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Maraton Preolímpica, A Resolver!!!

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2008, 02:11 PM Publicado: #21
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 14 2008, 02:21 AM) Un hint para los que se han cabesiado nomas! Completar algunas simetrías en las expresiones y trabajarla solo por una parte, ya que la desigualdad es ciclica. Ir bien hacia atras y luego hacer el orden logico. Use el hecho que $TEX: $a^4+b^4\ge a^3b+ab^3$$ (pruebelo usted mismo, pero no sea bruto =D) salu2 que PreOlimpico

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2008, 04:43 PM Publicado: #22
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 4'}\\<br />\noindent Determinar todos los enteros positivos $(x,y)$ tal que $3^x=2^y+7$$ he cambiado de problema ya que la solucion al anterior no era la que se esperaba ademas se salia de lo preolimpico, como bien dijo felipe xD salu2, la idea es que siga Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 16 2008, 04:44 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Zeok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2008, 08:38 PM Publicado: #23
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 75 Registrado: 10-May 07 Desde: Los Angeles - Chile Miembro Nº: 5.744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	problema numero 4 use congruencia modulo 16... tenemos que el 2^y es congruente a 0 modulo 16 despues de y>=4 entonces veamos el 3^x es congruente a 3, 9, 11, 1, 3, 9, 11, 1, 3..... y el término de la derecha siempre es congruente a 7 modulo 16 entonces no existen numeros naturales que cumplan con la condicion cuando x>=4... entonces analizamos los casos siguentes quedandono como unica solucion el x=2 y=1 =) Mensaje modificado por Zeok el Jun 18 2008, 08:39 PM

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2008, 10:39 PM Publicado: #24
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Zeok @ Jun 18 2008, 09:29 PM) problema numero 4 use congruencia modulo 16... tenemos que el 2^y es congruente a 0 modulo 16 despues de y>=4 entonces veamos el 3^x es congruente a 3, 9, 11, 1, 3, 9, 11, 1, 3..... y el término de la derecha siempre es congruente a 7 modulo 16 entonces no existen numeros naturales que cumplan con la condicion cuando x>=4... entonces analizamos los casos siguentes quedandono como unica solucion el x=2 y=1 =) solucion correcta por Zeok!!! felicitaciones socio! propone problema compadre =D salu2 luego pongo mi solucion que me hechan salu2 denueo ahora si $TEX: \noindent Notar que $y\ge 3$ tenemos $3^x\equiv 7(8)$ pero $3^x\equiv 1,3(8)$ por lo tanto $y<3$. Claramente $y=1\Rightarrow x=2$ es la \'unica pareja que cumple la ecuaci\'on.$ Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 18 2008, 11:52 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Zeok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2008, 05:35 PM Publicado: #25
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 75 Registrado: 10-May 07 Desde: Los Angeles - Chile Miembro Nº: 5.744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 5 encontrar todos los (m,n) naturales tal que $TEX: $1!+2!+...+n!=m^2$$

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2008, 08:26 PM Publicado: #26
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Zeok @ Jun 19 2008, 05:25 PM) Problema 5 encontrar todos los (m,n) naturales tal que $TEX: $1!+2!+...+n!=m^2$$ Si $TEX: $n > 4$$ $TEX: $1!+2!+3!+4!+\dots+n!=33+\underbrace{5!+\dots+n!}_{\text{terminados\ en\ } 0} \equiv 33 \equiv 3 \pmod{10}$$ $TEX: $m^2 \equiv 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 \equiv 0, 1, 4, 9, 6, 5 \pmod{10}$$ $TEX: $1!+ \dots +n! \not \equiv m^2 \pmod{10}$$ Luego, si $TEX: $n > 4$$ , no hay solucion, por lo tanto vemos los demas valores: $TEX: $1!=1=1^2 \implies m=n=1$$ $TEX: $1!+2!=1+2=3$$ , 3 no es cuadrado perfecto por lo que no sirve. $TEX: $1!+2!+3!=1+2+6=9=3^2 \implies n=m=3$$ $TEX: $1!+2!+3!+4!=33$$ , tampoco sirve Por lo tanto, $TEX: $(m,n)=(1,1),(3,3)$$ No se cuenta el 0 porque m,n son naturales salu2 -------------------- asdf

