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Ejercicios Resueltos Lista, Guía Básica Trigonometria PSU

picosenotheta Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 18 2006, 01:07 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 765 Registrado: 25-November 05 Desde: Algun lugar de la V region Miembro Nº: 415 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ahora a practicar un poco... (1) En la figura,ABC es un triángulo rectángulo en A,si $TEX: $\overline{AB}$$ =12, y $TEX: $\overline{BC}$$ =13 ,determine $TEX: $\tan $ $\alpha $$ $TEX: <br /><br />$a)\dfrac{12}{13}$<br /> <br />\bigskip $b)\dfrac{13}{12}$<br /> <br />\bigskip $c)\dfrac{12}{5}$<br /> <br />\bigskip $d)\dfrac{13}{5}$<br /> <br />\bigskip $e)\dfrac{5}{12}$ <br /><br /><br />\bigskip Respuesta<br />$ La tangente de un ángulo es el cateto opuesto partido por el cateto adyacente. En la figura: $TEX: \bigskip $\overline{AB}$$ ,cateto opuesto $TEX: \bigskip $\overline{AC}$$ ,cateto adyacente Se calcula $TEX: $\overline{AC}$$ usando el Teorema de Pitagoras $TEX: <br />$\overline{AC}^{2}=13^{2}-12^{2}=\allowbreak 25$<br /> <br />$\overline{AC}^{2}=25$ /$\sqrt{~}$<br /> <br />$\overline{AC}=5$<br /> <br />Por lo tanto $\tan $ $\alpha =\dfrac{12}{5}$<br /> <br />\bigskip <br /> <br />alternativa C<br /><br /><br />$ (2) $TEX: Si $\theta $ es un angulo tal que 0$\leq \theta <90^{\circ },$talque cos $\theta =\dfrac{2}{3},$entonces tan $\theta =?$<br /><br />$ $TEX: <br />a)$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$<br /> <br />b)$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$<br /> <br />c)$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$<br /> <br />d)$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$<br /> <br />e)$\sqrt{5}$<br /><br />\bigskip Respuesta <br />$ $TEX: <br /> <br />Sabemos que tan$\theta =\dfrac{sen\text{ }\theta }{\cos \text{ }\theta }$<br /> <br />en este caso conocemos $\cos $ $\theta ,$y desconocemos sen $\theta $<br /> <br />\bigskip Pero sabemos que sen$^{2}\theta +$cos$^{2}\theta =1$<br /> <br />sen$^{2}\theta =1-$cos$^{2}\theta $<br /> <br />reemplazando<br /> <br />sen$^{2}\theta =1-\left( \dfrac{2}{3}\right) ^{2}$<br /> <br />sen$^{2}\theta =1-\dfrac{4}{9}$<br /> <br />sen$^{2}\theta =\dfrac{5}{9}/\sqrt{~}$<br /> <br />sen$\theta =\dfrac{\sqrt{5}}{3}$<br /> <br />finalmente <br /> <br />tan$\theta =\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$<br /> <br />\bigskip luego alternativa correcta D<br /> <br />$ (3) En la figura,ABC es un triángulo rectángulo en C ,si $TEX: $\overline{AC}$$ =10 cm. y $TEX: cos $\alpha =0,8$$ ,entonces x=? a) 16,6 cm. b) 15 cm. c) 13,3 cm. d) 12,5 cm. e) 7,5 cm. Respuesta En la figura tenemos que: $TEX: <br />cos $\alpha =\dfrac{10}{\overline{AB}}$<br /> <br />\bigskip despejando<br /> <br />\bigskip $\overline{AB}=\dfrac{10}{\text{cos }\alpha }$<br /> <br />reemplazando tenemos<br /> <br />$\overline{AB}=\dfrac{10}{0,8}=12,5cm.$<br /> <br />Aplicando el teorema de pitagoras tenemos<br /> <br />\bigskip x$^{2}+(10)^{2}=(12,5)^{2}$<br /> <br />x$^{2}=(12,5)^{2}-(10)^{2}=\allowbreak 56,\,\allowbreak 25$<br /> <br />x$^{2}=\sqrt{\allowbreak 56.\,\allowbreak 25}=\allowbreak 7,\,\allowbreak 5$ cm.