Sistema de Ecuaciones - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector PreOlímpico > Álgebra > Problemas Propuestos

Reply to this topic

Start new topic

Sistema de Ecuaciones

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 20 2006, 11:29 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{array}<br />{c}%<br />\displaystyle \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x} = 12\\<br />\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{3}<br />\end{array}<br />\end{equation}$ Suerte -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

hpoincare Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 16 2006, 10:37 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 73 Registrado: 13-April 06 Miembro Nº: 841	Idea: dos c/v $TEX: $a=x+y, b=xy$$ De la primera ec. es fácil ver que $TEX: $x^3+y^3=12xy$$ Pero $TEX: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)$$ O bien, con nuestro c/v: $TEX: $a(a^2-3b)=12b\quad ()$$ Parace que vamos de mal en peor... De la segunda: $TEX: $\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{3}$, es decir $b=3a$$ Sustituyendo en () resulta $TEX: $a(a^2-9a)=36a\Longrightarrow a(a^2-9a-36)=0$, es decir $a=0\vee a=12\vee a=-3$$ Ahora es fácil terminar (conocemos la suma y el producto)...

virtualivan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2008, 06:47 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 82 Registrado: 7-March 07 Desde: Más allá del arcoiris xD Miembro Nº: 4.362 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ayer soñé con este ejercicio Ojalá esté correcto $TEX: \noindent$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$ \\ <br />$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=12$\\<br />\\<br />De la primera ecuación:\\<br />$3x+3y=xy$\\<br />\\<br />De la segunda ecuación:\\<br />$x^3+y^3=12xy\ \Rightarrow \ (x+y)(x^2-xy+y^2)=12xy$\\<br />\\<br />Sea: $a=x+y\ \wedge \ b=xy$ Reemplazamos:\\<br />\\<br />$3a=b$ ()\\<br />$a(x^2-xy+y^2)=12b$ \ Ahora al paréntesis le sumamos $+3xy-3xy$ (o sea, 0)\\<br />\\<br />$a(x^2+2xy+y^2-3xy)=12b$ \ Se aprecia el cuadrado de binomio $x+y$\\<br />$a(a^2-3b)=12b$ \ \ Tal que $b=3a$, reemplazamos ()\\<br />\\<br />$a(a^2-9a)=12\cdot 3a$\\<br />$a^2-9a=36$\\<br />$a^2-9a-36=0$\\<br />$(a-12)(a+3)=0\ \Rightarrow \ a=12 \ , \ \ a=-3$\\<br />\\<br />De aquello se desprende que $b=36$ \ , \ $b=-9$\\<br />\\<br />$a=x+y=12\ \rightarrow \ x=12-y$ \ Reemplazamos en la ecuaci\'on de abajo\\<br />$b=xy=36\ \rightarrow \ y(12-y)=36$\\<br />$y^2-12y+36=0\ \Rightarrow \fbox{y=6} \ \Rightarrow \fbox{x=6}$, ya que $x+y=12$\\<br />\\<br />Ahora\\<br />$a=x+y=-3\\$<br />$b=xy=-9$\\<br />\\<br />$(-3-y)y=-9$\\<br />$(3+y)y=9$\\<br />$y^2+3y-9=0$ \ , usando la f\'ormula de la ecuación cuadrática\\<br />\\<br />$y_{2}=\displaystyle\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$\\<br />$ $TEX: \noindent$y_{3}=\displaystyle\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}$\\\\<br />S\'olo queda sacar $x_{2}$ y $x_{3}$\\ \\<br />$\displaystyle\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}+x_{2}=-3$\\<br />$x_{2}=\displaystyle\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}$\\<br />\\ \\<br />$\displaystyle\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}+x_{3}=-3$\\<br />$x_{3}=\displaystyle\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$\\<br />\\<br />\\<br />$S={(6,6),(\displaystyle\frac{-3+3\sqrt{5}}{2},\displaystyle\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}).(\displaystyle\frac{-3-3\sqrt{5}}{2},\displaystyle\frac{-3+3\sqrt{5}}{2})}$$ -------------------- Cada persona ha tenido momentos y episodios en su vida que más le valdría no haber superado (Goethe) Hey you, standing in the road, always doing what you're told, Can you help me? Hey you, out there beyond the wall, breaking bottles in the hall, Can you help me? Hey you, don't tell me there's no hope at all Together we stand, divided we fall! (Pink floyd, Hey you)

jorgeaguayo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2008, 08:50 AM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 311 Registrado: 24-April 07 Miembro Nº: 5.425 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Creo que la respuesta está incorrecta. Si analizamos el despeje de la primera ecuación, debería quedar: xy (y+x) = 12xy Así, x+y = 12 De esta forma, nos queda que 36=xy lo que tiene infinitas soluciones

