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Cuarto Nivel Individual, Santiago y otros.

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 12:05 AM Publicado: #11
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Ya, una solucion feita para el 2: P2: Primero demostrare un "lema" que ayudara al problema: $TEX: Lema:$ ___55.PNG ( 6.74k ) Número de descargas: 0 $TEX: \[<br />\text{Si }CD//L\text{ }\text{, } \stackrel{\displaystyle\frown}{CE} =\stackrel{\displaystyle\frown}{ED}<br />\]<br />$ $TEX: Demostracion:$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{Denotemos } \stackrel{\displaystyle\frown}{ED} = 2\gamma \text{ y } \stackrel{\displaystyle\frown}{DB} = 2\omega \text{. Por angulo semiinscrito }\angle BEL = \gamma + \omega \hfill \\<br /> \text{Por paralelas }\angle BEL = \angle BMD.\text{ Pero }\angle BMD = \omega + \frac{\stackrel{\displaystyle\frown}{CE}}<br />{2} = \gamma + \omega \hfill \\<br /> \text{De esto se concluye que } \stackrel{\displaystyle\frown}{CE} = 2\gamma = \stackrel{\displaystyle\frown}{ED} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: En el problema, tracemos una tangente L a la circunferencia mayor por su interseccion con AB, denotando esta interseccion como el punto F. Luego ubicamos un punto J en L hacia el lado del arco AF.$ $TEX: \[<br />\text{Por angulo semiinscrito }\angle EAB = \angle ABE\text{ y }\angle EAB = \angle JFA \Rightarrow \angle ABE = \angle JFA\text{ o sea }DC//\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {L} <br />\]<br />$ $TEX: <br />\[<br />\text{Asi}\text{, por el lema}\text{, tenemos que }\stackrel{\displaystyle\frown}{DF} = \stackrel{\displaystyle\frown}{FC} \text{, y por angulo inscrito }\alpha \text{ = }\beta <br />\]$ Yo habia demostrado esto antes,( ) asi que anote la solucion que me sabia, e intente el 1, y no llegue a nada muy firme en realidad quede un poco picao por que no me pusieron todo el puntaje en la prueba anterior, tal vez porque mi respuesta no fue tan clara, asi que ahora sanje cada detalle que pude, pero a mi parecer me salio muy desordenado. Mensaje modificado por CyedqD el Jun 1 2008, 08:16 PM --------------------

loretiin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 12:22 AM Publicado: #12
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 272 Registrado: 3-January 08 Desde: Providencia Miembro Nº: 14.284 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(CyedqD @ Jun 1 2008, 03:55 AM) Ya, una solucion feita para el 2: P2: Primero demostrare un "lema" que ayudara al problema: $TEX: Lema:$ ___55.PNG ( 6.74k ) Número de descargas: 0 $TEX: \[<br />\text{Si }CD//L\text{ }\text{, } \stackrel{\displaystyle\frown}{CE} =\stackrel{\displaystyle\frown}{ED}<br />\]<br />$ $TEX: Demostracion:$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{Denotemos } \stackrel{\displaystyle\frown}{CE} = 2\gamma \text{ y } \stackrel{\displaystyle\frown}{DB} = 2\omega \text{. Por angulo semiinscrito }\angle BEL = \gamma + \omega \hfill \\<br /> \text{Por paralelas }\angle BEL = \angle BMD.\text{ Pero }\angle BMD = \omega + \frac{\stackrel{\displaystyle\frown}{CE}}<br />{2} = \gamma + \omega \hfill \\<br /> \text{De esto se concluye que } \stackrel{\displaystyle\frown}{CE} = 2\gamma = \stackrel{\displaystyle\frown}{ED} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: En el problema, tracemos una tangente L a la circunferencia mayor por su interseccion con AB, denotando esta interseccion como el punto F. Luego ubicamos un punto J en L hacia el lado del arco AF.