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Maraton Preolímpica, A Resolver!!!

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2008, 11:18 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Primero que todo, disculpen por la tardanza una serie de imprevistos se me presentaron hasta tal punto que en este momento estoy escribiendo con ropa de colegio ... weno... nada mas que agradecer la ayuda de The Lord, usuario que auspiciara esta maratón y a Kenshin por permitir que esto se pueda hacer. ...De todas formas, comienza la.... MARATON PREOLIMPICA Reglas: 1.- Cualquier usuario puede participar. 2.- TODOS los problemas posteados deben ser de estilo olimpiadas. 3.- Se comienza de la siguiente manera: Posteo un problema, el cual será resuelto por algún usuario X entonces lo reviso y si es que esta bueno, posteo mi solucion para que X postee el siguiente problema de la maraton. Así un usuario Y respondera el problema de X, X revisará, posteará su solución e Y posteará un nuevo problema, y así sucesivamente. 4.- El usuario respondedor DEBE tener un problema preparado antes de postear una solución. 5.- Las respuestas deben usar latex. 6.- Al responder un problema de geometría, se debe adjuntar una imagen para mayor claridad. 7.- Cualquier duda por MP. 8.- Postear solo : Soluciones, Hints, recomendaciones útiles. salu2 y MUCHISIMA SUERTE!!! $TEX: \noindent \textbf{Problema 1}\\<br />\\<br />\noindent Considere un $\angle AKS$ un \'angulo obtuso en el plano. Construya euclidianamente (usando s\'olo regla y comp\'as) un tri\'angulo $ABC$ que tenga las siguientes propiedades:\\<br />1) $S$ es el punto medio de $BC$.\\<br />2) $K$ es la interseccion de la bisectriz del $\angle A$ del $\triangle ABC$ con $BC$.\\<br />$ edit: cierto, era obtuso, lo siento Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 13 2008, 11:58 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 03:03 AM Publicado: #2
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea $ABC$ un triangulo cualquiera. Dibujamos su circunferencia circunscrita, y la simetral correspondiente a $AB$, que intersecta a la circunferencia en $D$. Asi podemos notar que $CD$ bisectriz (la simetral divide el arco $AB$ en arcos iguales). Entonces por suma de angulos es facil ver que $\alpha \geqslant 90$$ 1111234.PNG ( 9.67k ) Número de descargas: 0 $TEX: De esto podemos observar que no es posible realizar lo pedido.$ $TEX: $\bullet$ Ahora, si el problema fuera dando un angulo $AKS$ obtuso, si es posible construir tal triangulo.<br />$ 2222222222222222.PNG ( 13.38k ) Número de descargas: 0 $TEX: \noindent Trazamos una perpendicular por $S$. Prolongamos $AK$, hasta que intersecte a dicha perpendicular en $D$. Trazando la simetral de $AD$, en la interseccion con $SD$, encontramos a $O$, que es el centro de la circunferencia circunscrita al $\blacktriangle ABC$. Con radio $OA$ dibujamos tal circunferencia. \<br />Prolongamos $KS$ y hallamos $C$ y $B$ en las intersecciones de $KS$ con la circunferencia. Finalmente constatamos que como $SD$ es simetral, los arcos $CD$ y $DB$ son iguales, siendo asi $AD$ bisectriz, intersectando en $K$ a $CB$, y como $S$ es punto medio de $AB$, hemos cumplido con las condiciones pedidas para el $\blacktriangle ABC$ $\square$.$ mañana tengo preu, asi que si ta weno, voy a poder postear mi problema en la tarde no mas --------------------