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2008, 11:12 AM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> a{\text{ ver yo lo hice asi }}{\text{, pero me dio el resultado de las sumas de las incognitas :}} \hfill \\<br /> \frac{{x^2 }}<br />{y} + \frac{{y^2 }}<br />{x} = 12 \Rightarrow \frac{{x^3 + y^3 }}<br />{{xy}} = 12 \Rightarrow \frac{{(x + y)(x^2 - xy + y^2 )}}<br />{{xy}} = 12 \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{x} + \frac{1}<br />{y} = \frac{1}<br />{3} \Rightarrow \frac{{x + y}}<br />{{xy}} = \frac{1}<br />{3} \Rightarrow 3(x + y) = xy/()^2 \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = \frac{{\left( {xy} \right)^2 }}<br />{9} \hfill \\<br /> {\text{reemplazamos lo que nos dio en la segunda ecuacion en la primera}} \hfill \\<br /> {\text{quedandonos:}} \hfill \\<br /> \frac{{(x + y)(x^2 - xy + y^2 )}}<br />{{xy}} = 12 \Rightarrow \frac{{(x + y)(x^2 - xy + y^2 )}}<br />{{3(x + y)}} = 12 \Rightarrow \frac{{x^2 - xy + y^2 }}<br />{1} = 36 \hfill \\<br /> \Leftrightarrow x^2 - xy + y^2 = 36 \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 36 + 3xy \Rightarrow (x + y)^2 = 36 + 3xy \hfill \\<br /> reemplazando:xy = 3(x + y) \hfill \\<br /> queda: \hfill \\<br /> (x + y)^2 = 36 + 9(x + y) \Rightarrow (x + y)^2 - 9(x + y) - 36 = 0 \hfill \\<br /> \Leftrightarrow ((x + y) - 12)((x + y) + 3) = 0 \hfill \\<br /> \therefore \left( {x + y} \right)_1 = 12 \wedge (x + y)_2 = - 3 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> saludos \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

geramcrae Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2008, 11:46 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 283 Registrado: 1-July 07 Desde: vallenar Miembro Nº: 7.202 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: de la segunda ecuacion $\cdot36$:\\<br />$\dfrac{36}{x}+\dfrac{36}{y}=12$\\<br />\\<br />igualando con la primera ecuacion\\<br />\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\dfrac{36}{x}+\dfrac{36}{y}&=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\\<br />\dfrac{1}{x}\left(36-y^2\right)&=\dfrac{1}{y}\left(x^2-36\right)\\<br />\dfrac{1}{x}\left((6+y)(6-y)\right)&=\dfrac{1}{y}\left((x+6)(x-6)\right)\\<br />\dfrac{x}{y}\left(\dfrac{(x+6)(x-6)}{(6+y)(6-y)}\right)&=1\\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />esto significa que la division de ambos deja resto cero\\<br />\\<br />$x^3-36x:36y-y^3=\dfrac{x^3}{36y}$\\<br />$-x^3+\dfrac{x^3y^2}{36}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow\dfrac{x^3y^2}{36}-36x=0$\\<br />\\<br />$\dfrac{x^3y^2}{36}=36x$ /:x\\<br />\\<br />$x^2y^2=36^2$\\<br />$xy=\pm36$\\<br />pero como de la segunda ecuacion la suma de 1/x e 1/y es positiva , ambos son positivos lo que da:\\<br />$\boxed{xy=36}$\\<br />\\<br />\\<br />trabajando con la segunda ecuacion\\<br />$3\left(x+y\right)=xy$\\<br />$x+y=12\ \ \ \Rightarrow x=12-y$\\<br />\\<br />reemplazando en lo obtenido anteriormente\\<br />\\<br />$y\left(12-y\right)=36$\\<br />$ $TEX: $y^2-12y+36=0$\\<br />\\<br />$y=\dfrac{12\pm\sqrt{144-144}}{2}$\\<br />$y=6$\\<br />\\<br />\\<br />$x=6$\\<br />\\<br />$\boxed{(x,y)=(6,6)}$<br />\\<br />eso me dio\\<br /> saludos...\\$ -------------------- Solo para ti, n/n.