Zeok Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2008, 08:55 PM Publicado: #27
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 75 Registrado: 10-May 07 Desde: Los Angeles - Chile Miembro Nº: 5.744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(p.j.t @ Jun 19 2008, 10:17 PM) Si $TEX: $n > 4$$ $TEX: $1!+2!+3!+4!+\dots+n!=33+\underbrace{5!+\dots+n!}_{\text{terminados\ en\ } 0} \equiv 33 \equiv 3 \pmod{10}$$ $TEX: $m^2 \equiv 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 \equiv 0, 1, 4, 9, 6, 5 \pmod{10}$$ $TEX: $1!+ \dots +n! \not \equiv m^2 \pmod{10}$$ Luego, si $TEX: $n > 4$$ , no hay solucion, por lo tanto vemos los demas valores: $TEX: $1!=1=1^2 \implies m=n=1$$ $TEX: $1!+2!=1+2=3$$ , 3 no es cuadrado perfecto por lo que no sirve. $TEX: $1!+2!+3!=1+2+6=9=3^2 \implies n=m=3$$ $TEX: $1!+2!+3!+4!=33$$ , tampoco sirve Por lo tanto, $TEX: $(m,n)=(1,1),(3,3)$$ No se cuenta el 0 porque m,n son naturales salu2 iem solucion correcta bueno yo lo hice de la misma manera solo que enves de usar congruencia use las terminaciones de los cuadrados perfectos.. los cuales son 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 ...... y se va repitiendo pero el numero 3 nunca aparece en esto por lo tanto despues como en los factoriales las sumas en las unidades son cero y no modificaran a la unidad que es 3.. entonces no hay soluciones despues de esto.... entocnes las soluciones serian (1:1) (3;3) PD: perdon pero este problema ya ha sido publicado y no sabia... y tampoko tenia mas problemas xD Mensaje modificado por Zeok el Jun 19 2008, 08:55 PM

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2008, 09:50 PM Publicado: #28
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	supongo que debo postear un problema.. bueno aca va $TEX: \noindent \textbf{Problema 6.} \\ \indent Sea $ABC$ un tri\'angulo rect\'angulo y sobre los catetos $a, b$ y la hipotenusa $c$, se construyen tri\'angulos rect\'angulo is\'oceles. Los puntos $D, C, E, F$, son colineales. Desde los puntos $D, E$ y $F$ se trazan arcos de circunferencia como lo muestra la figura. \\<br />\indent Demostrar que el \'area achurada es igual al \'area del $\triangle ABC$$ p6.png ( 18.21k ) Número de descargas: 3 Salu2 -------------------- asdf

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2008, 11:23 PM Publicado: #29
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Denotando el area de los segmentos circulares como $TEX: $\left[ {AC} \right],\left[ {CB} \right] y \left[ {AB} \right]$$ , tenemos que el area achurada es $TEX: \[<br />\left[ {ABC} \right] + \left[ {AB} \right] - \left( {\left[ {AC} \right] + \left[ {CB} \right]} \right)<br />\]$ Partamos viendo que, como los segmentos circulares sobre AC, BC y AB provienen de triangulos rectangulos isosceles, estas figuras son semejantes, por lo que su area esta en la misma razon que el cuadrado de sus lados homologos. Esto es: $TEX: <br />\[<br />\frac{{\left[ {AC} \right]}}<br />{{AC^2 }} = \frac{{\left[ {CB} \right]}}<br />{{CB^2 }} = \frac{{\left[ {AB} \right]}}<br />{{AB^2 }}<br />\]$ Pero por pitagoras $TEX: $AC^2 + CB^2 = AB^2 $.$ Componiendo la proporcion tenemos: $TEX: \[<br />\frac{{\left[ {AC} \right] + \left[ {CB} \right]}}<br />{{AC^2 + CB^2 }} = \frac{{\left[ {AC} \right] + \left[ {CB} \right]}}<br />{{AB^2 }} = \frac{{\left[ {AB} \right]}}<br />{{AB^2 }} \Rightarrow \left[ {AC} \right] + \left[ {CB} \right] = \left[ {AB} \right]<br />\]<br />$ finalmente reemplazamos en la expresion inicial del area obteniendo lo pedido $TEX: \[<br />\left[ {ABC} \right] + \left[ {AB} \right] - \left( {\left[ {AC} \right] + \left[ {CB} \right]} \right) = \left[ {ABC} \right] + \left[ {AB} \right] - \left( {\left[ {AB} \right]} \right) = \left[ {ABC} \right]<br />\]<br />$ --------------------

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2008, 09:08 PM Publicado: #30
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Correcto! xD Mi solucion Dibujo.jpg ( 14.22k ) Número de descargas: 0 Usaremos la notacion de la figura. Notar que el arco AC es un cuarto de una circunferencia de radio DC Luego $TEX: $\begin{aligned} A_1&=A_{arco\ AC}-A_{\blacktriangle ADC} \\ &=\dfrac14 \cdot {\pi DC^2}-\dfrac{AD \cdot DC}2 \\ &=\dfrac{\pi DC^2}4-\dfrac{DC^2}2 \\ &=\dfrac{\pi b^2}8 - \dfrac{b^2}4 \\ &=\dfrac{b^2}8 (\pi-2) \end{aligned}$$ Analogamente, $TEX: $A_2=\dfrac{a^2}8 (\pi-2), A_3=\dfrac{c^2}8 (\pi-2)$$ Luego, por pitagoras $TEX: $\begin{aligned} a^{2}+b^2&=c^2 \Big/ \cdot \dfrac{\pi-2}8 \\ \dfrac{a^2}8 (\pi-2) + \dfrac{b^2}8 (\pi-2) &= \dfrac{c^2}8 (\pi-2) \\ A_1+A_2&=A_3 \end{aligned}$$ Sumandole a cada lado, el area 4 obtenemos lo pedido. Si no se entiende digan nomas.. xD salu2 -------------------- asdf

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