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 07:59 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(CyedqD @ Jun 7 2008, 03:53 AM) $TEX: Sea $ABC$ un triangulo cualquiera. Dibujamos su circunferencia circunscrita, y la simetral correspondiente a $AB$, que intersecta a la circunferencia en $D$. Asi podemos notar que $CD$ bisectriz (la simetral divide el arco $AB$ en arcos iguales). Entonces por suma de angulos es facil ver que $\alpha \geqslant 90$$ 1111234.PNG ( 9.67k ) Número de descargas: 0 $TEX: De esto podemos observar que no es posible realizar lo pedido.$ $TEX: $\bullet$ Ahora, si el problema fuera dando un angulo $AKS$ obtuso, si es posible construir tal triangulo.<br />$ 2222222222222222.PNG ( 13.38k ) Número de descargas: 0 $TEX: \noindent Trazamos una perpendicular por $S$. Prolongamos $AK$, hasta que intersecte a dicha perpendicular en $D$. Trazando la simetral de $AD$, en la interseccion con $SD$, encontramos a $O$, que es el centro de la circunferencia circunscrita al $\blacktriangle ABC$. Con radio $OA$ dibujamos tal circunferencia. \<br />Prolongamos $KS$ y hallamos $C$ y $B$ en las intersecciones de $KS$ con la circunferencia. Finalmente constatamos que como $SD$ es simetral, los arcos $CD$ y $DB$ son iguales, siendo asi $AD$ bisectriz, intersectando en $K$ a $CB$, y como $S$ es punto medio de $AB$, hemos cumplido con las condiciones pedidas para el $\blacktriangle ABC$ $\square$.$ mañana tengo preu, asi que si ta weno, voy a poder postear mi problema en la tarde no mas Respuesta correcta aquí va mi solución $TEX: \noindent Se traza una perpendicular $l$ por $S$ wrt $KS$.\\<br />Se proyecta $AK$ hacia $K$ obteniendo $X=AK\cap l$.\\<br />Se traza la mediatriz de $AX$ que corta a $SX$ en $M$.\\<br />Se dibuja una circunferencia $w$ de radio $MX=MA$ y centro $M$.\\<br />Sean $B,C$ los cortes de $KS$ con $w$.\\<br />El tri\'angulo $ABC$ construido cumple todas las propiedades.$ esperamos su problema don CyedqD. salu2 =D -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 08:12 PM Publicado: #4
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \bf{Problema 2}$ $TEX: <br />Hallar los valores enteros de $n$ y $m$, tal que la suma de los terminos de la siguiente sucesion $$n + 1\text{ };\text{ }n + 2\text{ };\text{ }n + 3\text{ };\text{ }...\text{ };\text{ }n + m$$<br /><br />sea igual a 1000<br />$ --------------------

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 09:13 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $S$ la suma de los t\'erminos. Tenemos $$S=(n+1)+(n+2)+\ldots (n+m-1)+(n+m)$$ $$S=(n+m)+(n+m-1)+\ldots (n+2)+(n+1)$$ Sumando hacia abajo obtenemos $$2S=\underbrace{(2n+m+1)+\ldots (2n+m+1)}_{m\ veces}$$ $$\Rightarrow S=\dfrac{m(2n+m+1)}{2}$$ que debe ser igual a $1000$. Entonces $$2000=m(2n+m+1)$$ pero $2000=2^4\cdot 5^3$ entonces como $m$ debe dividir a $2000$ tenemos\\ $m\in\{1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,125,200,250,400,500,1000,2000\}$. Mediante una inspecci\'on de proporciones \textbf{b\'iblicas} se llega a que los d\'uos son $$(n,m)=\{(999,1)\ (197,5)\ (54,16)\ (27,25)\ (-198.400)\ (-1000,2000)\ (-55,125)\ (-28,80)\}$$$ editado, ahora si que si Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 7 2008, 11:23 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 09:20 PM Publicado: #6
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 7 2008, 10:03 PM) $TEX: \noindent Sea $S$ la suma de los t\'erminos. Tenemos $$S=(n+1)+(n+2)+\ldots (n+m-1)+(n+m)$$ $$S=(n+m)+(n+m-1)+\ldots (n+2)+(n+1)$$ Sumando hacia abajo obtenemos $$2S=\underbrace{(2n+m+1)+\ldots (2n+m+1)}_{m\ veces}$$ $$\Rightarrow S=\dfrac{m(2n+m+1)}{2}$$ que debe ser igual a $1000$. Entonces $$2000=m(2n+m+1)$$ pero $2000=2^4\cdot 5^3$ entonces como $m$ debe dividir a $2000$ tenemos\\ $m\in\{1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,125,200,250,400,500,1000,2000\}$. Mediante una inspecci\'on de proporciones \textbf{b\'iblicas} se llega a que los d\'uos son $$(n,m)=\{(999,1)\ (197,5)\ (54,16)\ (27,25)\}$$$ Solucion incorrecta. --------------------

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 10:47 PM Publicado: #7
