Desafio X - Foro fmat.cl

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Ejercitación > Desafíos

Desafio X, Resuelto por Jorge_Littin

Opciones

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 21 2006, 11:49 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Dados $a$ y $b$ numeros enteros positivos fijos. Encuentre la expresion general para el termino n-esimo de la siguiente recursion:\\<br />$$x_{n+1}=x_n+a+\sqrt{b^2+4ax_n}$$ para $n=0,1,2,3...$ y tal que $x_o=0$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Jorge_Littin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2006, 04:10 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 20-February 06 Miembro Nº: 579	La fórmula general de la recursión es $TEX: $x_n=n^2a+nb$$ . La demostración es por simple inducción. Considerando que $TEX: $x_0=0$$ , para n=1 se tiene: $TEX: \begin{eqnarray}<br />x_1&=&x_0+a+\sqrt{b^2+4ax_0}\\<br />&=&0+a+\sqrt{b^2+4a\cdot 0}\\<br />&=&a+b.<br />\end{eqnarray}<br /><br />$ . Pues $TEX: $b>0$$ .Por lo tanto la hipótesis inductiva sería $TEX: $x_n=n^2a+nb$$ . Para n+1 se tiene: $TEX: \begin{eqnarray}<br />x_{n+1}&=&x_n+a+\sqrt{b^2+4aX_n}\text{~~por hip\'otesis inductiva:}\\<br />&=&(an^2+bn)+a+\sqrt{b^2+4a(an^2+bn)}\\<br />&=&(an^2+bn)+a+\sqrt{b^2+4a^2n^2+4abn}\\<br />&=&(an^2+bn)+a+\sqrt{(2an+b)^2}\\<br />&=&(an^2+bn)+a+2an+b\text{~~Agrupando t\'erminos semejantes:}\\<br />&=&(an^2+2an+a)+(bn+b)\\<br />&=&a(n+1)^2+b(n+1)<br />\end{eqnarray}<br />$ . Completando la demostración.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2006, 11:58 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Jorge_Littin @ Mar 24 2006, 05:10 PM) La fórmula general de la recursión es $TEX: $X_n=n^2a+nb$$ . La demostración es por simple inducción. Considerando que $TEX: $X_0=0$$ , para n=1 se tiene: $TEX: \begin{eqnarray}<br />X_1&=&x_0+a+\sqrt{b^2+4x_0}\\<br />&=&0+a+\sqrt{b^2+4x 0}\\<br />&=&a+b.<br />\end{eqnarray}<br /><br />$ . Pues $TEX: $b>0$$ .Por lo tanto la hipótesis inductiva sería $TEX: $X_n=n^2a+nb$$ . Para n+1 se tiene: $TEX: \begin{eqnarray}<br />X_{n+1}&=&X_n+a+\sqrt{b^2+4X_n}\text{~~por hip\'otesis inductiva:}\\<br />&=&(an^2+bn)+a+\sqrt{b^2+4(an^2+bn)}\\<br />&=&(an^2+bn)+a+\sqrt{b^2+4an^2+4bn}\\<br />&=&(an^2+bn)+a+\sqrt{(2an+b)^2}\\<br />&=&(an^2+bn)+a+2an+b\text{~~Agrupando t\'erminos semejantes:}\\<br />&=&(an^2+2an+a)+(bn+b)\\<br />&=&a(n+1)^2+b(n+1)<br />\end{eqnarray}<br />$ . Completando la demostración. La idea y solucion es correcta... Solo tiene un leve detallito de tipeo que en vez de usar $TEX: $4ax_n$$ , usaste $TEX: $4x_n$$ (hay que editar eso y los detalles en los pasos siguientes, y la solucion queda impeque ) Saludos y Felicitaciones -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Jorge_Littin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 26 2006, 11:25 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 20-February 06 Miembro Nº: 579	Traté de ponerle la a y no me pescó..., mejor lo editas tú porque no se que onda.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 26 2006, 11:42 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Jorge_Littin @ Mar 27 2006, 12:25 AM) Traté de ponerle la a y no me pescó..., mejor lo editas tú porque no se que onda. Ya esta editado...seguramente no te pescaba porque editabas solo el texto...pero no editabas la etiqueta tex...que se modifica cuando posteas (aparece llamando siempre a la misma imagen, y eso debes borrarlo y dejarlo sin eso..como si postearas de nuevo) Saludos y felicitaciones -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

« Posterior · Desafíos · Anterior »

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 3rd April 2025 - 09:18 PM