$ $TEX: \[<br />\text{Por angulo semiinscrito }\angle EAB = \angle ABE\text{ y }\angle EAB = \angle JFA \Rightarrow \angle ABE = \angle JFA\text{ o sea }DC//\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {L} <br />\]<br />$ $TEX: <br />\[<br />\text{Asi}\text{, por el lema}\text{, tenemos que }\stackrel{\displaystyle\frown}{DF} = \stackrel{\displaystyle\frown}{FC} \text{, y por angulo inscrito }\alpha \text{ = }\beta <br />\]$ Yo habia demostrado esto antes,( ) asi que anote la solucion que me sabia, e intente el 1, y no llegue a nada muy firme en realidad quede un poco picao por que no me pusieron todo el puntaje en la prueba anterior, tal vez porque mi respuesta no fue tan clara, asi que ahora sanje cada detalle que pude, pero a mi parecer me salio muy desordenado. en ningun momento llegue a eso xD sin comentarios :\| -------------------- Loreto Pérez A. Ingeniera Civil en Obras Civiles Futura Profesora de Matemáticas en Enseñanza Media UNAB Ex Alumna Liceo Nº7 de Niñas de Providencia 4°E Matemático Generación 2008

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 11:29 AM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ May 31 2008, 11:32 PM) Solucion Problema 2: $TEX: \noindent Tras una larga caminata del metro a la casa, ya no tengo animos para la figura pero pueden guiarse por la de CyedqD (gracias =D). Por tangencias a la circunferencia chiquitita es facil ver que $EA=EB$. Sea $\angle{EAD}=\gamma\Rightarrow \angle{EBA}=\angle{EAB}=\alpha+\gamma$. Por ser angulo seminscrito $\angle{EAD}=\angle{ACD}=\gamma$. Sea $\angle{AEB}=\delta$. En el $\vartriangle{AEB}$ tenemos $2(\alpha+\gamma)+\delta=180\Rightarrow 2(\alpha+\gamma)=180-\delta$ (1), pero el angulo exterior en el triangulo $ACE$ que se obtiene de las extensiones de los segmentos $CE$ y $EA$ vale $180-\delta$ y tambien es igual a $\angle{EAC}+\angle{ACE}=\gamma+\alpha+\beta+\gamma$ (2). Igualando (1) y (2) obtenemos lo pedido.$ Saludos Tu solución está correcta, también está muy entendible. Sin embargo, es muy extensa, deberías encontrar alguna solución similar, pero más corta. En particular, el ángulo $TEX: $\delta$$ de tu solución no es necesario................. CITA(CyedqD @ Jun 1 2008, 12:55 AM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{Denotemos } \stackrel{\displaystyle\frown}{CE} = 2\gamma \text{ y } \stackrel{\displaystyle\frown}{DB} = 2\omega \text{. Por angulo semiinscrito }\angle BEL = \gamma + \omega <br />\end{gathered} <br />\]$ Si tú mismo dices que tu solución es feíta... con ese comentario mataste las ganas que tenía de revisar tu solución............... Sin embargo, revisé la demostración de tu lema (que es verdadero), y cité la primera línea de tu demostración, que está errada. Una manera de demostrarlo es que olvides el punto B y consideres el punto D en su lugar. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 06:25 PM Publicado: #14
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Jun 1 2008, 12:19 PM) Sin embargo, revisé la demostración de tu lema (que es verdadero), y cité la primera línea de tu demostración, que está errada. claro, error de tipeo. :/ CITA(xsebastian @ Jun 1 2008, 12:19 PM) Una manera de demostrarlo es que olvides el punto B y consideres el punto D en su lugar. eso mismo se me ocurrio hoy dia cuando me desperte . no se como pude poner esa demostracion tan tonta en fin, el que revise mi prueba se va reir harto xD una solucion "decente" con la misma idea habria sido: Sea F la interseccion de AB con la circunferencia mayor, y a esta le trazamos una tangente "L" por F. Se puede notar que arco AB = arco DF por angulo semiinscrito en A.Esto implica por angulos correspondientes, que DC//L. Trazamos FC y, por angulos alternos internos entre L y DC, arco DF = arco FC, esto significa que, por angulos inscritos, alfa=beta. pero me quedan dudas sobre como tiene que ser la redaccion para una solucion asi. puedo omitir la explicacion de cosas mas menos obvias?? es que el aclarar esas cosas, puede alargar mucho un