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 7 2008, 10:03 PM) $TEX: \noindent Sea $S$ la suma de los t\'erminos. Tenemos $$S=(n+1)+(n+2)+\ldots (n+m-1)+(n+m)$$ $$S=(n+m)+(n+m-1)+\ldots (n+2)+(n+1)$$ Sumando hacia abajo obtenemos $$2S=\underbrace{(2n+m+1)+\ldots (2n+m+1)}_{m\ veces}$$ $$\Rightarrow S=\dfrac{m(2n+m+1)}{2}$$ que debe ser igual a $1000$. Entonces $$2000=m(2n+m+1)$$ pero $2000=2^4\cdot 5^3$ entonces como $m$ debe dividir a $2000$ tenemos\\ $m\in\{1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,125,200,250,400,500,1000,2000\}$. Mediante una inspecci\'on de proporciones \textbf{b\'iblicas} se llega a que los d\'uos son $$(n,m)=\{(999,1)\ (197,5)\ (54,16)\ (27,25)\ (-198.400)\ (-1000,2000)\ (-55,125)\ (-28,80)\}$$$ editado, ahora si que si EDIT: Corregida la respuesta, ahora si esta correcta. mi solucion: $TEX: La suma pedida es$ $TEX: \[<br />\underbrace {\left( {n + 1} \right) + \left( {n + 2} \right) + \left( {n + 3} \right)... + \left( {n + m} \right)}_{\text{m terminos}} = 1000<br />\]<br />$ o sea: $TEX: \[<br />mn + \frac{{m\left( {m + 1} \right)}}<br />{2} = 1000<br />\]$ factorizando $TEX: \[<br />2nm + m\left( {m + 1} \right) = m\left( {2n + m + 1} \right) = 2000 = 2^4 \cdot 5^3 <br />\]<br /><br />$ Notando que $TEX: \[<br />m<br />\]$ y $TEX: \[<br />\left( {2n + m + 1} \right)<br />\]$ tienen diferente paridad, analizamos los distintos casos, de los que obtenemos los pares solucion: $TEX: \[<br />\left( {m,n} \right):\text{ }\left( {5;197} \right);\left( {16;54} \right);\left( {25;27} \right);\left( {80; - 28} \right);\left( {125; - 55} \right);\left( {400; - 198} \right);\left( {2000; - 1000} \right);(999,1)<br />\]$ --------------------

Arthas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 10:53 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.981 Registrado: 9-August 06 Desde: maipú Miembro Nº: 1.881 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	el (-33,80) da en la ecuacion 1200 y no 2000 -------------------- CITA(Zephyr~ @ Jan 14 2010, 12:19 PM) Que tiene de honorbale sacar menos de 850?, pff :G: CITA(egadoobkn @ Mar 25 2010, 12:19 PM) holaaa me llamo edgardo y me la como atravesá =P=P=P=P CITA(Abu-Khalil @ Jul 23 2009, 05:16 PM) La idea es que no se cierren a ser nacional o nada, porque serlo... vale callampa :G: Algunas frases recopiladas en el tiempo Algunas veces , soy discontinuo, no acato limites Pero donde caben 9 caben 10 y asi se forma un conjunto inductivo La felicidad no es hacer lo que uno quiere, sino querer lo que uno hace Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas Señor aristóteles dice: todo hombre que consume carne se vuelve violento, el ser humano no tiene necesidad de consumirlas, fisionómicamente no somos aptos para tales actos, poseemos acaso grandes incisivos como los animales carnívoros?? “El secreto de la creatividad es el saber ocultar tus fuentes.” “Yo nunca pienso en el futuro. Llega demasiado pronto.” "El que vive de rodillas vee a sus enemigos grandes" "El genio es 1% de inspiración y 99% sudor" "Ojo por Ojo y el mundo se queda ciego" "Diente por diente y los odontologos se hacen ricos" Hubo una vez un hombre que decidió aprender a matar dragones, e invirtió cuanto poseía en dominar el arte. Tras varios años de arduos estudios, hubo de concluir que... no había dragones. (Antiguo proverbio chino) "La verdad no demanda creencias. Los científicos no unen sus manos cada domingo, cantando '¡Sí, la gravedad es real! ¡Tendré fe! ¡Seré fuerte! Creo en mi corazón que lo que sube tiene que bajar. ¡Amén!'. Si lo hicieran, pensaríamos que están bastante inseguros de ello." Dan Barker ex-predicador "Sí Jesús hubiera sido ejecutado hace veinte años, los niños católicos irían a la escuela con sillitas eléctricas en sus cuellos en lugar de cruces". Lenny Bruce "¿La definición de mitología en una oración? 