Primer Nivel Individual

Primer Nivel Individual, Santiago, etc.

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2008, 09:45 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	1. Sea un número de $TEX: $3$$ cifras $TEX: $(abc)$$ existen $TEX: $6$$ combinaciones posibles de números de $TEX: $3$$ cifras ocupando los mismos dígitos $TEX: $(abc,acb,bac,bca,cab,cba)$$ . Sea $TEX: $n$$ igual a la suma de los $TEX: $3$$ digitos que forman el número. Demostrar que la suma de los $TEX: $6$$ términos formados por estos dígitos es divisible por $TEX: $n$$ . ¿Cuánto da el resultado de ésta división? 2. Para ir a la casa de su abuela, Margarita, Camilo hace siempre el mismo recorrido, como se muestra en la figura. El punto $TEX: $A$$ corresponde a la casa de Camilo y el punto $TEX: $G$$ a la casa de su abuela. Se tiene que $TEX: $\overline{AB}=8m., \overline{CD}=12m., \overline{FG}=3m$$ . y $TEX: $\overline{DE}=16m.$$ . En el trayecto $TEX: $\overline{BC}$$ y $TEX: $\overline{EF}$$ son semicircunferencias. La primera de radio $TEX: $3$$ metros y la segunda de dos metros. $TEX: \noindent $a)$$ Calcule la distancia recorrida por Camilo para llegar a la casa de su abuela. $TEX: \noindent $b)$$ Calcule la distancia entre las casas de Camilo y la de su abuela. Saludos

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2008, 10:05 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Jun 1 2008, 12:36 AM) 1. Sea un número de $TEX: $3$$ cifras $TEX: $(abc)$$ existen $TEX: $6$$ combinaciones posibles de números de $TEX: $3$$ cifras ocupando los mismos dígitos $TEX: $(abc,acb,bac,bca,cab,cba)$$ . Sea $TEX: $n$$ igual a la suma de los $TEX: $3$$ digitos que forman el número. Demostrar que la suma de los $TEX: $6$$ términos formados por estos dígitos es divisible por $TEX: $n$$ . ¿Cuánto da el resultado de ésta división? Solucion: $TEX: \noindent Sea $S$ la suma de cada una de las seis combinaciones. Debemos probar que $n=a+b+c\|S$. Vamos a escribir cada una de las seis combinaciones de $(abc)$ en su expresion decimal. Tenemos $(abc)=100a+10b+c$ (1). $(acb)=100a+10c+b$ (2). $(bac)=100b+10a+c$ (3). $(bca)=100b+10c+a$ (4). $(cab)=100c+10a+b$ (5) y por ultimo $(cba)=100c+10b+a$ (6). Luego $S=(1)+(2)+...+(6)=100a+100a+10a+10a+a+a+100b+100b+10b+10b+b+b+100c+100c+10c+10c+c+c=222a+222b+2<br />22c=222(a+b+c)$, que es un multiplo de $n=a+b+c$, por ende, este resultado es divisible por $n$. Respondiendo a la pregunta, lo pedido es $\dfrac{S}{n}=\dfrac{222(a+b+c)}{a+b+c}=222$.$ Saludos Mensaje modificado por xsebastian el Jun 1 2008, 10:10 AM

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2008, 10:08 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P1 Un numero $TEX: $abc$$ se puede escribir de la forma $TEX: $100a+10b+c$$ Luego sumaremos por partes: $TEX: $\begin{aligned} abc+acb=100a+10b+c+100a+10c+b&=200a+11b+11c \\ bac+bca=100b+10a+c+100b+10c+a&=200b+11a+11c \\ cba+cab=100c+10b+a+100c+10a+b&=200c+11a+11b \end{aligned}$$ Sumando $TEX: $\begin{aligned} abc+acb+bac+bca+cab+cba&=200a+200b+200c+11a+11b+11c+a+b+c \\ &=222a+222b+222c \\ &=222(a+b+c) \end{aligned}$$ No es dificil darse cuenta que $TEX: $n=a+b+c$$ Ahora: $TEX: $\dfrac{abc+acb+bac+bca+cab+cba}{n}=\dfrac{222(a+b+c)}{a+b+c}=222$$ Como el resultado es entero, la suma es divisible por $TEX: $n$$ , demostrando lo pedido. El resultado es 222 salu2 aaa me ganaron xD -------------------- asdf

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2008, 10:34 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P2 a) Lo pedido es: $TEX: $S=\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{DE}+\overline{FG}+\hat{BC}+\hat{EF}$$ La medida de una semicircunferencia es el radio multiplicado por $TEX: $\pi$$ , claro: $TEX: $\dfrac{2\pi r}{2}= \pi r$$ Luego calculando: $TEX: $S=8$m$+12$m$+16$m$+3$m$+3 \pi$ m $+ 2 \pi$ m$=39$m+$5 \pi $m$=(39+5\pi)$m$ b) CMATp2.PNG ( 5.97k ) Número de descargas: 0 Usaremos la notacion de la figura Viendo unos rectangulos que se forman, podemos calcular AX $TEX: $AV=BC=6m$$ $TEX: $VW=CD=12m$$ $TEX: $WX=EF=4m$$ $TEX: $AX=AV+VW+WX=6m+12m+4m=22m$$ Tambien se puede calcular GX $TEX: $XY=AB=8m$$ $TEX: $YZ=DE=16m$$ $TEX: $ZG=FG=3m$$ (pase a hacer Z=F xD) $TEX: $XG=XY+YZ+ZG=8m+16m+3m=27m$$ Para calcular la distancia AG, usamos el teorema de pitagoras $TEX: $AG^2=(22m)^2+(27m)^2=484m^2+729m^2=1213m^2$$ $TEX: $AG=\sqrt{1213}m$$ Creo que me equivoque en la parte b, porque ese numero... xD salu2 -------------------- asdf

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 10:15 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Felicitaciones a ambos, todas las soluciones están correctas. Apenas tuve que corregir un error de tipeo en la primera solución de Felipe. La solución a la parte b del problema geométrico es correcta. No hay que asustarse por obtener $TEX: $\sqrt{1213}$$ . Un saludo -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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