solucion y hacerla enredada. --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 10:58 PM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(CyedqD @ Jun 1 2008, 07:15 PM) claro, error de tipeo. :/ eso mismo se me ocurrio hoy dia cuando me desperte . no se como pude poner esa demostracion tan tonta en fin, el que revise mi prueba se va reir harto xD una solucion "decente" con la misma idea habria sido: Sea F la interseccion de AB con la circunferencia mayor, y a esta le trazamos una tangente "L" por F. Se puede notar que arco AB = arco DF por angulo semiinscrito en A.Esto implica por angulos correspondientes, que DC//L. Trazamos FC y, por angulos alternos internos entre L y DC, arco DF = arco FC, esto significa que, por angulos inscritos, alfa=beta. pero me quedan dudas sobre como tiene que ser la redaccion para una solucion asi. puedo omitir la explicacion de cosas mas menos obvias?? es que el aclarar esas cosas, puede alargar mucho un solucion y hacerla enredada. Para mi, fue más complicado seguir la solución porque no adjuntaste una imagen y porque no explicabas ciertas cosas. Por ejemplo, decías "ángulos alternos internos", "ángulos correspondientes", pero no especificabas cuáles eran... La solución que estaba pensando, usa hechos como la medida de un ángulo semiinscrito... pero no usa el lema que enunciaste inicialmente. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2008, 09:18 PM Publicado: #16
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Ya, ahora si posteo una solucion mas clara con la misma idea. $TEX: Sea F la interseccion de la circunferencia con AB. Trazamos una tangente ${\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {L} }$ por F.$ 22_2_22.PNG ( 21.39k ) Número de descargas: 0 $TEX: <br />Apoyandonos en el dibujo observamos que por angulo semiinscrito en la circunferencia pequeña $\omega = \theta$, e igualmente en la circunferencia grande, $\varphi = \omega $ ; o sea $ \varphi = \theta $. De esto se obtiene que ${\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {L} }//CD$.<br />Esto ultimo nos muestra que $\lambda = \mu $, o sea $\stackrel{\displaystyle\frown}{DF} = \stackrel{\displaystyle\frown}{FC}$. Asi se concluye que, por ser angulos inscritos, $\alpha = \beta $.$ pregunta: es ta mal ayudarse tanto de un dibujo??? xD --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2008, 02:09 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(CyedqD @ Jun 2 2008, 10:08 PM) (...) por angulo semiinscrito en la circunferencia pequeña $TEX: $\omega=\theta$$ (...) Lo primero es darte la bienvenida al Staff FMAT (yo acabo de enterarme ) Tu solución está mucho mejor ahora. No importa que sea dependiende de la figura adjunta, porque es en esa figura que defines todos los ángulos necesarios. Sin embargo, cité la frase arriba, para explicarla un poco mejor. El resultado que estás usando es el siguiente: Cada uno de los ángulos semiinscritos: $TEX: $\omega$$ y $TEX: $\theta$$ , es igual a la mitad [de la medida] del ángulo central AO'B. Por lo tanto son iguales entre sí. Por supuesto, la explicación es análoga para concluir que $TEX: $\omega=\phi$$ Un saludo, y no olviden que todavía hay más soluciones (la solución de Felipe_ambuli puede ser mejorada). -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2008, 06:25 PM Publicado: #18