'Mitología', es lo que llamamos a las religiones de otras personas". Joseph Campbell antropólogo estadounidense "Los dioses son cosas frágiles; pueden ser asesinados con un atisbo de ciencia o una dosis de sentido común". Chapman Cohen "La ignorancia genera confianza más frecuentemente que el conocimiento, son aquellos que saben poco, y no esos que saben más, quienes tan positivamente afirman que este o aquel problema nunca será resuelto por la ciencia". Charles Darwin "Pero para esta época, 1836 a 1839, yo había comenzado a ver, gradualmente, que el Viejo Testamento, desde su manifiesta falsa historia del mundo, con su Torre de Babel, el arcoiris de señal, etc., etc., y desde atribuirle a Dios los sentimientos de un tirano vengativo, no era más de confiar que los libros sagrados de los hindúes o las creencias de cualquier bárbaro". Charles Darwin "Todos somos ateos respecto a la mayoría de dioses en los que la humanidad ha creído alguna vez. Algunos de nosotros simplemente vamos un dios más allá". Richard Dawkins "La realidad es aquello que, cuando dejas de creer en ella, no desaparece". Philip K. Dick "No puedo imaginarme a un dios que premia y castiga a los objetos de su creación, cuyos propósitos han sido modelados bajo el suyo propio; un dios que no es más que el reflejo de la debilidad humana. Tampoco creo que el individuo sobreviva a la muerte de su cuerpo: esos no son más que pensamientos de miedo o egoísmo de lo mas ridículo". Albert Einstein "Un mito es una religión en la que ya nadie cree". James Feibleman filósofo estadounidense "La religión es comparable con la neurosis infantil". Sigmund Freud No, nuestra ciencia no es una ilusión. Pero sí sería una ilusión suponer que lo que la ciencia no puede darnos lo podemos encontrar en otro lugar". Sigmund Freud “Los sentimientos de 'amor y temor de dios' no tienen su origen en dios, si no en los seres humanos. Son sentimientos de frustración dirigidos por el hombre a un ser imaginario que pretende sea su padre..." Sigmund Freud "La mayoría de los hombres prefiere y encuentra más fácil creer que tomarse el trabajo y la preocupación de investigar". León de Gandarías “La religión es el opio del pueblo”. Karl Marx. "Los seres humanos pueden vivir sin dioses pero los dioses le deben la vida a los seres humanos, es decir, son una extensión imaginaria de la realidad, el resultado de una insatisfacción". Luís García Montero, poeta granadino "Si vamos a enseñar 'la ciencia de la creación' como una alternativa a la evolución entonces, también deberíamos enseñar la teoría de la cigüeña como una alternativa a la reproducción biológica". Judith Hayes "Lo que he hecho es mostrar que es posible que la forma en que comenzó el universo esté determinada por las leyes de la ciencia. En ese caso, no sería necesario apelar a Dios para decidir cómo comenzó el universo. Esto no prueba que no exista dios, sólo que Dios no es necesario". Stephen W. Hawking "Día vendrá en que el engendramiento de Jesús por el Supremo Hacedor como su padre, en el vientre de una virgen, será clasificado junto a la fábula de la generación de Minerva en el cerebro de Júpiter." Tomás Jefferson "Ahora se suele criticar a la televisión por transmitir tanta violencia, cuando más cruel ha sido la Biblia: en sus páginas se come a niños, se llama a matar a los enemigos, se queman casas, se sacan los ojos a los hombres. Los dueños de la televisión moderna no han inventado nada nuevo" Ryszard Kapuscinski periodista y escritor polaco "¡Desde tiempos inmemoriables es sabido cuán provechosa nos ha resultado esa fábula de Jesucristo" Papa León X "El último cristiano murió en la cruz". Friedrich Wilhelm Nietzsche "Argumentar con una persona que ha renunciado a la lógica, es como dar medicina a un hombre muerto". Thomas Paine "Cuando una persona padece delirios se le llama locura. Cuando muchas personas padecen de un delirio, se le llama religión". Robert M. Pirsig "Yo digo que ambos somos ateos. Yo sólo creo en un dios menos que tu. Cuando entiendas porqué tu deshechas todos los otros posibles dioses, entonces entenderás porqué yo deshecho el tuyo". Stephen F. Roberts "La vida es sólo un vistazo