 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Zeok @ Jun 7 2008, 09:07 PM) mi solución al problema 1) racionalizando cada fracción ( multiplicando por su conjugado para que quede una resta de cuadrados ) nos queda... R = RAIZ - R4 + R5 + -R5 + R6 + - R6 + R7 + ... + - R98 + R99 + - R99 + R100 como podemos ver se van eliminando las raizes del medio quedandonos el primer y el último término... - R4 + R100 -2 + 10 8 ------> esa es la respuesta saludos! PD: perdón no se usar latex..... me quedaron las raices muuui chantas xDDD Voy a traducir esto para q quede mas presentable xD $TEX: \[<br />\begin{array}{l}<br /> \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} \cdot \dfrac{{\sqrt 4 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 4 - \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 6 }} \cdot \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 6 }} + \ldots + \dfrac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }} \cdot \dfrac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }} \\[5mm] <br /> - \sqrt 4 + \cancel{\sqrt 5} - \cancel{\sqrt 5} + \cancel{\sqrt 6} - \cancel{\ldots} - \cancel{\sqrt {98}} + \cancel{\sqrt {99}} - \cancel{\sqrt {99}} + \sqrt {100} \\[5mm] <br /> \sqrt {100} - \sqrt 4 \\[5mm] <br /> 10 - 2 \\[5mm] <br /> \boxed{8} \\ <br /> \end{array}<br />\]$ --------------------

Zeok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 10:06 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 75 Registrado: 10-May 07 Desde: Los Angeles - Chile Miembro Nº: 5.744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Apolonio @ Jun 7 2008, 11:36 PM) Voy a traducir esto para q quede mas presentable xD $TEX: \[<br />\begin{array}{l}<br /> \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} \cdot \dfrac{{\sqrt 4 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 4 - \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 6 }} \cdot \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 6 }} + \ldots + \dfrac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }} \cdot \dfrac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }} \\[5mm] <br /> - \sqrt 4 + \cancel{\sqrt 5} - \cancel{\sqrt 5} + \cancel{\sqrt 6} - \cancel{\ldots} - \cancel{\sqrt {98}} + \cancel{\sqrt {99}} - \cancel{\sqrt {99}} + \sqrt {100} \\[5mm] <br /> \sqrt {100} - \sqrt 4 \\[5mm] <br /> 10 - 2 \\[5mm] <br /> \boxed{8} \\ <br /> \end{array}<br />\]$ gracias gran maestro apolonio =D