<br /><br />\bigskip luego alternativa correcta E<br /><br /><br />$ (4) ¿Cuál es el área del triángulo ABC de la figura, rectangulo en C,si $TEX: $\overline{AC}=$$ 5 cm y $TEX: tan $\alpha =1,25$$ ? $TEX: <br />\bigskip a) 7,5 cm$^{2}$<br /> <br />\bigskip b) 10 cm$^{2}$<br /> <br />\bigskip c) 12,5 cm$^{2}$<br /> <br />\bigskip d) 15,5 cm$^{2}$<br /> <br />\bigskip e) 20 cm$^{2}$<br /><br /><br /><br />\bigskip Respuesta<br /><br />$ En la figura: $TEX: <br />tan $\alpha =\dfrac{5}{\overline{BC}}$<br /> <br />despejando<br /> <br />\bigskip $\overline{BC}=\dfrac{5}{\tan \text{ }\alpha }$<br /> <br />Reemplazando <br /> <br />$\overline{BC}=\dfrac{5}{1,25}=4$ cm <br /> <br />Tomando $\overline{AC}$ como base y $\overline{BC}$ como altura del triangulo<br /> <br />Area =$\dfrac{1}{2}(5\cdot 4)=10$ cm$^{2}$<br /><br />\bigskip luego alternativa correcta B<br /><br />$ (5) En la figura , ABC es un triangulo rectangulo con $TEX: $\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{AC}$$ ,en este triangulo se cumple que: $TEX: <br /><br />\bigskip <br />l)tan$\alpha =\sqrt{3}\qquad $ll)cos$\alpha +$sen$\beta =1\qquad $lll)csc$\beta =2\sqrt{3}$<br />$ $TEX: <br />\bigskip <br /> <br />Es (o son) verdadera(s) :<br /> <br />\bigskip a) Solo l<br /> <br />\bigskip b) Solo ll<br /> <br />\bigskip c) Solo I y II<br /> <br />\bigskip d)Solo II y III<br /> <br />\bigskip e)I ,II y III<br /><br /><br /> <br />\bigskip<br /><br />Respuesta<br /><br />$ Entonces tenemos Para la afirmacion l: $TEX: <br />tan$\alpha =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{3},\Rightarrow $$ que la afirmacion l es verdadera Para la afirmacion ll: $TEX: <br />\bigskip<br /> <br />cos$\alpha =\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a}=\dfrac{1}{2}, $sen$\beta =\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a}=\dfrac{1}{2}$$ $TEX: <br />por lo tanto cos$\alpha +$sen$\alpha =\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$<br />$ , implica que la afirmacion ll es verdadera Para la afirmacion lll: $TEX: <br />csc$\beta =\dfrac{1}{\text{sen}\beta }=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$<br /> <br />$ , implica que la afirmacion lll es falsa luego la alternativa correcta es C (6) Una carretera tiene una cuesta en linea recta cuya longitud total es de 750m. Si la cuesta tiene un ángulo de inclinacion $TEX: $\beta $$ respecto a la horizontal ,entonces en función del ángulo , la diferencia de nivel entre ambos extremos de la cuesta es: $TEX: <br />\bigskip<br /> <br />a) $750sen\beta $<br />\bigskip <br /><br />b) $750\tan \beta $<br />\bigskip <br /><br />c)$\dfrac{750}{\tan \beta }$<br />\bigskip<br /> <br />d) $750\cos \beta $<br />\bigskip<br /> <br />e) $\dfrac{750}{sen\beta }$<br />\bigskip<br /><br /><br />Respuesta<br /><br />$ Tracemos el grafico siguiente Donde $TEX: $\overline{AC}$$ =750m ,es la longitud total de la cuesta y h es la diferencia de nivel . En el triangulo rectangulo ABC se conoce la hipotenusa y se desconoce el cateto opuesto a h . La razon trigonometrica que relaciona hipotenusa y cateto es el seno del angulo , entonces: $TEX: sen$\beta =\dfrac{h}{750}$$ despejando tenemos ... $TEX: h=750sen$\beta $$ luego la alternativa correcta es A (7) $TEX: <br />Si sen$\alpha =a$ y cos$\alpha =b$ , entonces la expresion (1-b)(a$^{-1}+\dfrac{\text{b}}{\text{a}})$ es igual a:<br />$ $TEX: <br />\bigskip <br />a)$\dfrac{b}{a}$<br />\bigskip <br /> <br />b)$b$<br />\bigskip <br /> <br />c)$a$<br />\bigskip <br /> <br />d)$-1$<br />\bigskip <br /> <br />e)$1$<br />\bigskip <br /><br />Respuesta<br />$ $TEX: <br />Primero que nada reduciremos la expresion algebraica<br /><br />(1-b)(a$^{-1}+\dfrac{\text{b}}{\text{a}})=$($1-$b)($\dfrac{1}{a}+\dfrac{b}{a})=$($1-$b)($\dfrac{1+\text{b}}{a})=\dfrac{1-\text{b}^{2}}{a}$<br /> <br />reemplazando en la ultima expresion a=sen$\alpha $ y b=cos$\alpha $<br /> <br />$\dfrac{1-\cos ^{2}a}{sen\alpha }=\dfrac{sen^{2}\alpha }{sen\alpha }=sen\alpha $<br /> <br />\bigskip <br /> <br />luego alternativa correcta es C<br />$ listo por ahora

