Tercer Nivel Individual

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2008, 08:42 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	1. Considere un número real $TEX: $X=0,x_0x_1x_2x_3x_4\ldots{x_n}\ldots$$ , en donde las cifras $TEX: $x_n$$ toman valores en $TEX: $\{0, 1, \ldots, 9\}$$ . Las cifras $TEX: $x_0, x_1, x_2$$ son dadas y para cada $TEX: $n\ge{2}$$ se define $TEX: $x_{n+1}$$ como la cifra de las unidades del resultado de $TEX: $2008x_{n-2}+2003x_{n-1}+x_n$$ . Pruebe que $TEX: $X$$ es un número racional. 2. Se tienen dos mil ocho números $TEX: $a_1, \ldots, a_{2008}$$ distintos de cero. Se sabe que cada término, salvo el primero y el último, es igual a la multiplicación de los términos adyacentes a él. Calcule $TEX: $a_1\cdot{a_{2008}}$$ . -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2008, 09:20 PM Publicado: #2
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La 2 me salio en 5 minutos cuando llegue a la casa, pero en la prueba llegue a lo mismo pero la justificacion no es muy buena $TEX: Sabemos que $a_n=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ y $a_{n-1}=a_{n-2}\cdot a_n$ con $n-2>0$$ Entonces de esto tenemos $TEX: $1=a_{n-1}\cdot a_{n+2}$$ Entonces con $TEX: $a_1$$ tenemos que $TEX: $a_1\cdot a_4=1$$ $TEX: $a_4\cdot a_7=1$$ Por tanto $TEX: $a_1=a_7$$ De la misma manera llegamos a que $TEX: $a_7=a_{13}$$ Por tanto $TEX: $a_1$$ es igual a todos los $TEX: $a_i$$ con i entre 1 y 2008, talque $TEX: $i=1+6j$$ donde j es natural No podemos dar cuenta que 2005 tiene esa forma $TEX: $2005=1+6\cdot 334$$ Entonces $TEX: $a_1=a_{2005}$$ Entonces $TEX: $a_1\cdot a_{2008}= a_{2005}\cdot a_{2008}=a_{2006-1}\cdot a_{2006+2}$ Por la definicion que dimos antes, esto es igual a 1$ Entonces $TEX: $a_1\cdot a_{2008}=1$$ Lastima que no lo explique asi en la prueba Mensaje modificado por xsebastian el Jun 1 2008, 10:25 AM Razón de edición: Error de tipeo en una de las últimas líneas (con un subíndice) -------------------- ...

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 11:10 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución al problema es correcta, felicitaciones. A pesar de no tener un problema de geometría, esta prueba es interesante, por las técnicas necesarias para resolver los ejercicios. Todavía estamos a la espera de la solución para el primer problema. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Markhoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2008, 07:50 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 7 Registrado: 1-June 08 Miembro Nº: 25.435 Nacionalidad: Sexo:	hola a todos y participo en CMAT y me interesa muchisimo saber el resultado del primer problema ya que yo no he podido resolberlo... por favor que alguien lo realice y lo exponga ..... de ante manos gracias

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2008, 11:12 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Markhoz @ Jun 19 2008, 07:41 PM) hola a todos y participo en CMAT y me interesa muchisimo saber el resultado del primer problema ya que yo no he podido resolberlo... por favor que alguien lo realice y lo exponga ..... de ante manos gracias Lo pedido en el problema se reduce a probar que la sucesión se vuelve periódica a partir de algún momento (pues los decimales periódicos o semi periódicos son racionales) Consideremos los infinitos números de tres cifras $TEX: $x_1x_2x_3$$ , $TEX: $x_2x_3x_4$$ , $TEX: $x_3x_4x_5$$ , y así indefinidamente. Entonces es claro que al menos dos de estos números son iguales, esto pues la cantidad de números que podemos formar con tres cifras es finita (desde el $TEX: $000$$ hasta el $TEX: $999$$ ) Sean $TEX: $x_px_{p+1}x_{p+2}$$ y $TEX: $x_qx_{q+1}x_{q+2}$$ estos dos números ( $TEX: $p<q$$ ), entonces $TEX: $x_px_{p+1}x_{p+2}=x_qx_{q+1}x_{q+2}$$ y por tanto $TEX: $x_p=x_q$$ , $TEX: $x_{p+1}=x_{q+1}$$ y $TEX: $x_{p+2}=x_{q+2}$$ Entonces, por la recursividad de la sucesión (que cada término depende de los tres anteriores), se tiene que $TEX: $x_{p+3}=x_{q+3}$$ , $TEX: $x_{p+4}=x_{q+4}$$ , y así sucesivamente. Por tanto la sucesión es periódica a partir de $TEX: $x_p$$ . Gráficamente: $TEX: $X = 0,x_1 x_2 ...x_{p - 1} \underbrace {\overline {x_p x_{p + 1} ...x_{q - 2} x_{q - 1} } }_{q - p{\text{ t\'erminos}}}$$ (la sucesión tiene período $TEX: $(q-p)$$ , esto es, $TEX: $x_k=x_{k+q-p}$$ , para $TEX: $k\ge p$$ ) (nótese que no tiene importancia la fórmula de la recurrencia, sino solamente que ésta existe) -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

Markhoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2008, 09:01 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 7 Registrado: 1-June 08 Miembro Nº: 25.435 Nacionalidad: Sexo:	gracias!!!!! eres pro!!!

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