Segundo Nivel Individual, Santiago

Segundo Nivel Individual, Santiago, Aportanto, aunque no es mi nivel

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2008, 10:36 PM Publicado: #1
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Aunque no es mi nivel, pero faltaba, asi que aqui esta $TEX: 1. En un cuadrado de lado R se inscribe un reloj como muestra la siguiente figura:$ Dibujo.PNG ( 22.24k ) Número de descargas: 0 $TEX: Determina la proporción entre el área del cuadrado y el área del triangulo que se forma al unir el 5 con el 6, el 6 con el 7 y el 7 con el 5.$ $TEX: 2. Cuatro números primos tienen la siguiente estructura.$ $TEX: AA ; BAB ; BACD ; AAAC$ $TEX: Sabiendo que cada letra representa una cifra y que las letras iguales corresponden a cifras iguales ¿Cuales son los números?$ -------------------- ...

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2008, 11:19 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Solucion Problema 2: $TEX: \noindent Notar que los numeros de la forma $AA$ con $A\in \{0,...,9\}$ son multiplos de 11, luego da como unica posibilidad que $A=1\Rightarrow AA=11$ es primo. Por otra parte, tenemos que $111C$ debe ser primo con $C\in\{0,...,9\}$ pero una rapida inspeccion infiere que $C\in\{3,7,9\}$ (ya que $C$ no puede ser ni par ni 5, pues el numero que forma seria divisible por 2 y 5). Como las opciones que $C$ sea 3 o 9 son descartadas pues la suma de los digitos del numero seria divisible por 3, luego el numero seria divisible por 3 y no seria primo, dejan como opcion a $C=7$. Ahora tenemos que tanto $B$ y $C$ deben pertenecer a $\{3,9\}$ ya que los otros numeros ya fueron descartados. Tenemos dos casos:\\<br />C1: $D=3$. Entonces $B=9$. Asi el tercer numero queda como $3179$. Notar que este numero es divisible por 11 ya que su suma alternada $3-1+7-9=0$ es divisible por 11, luego el numero no es primo y el caso no sirve. De esta manera es trivial que la configuracion es $A=1$; $B=9$; $C=7$; $D=3$.$ Saludos Mensaje modificado por Felipe_ambuli el May 24 2008, 12:13 PM

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2008, 12:44 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Solucion Problema 1: $TEX: \noindent Sea $O$ el centro de la circunferencia. Claramente el radio de la circunferencia es $\dfrac{R}{2}$ (se puede ver uniendo el 3 con el 9). Unamos $O$ con el 7 y $O$ con el 5. Como el arco 75 esta contenido seis veces en la circunferencia se tiene que su valor es 60, luego $\angle{7O5}=60$ y como $7O=O5=\dfrac{R}{2}$ se sigue que el triangulo $7O5$ es equilatero, luego $75=\dfrac{R}{2}$ y las alturas del triangulo caen sobre los puntos medios de los lados respectivos. Sea $h_1$ la altura de $O$ sobre 75 y $h_2$ la altura de 6 sobre 75. Por teorema de Pitagoras tenemos $h_1^2+(\dfrac{R}{4})^2=(\dfrac{R}{2})^2\Rightarrow h_1=\dfrac{R\sqrt{3}}{4}$. Ahora como $h_2=\dfrac{R}{2}-h_1\Rightarrow h_2=\dfrac{R}{2}-\dfrac{R\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R(2-\sqrt{3})}{4}$. Luego el area del triangulo $765$ es $\dfrac{\dfrac{R(2-\sqrt{3})}{4}\cdot \dfrac{R}{2}}{2}=\dfrac{R^2(2-\sqrt{3})}{16}$ y la razon pedida es $\dfrac{R^2}{\dfrac{R^2(2-\sqrt{3})}{16}}=\dfrac{16}{2-\sqrt{3}}=16(2+\sqrt{3})$.$ Saludos

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