momentáneo de las maravillas de este asombroso universo, y es triste que tantos la estén malgastando soñando con fantasías espirituales". Carl Sagan astrónomo estadounidense 1934-1996 "Si quieres salvar a tu hijo del polio puedes rezar o puedes vacunarlo... Aplica la ciencia". Carl Sagan astrónomo estadounidense 1934-1996 "No puedes convencer a un creyente de nada porque sus creencias no están basadas en evidencia, están basadas en una enraizada necesidad de creer". Carl Sagan "¿Por qué debemos aceptar los consejos del papa sobre sexo? Si el sabe algo al respecto, pues, ¡no debería!" George Bernard Shaw "El hecho que un creyente pueda ser más feliz que un escéptico es tan cierto como decir que el borracho es más feliz que el hombre sobrio". George Bernard Shaw "No hemos perdido la fe pero la hemos transferido de Dios a la profesión médica". George Bernard Shaw "Ahora ya sabemos que el alma es el cuerpo y el cuerpo el alma. Nos dicen que son diferentes porque quieren persuadirnos de que podemos quedarnos con nuestras almas si los dejamos esclavizar nuestros cuerpos". George Bernard Shaw "Estoy harto de todas las religiones. La religión ha dividido a la gente. No creo que haya diferencia entre el Papa usando su sombrero grande, paseando entre feligreses con una cartera humeante y un africano pintándose la cara blanca y rezándole a una piedra". Howard Stern "Si hablas con Dios estás rezando; si Dios te habla a ti tienes esquizofrenia". Thomas Szasz "Alguien me dijo: sigue los pasos de Jesus, nunca cruces los brazos porque el hombre más grande del mundo murió con los brazos abiertos.Yo le respondí: voy a cruzar los brazos y voy a ser el hombre más pequeño, porque no pienso morir pobre, casto ni traicionado hasta por mi padre". Gaston Techera "Es una de las supersticiones de la mente humana imaginarse que la virginidad pueda ser una virtud". Voltaire "Un sabio a la voz ¡salta!, lograba que cada una de las pulgas de su colección se introdujera en un frasco. Arrancó a una pulga las patas traseras y al ordenar ¡salta!, la pulga no saltó, y lo mismo ocurrió tras arrancar las patas a todas las demás. El sabio, entusiasmado, anotó en su cuaderno: Cuando se le quitan las patas traseras a una pulga deja de oír." 'Los tristes piensan que el viento gime, los alegres piensan que canta'.

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 11:25 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	cosas como los posts anteriores, por favor comunicar por MP no posteen cosas que no sean respuestas ah y sobre la mia, la he editado como 1000 veces xD porque me ekivoco en una suma, típico xD weno, espero que este bien, si es que lo está, aki mismo posteo mi problema, para no ocupar OTRO post. salu2 $TEX: \noindent \textbf{Problema 3}\\<br />Pruebe que la ecuaci\'on $x^2+(x+1)^2=y^2$ tiene infinitas soluciones enteras.$ Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 7 2008, 11:46 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2008, 07:34 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	No se si esta bien, pero lo que hice fue lo siguiente: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x^2 + (x + 1)^2 = y^2 \hfill \\<br /> x^2 + x^2 + 2x + 1 = y^2 \hfill \\<br /> 2x^2 + 2x + 1 = y^2 \hfill \\<br /> {\text{De este podemos decir que }}a = 2,b = 2 \wedge c = 1,{\text{luego}} \hfill \\<br /> \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}<br />{{2a}} \to \frac{{ - 2 \pm \sqrt {2^2 - 4 \bullet 2 \bullet 1} }}<br />{{2 \bullet 2}} \hfill \\<br /> \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 8} }}<br />{4} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt { - 4} }}<br />{4} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Llego hasta ahi, pero luego de esa raiz, en el numerador me pierdo. Si alguien me puede ayudar. Saludos -------------------- CHAO.

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