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Haber que tal me sale esta P1.- Primero denotaremos a hombre como $TEX: $H^x$$ segun su asigancióny $TEX: $M^x$$ segun su asiganación por datos entregados tenemos que $TEX: $H^a-M^b$$ y $TEX: $H^b-M^c$$ al primer cambio quedará $TEX: $H^a-M^c$$ Ahora ordenamos las parejas: $TEX: $H^{x_1}-M^{x_2}$$ $TEX: $H^{x_2}-M^{x_3}$$ $TEX: $H^{x_3}-M^{x_4}$$ ... $TEX: $H^{x_n}-M^{x_1}$$ Al primer cambio las pajeras quedarán estructuradas de la siguinte manera $TEX: $H^{x_1}-M^{x_3}$$ $TEX: $H^{x_2}-M^{x_4}$$ $TEX: $H^{x_3}-M^{x_5}$$ .... $TEX: $H^{x_n}-M^{x_2}$$ Y al siguiente cambio al $TEX: $H^{x_1}$$ le tocará con la $TEX: $M^{x_4}$$ Y así le tocará con todas las mujeres,ya que siempre irá variando un número ya que en un comienzo todo $TEX: $H^i$$ baila con una $TEX: $M^{i+1}$$ Por tanto $TEX: $H^{x_1}$$ bailará con todas las mujeres, ya que hay un número finito de mujeres Entonces cuando $TEX: $H^{x_1}-M^{x_1}$$ (esto ocuerre por que baila con todas las mujeres) volverá a su pareja del comienzo, y bailará por segunda vez con $TEX: $M^{x_2}$$ su pareja del principio. Y si aplicamos esto a todos los hombres, notarermos que todos al mismo tiempo volverán a bailar con su misma pareja. Ahora en el caso que se producan ciclos que son tipo subconjuntos, como por ejemplo : $TEX: $H^{x_1}-M^{x_2}$$ $TEX: $H^{x_2}-M^{x_3}$$ .... $TEX: $H^{x_j}-M^{x_1}$ con $j<n$$ Se aplica lo anterior, y se demuestra que un hombre vuelve a bailar por segunda vez con la mujer que comenzó bailando Ejemplo de estos ciclos es $TEX: $H^{x_1}-M^{x_2}$$ $TEX: $H^{x_2}-M^{x_1}$$ Entonces cuando se produsca el minimo común multiplo de cambios en que cada ciclo provoca que todos hombres vuelva con sus parejas, todos estarán bailando con su primera pareja. -------------------- ...

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 20 2008, 10:38 AM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Ahora que vuelvo a ver este tema luego de algunos meses el P2 es directo. Por homotecia. VER PROBLEMA 4 Era eso lo que buscaba xsebastian ? Cueck reien vi lo de Cyedqd! xD era eso entonces? Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Dec 20 2008, 10:40 AM

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2008, 02:09 PM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(sí-sí el residente @ Dec 19 2008, 07:25 PM) Haber que tal me sale esta P1.- Primero denotaremos a hombre como $TEX: $H^x$$ segun su asigancióny $TEX: $M^x$$ segun su asiganación por datos entregados tenemos que $TEX: $H^a-M^b$$ y $TEX: $H^b-M^c$$ al primer cambio quedará $TEX: $H^a-M^c$$ Ahora ordenamos las parejas: $TEX: $H^{x_1}-M^{x_2}$$ $TEX: $H^{x_2}-M^{x_3}$$ $TEX: $H^{x_3}-M^{x_4}$$ ... $TEX: $H^{x_n}-M^{x_1}$$ Al primer cambio las pajeras quedarán estructuradas de la siguinte manera $TEX: $H^{x_1}-M^{x_3}$$ $TEX: $H^{x_2}-M^{x_4}$$ $TEX: $H^{x_3}-M^{x_5}$$ .... $TEX: $H^{x_n}-M^{x_2}$$ Y al siguiente cambio al $TEX: $H^{x_1}$$ le tocará con la $TEX: $M^{x_4}$$ Y así le tocará con todas las mujeres,ya que siempre irá variando un número ya que en un comienzo todo $TEX: $H^i$$ baila con una $TEX: $M^{i+1}$$ Por tanto $TEX: $H^{x_1}$$ bailará con todas las mujeres, ya que hay un número finito de mujeres Entonces cuando $TEX: $H^{x_1}-M^{x_1}$$ (esto ocuerre por que baila con todas las mujeres) volverá a su pareja del comienzo, y bailará por segunda vez con $TEX: $M^{x_2}$$ su pareja del principio. Y si aplicamos esto a todos los hombres, notarermos que todos al mismo tiempo volverán a bailar con su misma pareja. Ahora en el caso que se producan ciclos que son tipo subconjuntos, como por ejemplo : $TEX: $H^{x_1}-M^{x_2}$$ $TEX: $H^{x_2}-M^{x_3}$$ .... $TEX: $H^{x_j}-M^{x_1}$ con $j<n$$ Se aplica lo anterior, y se demuestra que un hombre vuelve a bailar por segunda vez con la mujer que comenzó bailando Ejemplo de estos ciclos es $TEX: $H^{x_1}-M^{x_2}$$ $TEX: $H^{x_2}-M^{x_1}$$ Entonces cuando se produsca el minimo común multiplo de cambios en que cada ciclo provoca que todos hombres vuelva con sus parejas, todos estarán bailando con su primera pareja. Excelente, esa era la idea del problema Saludos

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