beltran Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 10:14 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 301 Registrado: 12-April 07 Miembro Nº: 5.135 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	problema 3: ojala este bien, creo k se hace asi $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 2002 \equiv 0(n) \hfill \\<br /> nk = 2002 \hfill \\<br /> 1)2008 \equiv 2(12) \hfill \\<br /> 2)2008 \equiv 0(22) \hfill \\<br /> 3)32 \hfill \\<br /> 4)42 \hfill \\<br /> 5)52 \hfill \\<br /> 6)62 \hfill \\<br /> 7)72 \hfill \\<br /> 8)82 \hfill \\<br /> 9)92 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ tenemos que 2002 es un multiplo del numero el cual estamos buscando, es decir nuestro numero de 2 cifras siempre debe terminar en 2 ya que se escribe como 10a+b donde 10a siempre termina en cero y b no varia es decir tenemos 9 numeros posibles donde solo 2002 da resto cero modulo 22 siendo el unico multiplo que tambien da resto 6 saludos -------------------- Ex alumno Instituto Alonso de Ercilla IAE sentimiento [ se hacen clases particulares cualquier duda enviar mp]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 01:33 AM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(beltran @ Jun 7 2008, 10:04 PM) problema 3: ojala este bien, creo k se hace asi $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 2002 \equiv 0(n) \hfill \\<br /> nk = 2002 \hfill \\<br /> 1)2008 \equiv 2(12) \hfill \\<br /> 2)2008 \equiv 0(22) \hfill \\<br /> 3)32 \hfill \\<br /> 4)42 \hfill \\<br /> 5)52 \hfill \\<br /> 6)62 \hfill \\<br /> 7)72 \hfill \\<br /> 8)82 \hfill \\<br /> 9)92 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ tenemos que 2002 es un multiplo del numero el cual estamos buscando, es decir nuestro numero de 2 cifras siempre debe terminar en 2 ya que se escribe como 10a+b donde 10a siempre termina en cero y b no varia es decir tenemos 9 numeros posibles donde solo 2002 da resto cero modulo 22 siendo el unico multiplo que tambien da resto 6 saludos Cuidado con eso, no tiene porque forzosamente terminar en 2. Solucion Problema 3 (Siguiendo con la Idea de beltran) Que 2008 dividido por n de resto 6 significa que $TEX: $2008=nk+6$$ donde k es el cuociente de la división. Luego $TEX: $nk=2002$$ por lo que n debe ser un divisor de 2002 (dije lo mismo que en tu post anterior, pero evite usar congruencia módulo, por si alguien no supiera de ello). Notemos entonces que $TEX: $2002=2\cdot 7\cdot 11\cdot 13$$ . Buscando los posibles divisores de 2 cifras, encontraremos a $TEX: $11,13,\underbrace{2\cdot 7}_{14}, \underbrace{2\cdot 11}_{22}, \underbrace{2\cdot 13}_{26}, \underbrace{7\cdot 11}_{77}, \underbrace{7\cdot 13}_{91}$$ . Con $TEX: $11\cdot 13$$ nos excedemos de las dos cifras, y de ahi cualquier otra combinacion no cumplira lo pedido. Mis Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 01:37 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Rurouni Kenshin @ Jun 8 2008, 02:24 AM) Cuidado con eso, no tiene porque forzosamente terminar en 2. Solucion Problema 3 (Siguiendo con la Idea de beltran) Que 2008 dividido por n de resto 6 significa que $TEX: $2008=nk+6$$ donde k es el cuociente de la división. Luego $TEX: $nk=2002$$ por lo que n debe ser un divisor de 2002 (dije lo mismo que en tu post anterior, pero evite usar congruencia módulo, por si alguien no supiera de ello). Notemos entonces que $TEX: $2002=2\cdot 7\cdot 11\cdot 13$$ . Buscando los posibles divisores de 2 cifras, encontraremos a $TEX: $11,13,\underbrace{2\cdot 7}_{14}, \underbrace{2\cdot 11}_{22}, \underbrace{2\cdot 13}_{26}, \underbrace{7\cdot 11}_{77}, \underbrace{7\cdot 13}_{91}$$ . Con $TEX: $11\cdot 13$$ nos excedemos de las dos cifras, y de ahi cualquier otra combinacion no cumplira lo pedido. Mis Saludos es pero exactamente lo mismo q puse en la prueba salu2 -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 01:39 AM Publicado: #9
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 8 2008, 01:28 AM) es pero exactamente lo mismo q puse en la prueba salu2 Felicitaciones, este año vamos por Medalla de Oro Felicitaciones a los que postearon, y una invitacion a Aprender Latex (si les es muy dificil, pueden usar Mathtype) Saludos PD: Creo que hay un programa llamado Geogebra que es muy bueno para hacer dibujos (que alguien lo confirme). PD: Muy novedosa la Solucion del de Geometria, no lo habia pensado asi (me recuerda mucho a ideas aprendidas en el Verano). PD: Intenten generalizar el P2, usando lados $TEX: $AB=a$$ , $TEX: $AC=b$$ y $TEX: $AD=x$$ . Seguramente llegaran a una suma de reciprocos de estos valores (y la mitad de una Media Armónica). Despues pueden generalizar aun mas usando Trigonometría, pensando que $TEX: $\measuredangle BAC=\gamma$$ . Finalmente intenten generalizar cuando sean conocidos los tres lados del triángulo (Oportunidad de usar el Teorema de Stewart y el Teorema de la Bisectriz). A este problema le pueden sacar mucho provecho, asi que manos a la obra -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 02:01 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Yo en el 2 use el teo del coseno 2 veces e hice un sistema algo asi: $TEX: \noindent Por el teo. de la bisectriz tenemos $BD=ak$ y $CD=bk$. Entonces por el teo del coseno obtenemos $$a^2+x^2-ax=(ak)^2$$ $$b^2+x^2-bx=(bk)^2$$ amplificando la primera por $b^2$ y la segunda por $a^2$ y luego restandolas obtenemos $(b-a)(x^2(b+a)-abx)=0\Rightarrow x=\frac{ab}{a+b}$.$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

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