Acolchman I.S. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 15 2008, 03:49 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 6-July 05 Miembro Nº: 135	enel ejercicio 5 dice triangulo abc es rectangulo con ab= bc= ac! y eso no puede ser porke seria ekilatero! -------------------- si alguien me kiere enseñar q me enseñe, si puede...

Gabo Slayer Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2010, 11:16 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 13-October 10 Miembro Nº: 78.602 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	waaa ke onda ke nadie agradece aca??? gracias compadre por los ejercicios, esta materia es la ke mas me cuesta pa la psu.

haytawer Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2012, 05:50 AM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 373 Registrado: 15-March 12 Miembro Nº: 102.416 Nacionalidad: Sexo:	Muchas Gracias -------------------- :link: :otro: $TEX: $\digamma$$ "La manera usual para enseñar al alumno cómo hacer demostraciones en matemáticas es similar a mostrarle cómo un gimnasta hace un triple salto mortal. Le mostramos al gimnasta ejecutándolo y luego le pedimos al alumno que realice el triple salto mortal ... si acaso sobrevive, seguramente no volverá a intentarlo. No obstante, el alumno sí puede platicar lo que vio realizar al gimnasta, y de la misma forma puede reproducir una demostración." Adivina ya te opina, ya ni miles origina, ya ni cetro me domina, ya ni monarcas, a repaso ni mulato carreta, acaso nicotina, ya ni cita vecino, anima cocina, pedazo gallina, cedazo terso nos retoza de canilla goza, de pánico camina, ónice vaticina, ya ni tocino saca, a terracota luminosa pera, sacra nómina y ánimo de mortecina, ya ni giros elimina, ya ni poeta, ya ni vida. de Ricardo Ochoa Cuando disfrutaba ser el numero 20 de mi generacion haha -------> de 20 claro XD La última cena de los personajes de los 80´s ------> Frases celebres en reparacion <------> cuek: CITA(Expl0it @ Jan 27 2012, 12:26 PM) Todos los preus son malos, el que tiene que ser bueno es uno ajajaja. CITA(Kaissa @ Oct 29 2010, 10:01 AM) $TEX: $ $\\<br />Nada de intuici\'on, en matem\'aticas las definiciones son precisas.\\<br />$ $\\<br />Definimos, para $a,b\in X$ el par ordenado $(a,b)$ como el conjunto $\{a,\{a,b\}\}$, y de esta forma nos aseguramos de que <br />\begin{eqnarray}<br />(a,b)=(x,y)\Longleftrightarrow \{a,\{a,b\}\}=\{x,\{x,y\}\}\Longleftrightarrow a=x\wedge b=y<br />\end{eqnarray}<br />$ Lo que sigue es comentario personal, abra bajo su responsabilidad. $TEX: No es por ser mala onda, pero deverdad me dio risa las definiciones anteriores, no con el animo de reirme de quienes las pusieron, sino de ver la realidad de la educaci\'on chilena, osea gente que se supone ha pasado por esos cursos, que debiera manejar bien la materia tiene una nocion por lo menos pobre de lo que en realidad ha trabajado gran parte de EMedia y 1er y 2do a\~no de universidad.\\<br />$ $\\<br />Espero estar en la definici\'on correcta, y de ser as\'i puchas instar a los lectores que vean la forma de formalizar los conceptos que creen tener, pues sino \verb"¿"c\'omo despu\'es les diremos a los dem\'as \textit{estudien esto y aquello}?$ Algunos celulares que he tenido XD ------> Si te fue mal en la psu ------> haz click aqui Todo calza pollo------>

luisignacio12 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 29 2012, 11:00 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 120 Registrado: 2-June 10 Desde: Santiago Miembro Nº: 71.860 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muchísimas gracias por los ejercicios, perfectos para repasar, practicar y aprender cosas nuevas de esta materia! -------------------- "Saber que se sabe lo que se sabe y saber que no se sabe lo que no se sabe, eso es la sabiduría" "Una vez hayas probado el vuelo siempre caminarás por la Tierra con la vista mirando al Cielo, porque ya has estado allí y allí siempre desearás volver." "Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida."

luisignacio12 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 29 2012, 11:02 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 120 Registrado: 2-June 10 Desde: Santiago Miembro Nº: 71.860 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Acolchman I.S. @ Oct 15 2008, 03:49 PM) enel ejercicio 5 dice triangulo abc es rectangulo con ab= bc= ac! y eso no puede ser porke seria ekilatero! Si, pero se forman dos triangulos rectangulos (Congruentes) al trazar la altura. -------------------- "Saber que se sabe lo que se sabe y saber que no se sabe lo que no se sabe, eso es la sabiduría" "Una vez hayas probado el vuelo siempre caminarás por la Tierra con la vista mirando al Cielo, porque ya has estado allí y allí siempre desearás volver." "Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida."

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2015, 05:33 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Buuh, que mal que no se vean las imágenes . Justo ahora cuando quiero repasar esta materia, ojalá que picosenotheta lo arregle algún día. Saludos. Pero las imágenes de Imageshak se pueden arreglar o no existe esa posibilidad? -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

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