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2010, 08:04 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	Yo creo que tengo una :$ Jajaja.. Dice así.. Si estoy mal, no me pifeen tanto, jajajaja. En la segunda ecuación multiplicamos por 36.. nos queda $TEX: $\frac{36}{x}+\frac{36}{y}=12$$ Igualamos en la primera $TEX: $\frac{36}{x}+\frac{36}{y}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$$ Dejamos 0 a un lado $TEX: $\frac{x^2-36}{y}+\frac{y^2-36}{x}=0$$ Amplificamos por xy $TEX: $y(y^2-36)+x(x^2-36)=0$$ $TEX: $y^3-36y+x^3-36=0$$ $TEX: $-36(x+y)+(x+y)(x^2-xy+y^2)=0$$ $TEX: $(x+y)(x^2-xy+y^2-36)=0$$ De lo cual se sacan dos ecuaciones nuevas $TEX: $x+y=0$$ $TEX: $x^2-xy+y^2-36=0$$ Y.. Bueno, no sé cómo proseguir.. Se me acaba la imaginación, y no tengo herramientas pa' seguir.. .. Por si a alguien le sirve esto..

Almidon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2010, 02:12 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 16 Registrado: 7-June 09 Desde: Osorno, Chile Miembro Nº: 53.342 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Yo obtuve los mismos resultados que virtualivan =) GoChuck lo dejaste casi listo. Te dejo una pista para que sigas mira tu ultima expresion x²-xy+y²=36 eso escribelo como (x+y)² -3xy=36 y luego vuelve a las primeras dos ecuaciones que da el problema para reemplazar el -3xy por una expresion equivalente en (x+y).... Despues despeja el valor de (x+y), te recomiendo que utilices a= (x+y) para facilitar el calculo...

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2015, 11:53 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Otra forma: $TEX: $\left.\begin{matrix}<br />\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} = 12 & (1)\\ <br />\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3} & (2)<br />\end{matrix}\right\} <br />$$ $TEX: $(x,y) \neq (0,0)$$ Multiplicamos (1) y (2): $TEX: $\dfrac{x}{y}+\left ( \dfrac{x}{y} \right )^2+\left ( \dfrac{y}{x} \right )^2+\dfrac{y}{x}=4$$ Hacemos $TEX: $u=\dfrac{x}{y} \Rightarrow u+u^2+\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{u}=4 \Leftrightarrow p(u)=u^4+u^3-4u^2+u+1=0$$ Es fácil llegar a que $TEX: $p(u)=(u-1)^2(u^2-3u+1) \Rightarrow \begin{cases}<br /> & u_{1}=1 \\ <br /> & u_{2}=\dfrac{\sqrt{5}-3}{2} \\ <br /> & u_{3}=\dfrac{-\sqrt{5}-3}{2} <br />\end{cases}$$ De aquí analizamos las 3 igualdades: $TEX: $\dfrac{x}{y}=1 \ ; \ \dfrac{x}{y}=\dfrac{\sqrt{5}-3}{2} \ ; \ \dfrac{x}{y}=\dfrac{-\sqrt{5}-3}{2}$$ De la primera, $TEX: $x=y$$ , la cuál reemplazando en $TEX: $(2)$$ llegamos a que $TEX: $x=y=6$$ . De la segunda, $TEX: $x=\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}y$$ , reemplazando en $TEX: $(2)$$ tenemos: $TEX: $\dfrac{2}{y(\sqrt{5}-3)}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow y=\dfrac{3\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}-3}=-\dfrac{3(\sqrt{5}+1)}{2}$$ de lo cuál $TEX: $x=-\dfrac{3(\sqrt{5}+1)}{2}\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=\dfrac{3(\sqrt{5}-1)}{2}$$ . De la tercera, $TEX: $x=\dfrac{-\sqrt{5}-3}{2}y$$ , reemplazando en $TEX: $(2)$$ tenemos: $TEX: $\dfrac{2}{y(-\sqrt{5}-3)}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow y=\dfrac{3\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}+3}=\dfrac{3(\sqrt{5}-1)}{2}$$ de lo cuál $TEX: $x=\dfrac{3(\sqrt{5}-1)}{2}\dfrac{-\sqrt{5}-3}{2}=-\dfrac{3(\sqrt{5}+1)}{2}$$ . Finalmente $TEX: $(x,y)=(6,6);\left ( \dfrac{3(\sqrt{5}-1)}{2},-\dfrac{3(\sqrt{5}+1)}{2} \right );\left ( -\dfrac{3(\sqrt{5}+1)}{2},\dfrac{3(\sqrt{5}-1)}{2} \right )$$ Saludos

« Posterior · Problemas Propuestos · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 3rd April 2025 - 09:03 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.